Може да се покаже (ние не го правим), че уравнение (2) е еквивалентно на уравнение (1), въпреки че е получено от (1) чрез нееквивалентентрансформации. Това означава, че уравнение (2) е уравнението на тази елипса. Нарича се каноничен(т.е. най-простият).

Вижда се, че уравнението на елипсата е уравнение от 2-ри ред, т.е. линия на елипса от 2-ри ред.

За елипса въвеждаме понятието ексцентричност.Това е количеството. За елипса ексцентричността е . защото сИ Аизвестен, тогава също известен. Изразът за фокалните радиуси на точката M(x, y) на елипсата се получава лесно от предишните аргументи: . r 2 ще се намери от равенството (3)

КоментирайтеАко забивате два пирона (F1 и F2) в масата, завържете към тях връв в двата края, чиято дължина е по-голяма от разстоянието между пироните ( 2а), издърпайте кабела и начертайте парче тебешир по масата, след което ще начертае затворена елипса, която е симетрична спрямо двете оси и началото.

4. Изследване на формата на елипса с помощта на нейното канонично уравнение.

В забележката, от съображения за яснота, направихме заключение за формата на елипсата. Нека сега проучим формата на елипсата, като анализираме нейното канонично уравнение:

Нека намерим точките на пресичане с координатните оси. Ако ,у=0, то , , т.е. имаме две точки A1(-a,0) и A2(a,0). Ако x=0, тогава , . Тези. имаме две точки B1(0,-b) и B2(0,b) (тъй като , тогава ). Точките A1, A2, B1, B2 се наричат върховете на елипсата.

2) Областта на местоположението на елипсата може да се определи от следните съображения:

а) от уравнението на елипсата следва, че т.е. , т.е. или .

б) аналогично, т.е. или . Това показва, че цялата елипса се намира в правоъгълника, образуван от линиите и .

3) Освен това променливите x и y влизат в уравнението на елипсата само в четни степени, което означава, че кривата е симетрична спрямо всяка от осите и спрямо началото. D-но, ако точка (x, y) принадлежи на радиуса, тогава точките (x, -y), (-x, y) и (-x, -y) също му принадлежат. Следователно е достатъчно да се разгледа само тази част от елипсата, която се намира в първата четвърт, където и .

4) От уравнението на елипсата имаме , а в първата четвърт . Ако x=0, тогава y=b. Това е точка B2(0,b). Нека x нараства от 0 до a, след това y намалява от b до 0. Така точка M(x, y), започвайки от точка B2(0, b), описваща дъга, стига до точка A(a,0). Може да се докаже строго, че дъгата е изпъкнала нагоре. Отразявайки тази дъга в координатните оси и началото, получаваме цялата елипса. Осите на симетрия на елипсата се наричат ​​нейните оси; точката на тяхното пресичане е центърът на елипсата. Дължината на отсечките OA1=OA2=a се нарича голяма полуос на елипсата, отсечките OB1, OB2=b са малката полуос на елипсата, (a>b), c е полуфокалната разстояние. Големината е лесна за обяснение геометрично.

Когато a=b получаваме от каноничното уравнение на елипсата уравнението на окръжност. За кръг, т.е. F1=F2=0. .

По този начин кръгът е специален случай на елипса, когато фокусите му съвпадат с центъра и ексцентричността = 0. Колкото по-голям е ексцентрицитетът, толкова по-издължена е елипсата.

Коментирайте.От каноничното уравнение на елипсата е лесно да се заключи, че елипсата може да бъде зададена в параметрична форма. x=a cos t

y=b sin t,където a, b са голямата и малката полуос, t-ъгъл.

5. Определение и извеждане на уравнението на каноничната хипербола.

Хиперболанаречени HMT равнини, за които разликата в разстоянията от две фиксирани точки F1F2 на равнината, наречени фокуси, е постоянна стойност (не равна на 0 и по-малка от фокусното разстояние F1F2).

Ще означим, както преди, F1F2 = 2c, а разликата в разстоянията е 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Нека M (x,y) е текущата точка на хиперболата. По дефиниция MF1-MF2= или r 1 -r 2 = = или --(1). – това е уравнението на хипербола.

Отърваваме се от ирационалността в (1): изолираме един корен, повдигаме на квадрат и двете части, получаваме: или , отново го на квадрат:

Където .

Разделете на. Нека представим обозначението. След това --(2). Уравнение (2), както може да се покаже, е еквивалентно на уравнение (1) и следователно е уравнението на дадена хипербола. Наричат ​​го каноничното уравнение на хипербола.Виждаме, че уравнението на хиперболата също е от втора степен, което означава хиперболна линия от втори ред.

Ексцентричност на хипербола. Изразът за фокални радиуси през е лесно да се получи от предишния, след което го намираме от .

6. Изследване на формата на хипербола с помощта на нейното канонично уравнение.

Разсъждаваме по същия начин, както когато изучаваме елипса.

1. Намерете точките на пресичане с осите на хиперболата. Ако x=0, тогава . Няма точки на пресичане с оста на операционния усилвател. Ако y=0, тогава . Пресечни точки,. Те се наричат върховете на хиперболата.

2. Областта на местоположението на хиперболата: , т.е. или . Това означава, че хиперболата се намира извън лентата, ограничена от прави линии х=-аИ х=а.

3. Хиперболата има всички видове симетрия, т.к x и y се срещат в четни степени. Следователно е достатъчно да се вземе предвид тази част от хиперболата, която се намира в първата четвърт.

4. От уравнението на хиперболата (2) в първата четвърт имаме . За x=a, y=0 имаме точката ; вратовръзка. кривата върви нагоре надясно. За да си представите движението по-ясно, разгледайте две спомагателни линии, минаващи през началото на координатите и представляващи диагонали на правоъгълник със страни 2a и 2b: BCB’C’. Те имат уравнения и . Нека докажем, че текущата точка на хиперболата M(x,y) отива в безкрайност и се приближава неограничено до правата. Нека вземем произволна точка хи сравнете съответните ординати на точката на хиперболата и правата. Очевидно е, че Y>y. MN=Y-y= .

Виждаме, че когато , т.е. кривата се приближава неограничено до права линия, докато се отдалечава от началото. Това доказва, че правата е асимптота на хиперболата. Освен това хиперболата не пресича асимптотота. Това е достатъчно, за да се изгради част от хиперболата. Той е изпъкнал насочен нагоре. Останалите части са завършени симетрично. Имайте предвид, че осите на симетрия на хипербола (координатни оси) се наричат ​​нейни брадви, точката на пресичане на осите- центърхипербола. Едната ос пресича хиперболата (реалната ос), другата не (въображаемата). Линеен сегмент Анаречена реална полуос, отсечката b- въображаема полуос. Правоъгълникът BCB'C' се нарича основен правоъгълник на хиперболата.

Ако а=б, тогава асимптотите образуват ъгли с координатните оси по . Тогава хиперболата се нарича равностранен или равностранен.Основният правоъгълник се превръща в квадрат. Неговите асимптоти са перпендикулярни една на друга.

Коментирайте.

Понякога разглеждаме хипербола, чието канонично уравнение е (3). Викат я конюгатвъв връзка с хипербола (2). Хипербола (3) има реална ос, която е вертикална, и имагинерна ос, която е хоризонтална. Външният му вид се установява веднага, ако пренаредите хИ при, АИ b(тя се обръща към старото си аз). Но тогава хипербола (3) има формата:

Върховете му.

5.Както вече беше посочено, уравнението на равностранна хипербола ( а=б), когато координатните оси съвпадат с осите на хиперболата, има формата . (4)

защото асимптотите на равностранна хипербола са перпендикулярни, тогава те могат да се приемат и като координатни оси OX 1 и OU 1. Това е еквивалентно на завъртане на предишната система OXY под ъгъл. Формулите за ъгъл на завъртане са както следва:

Тогава в новата координатна система OX 1 Y 1 уравнението (4) ще бъде пренаписано:

Или или . Означавайки , получаваме или (5) - това е уравнението равностранна хипербола, класифицирани като асимптоти (този тип хипербола се разглеждаше в училище).

Коментирайте: От уравнението следва, че площта на всеки правоъгълник, изграден върху координатите на всяка точка от хиперболата M(x,y), е една и съща: S= к 2 .

7. Определение и извеждане на каноничното уравнение на парабола.

Параболасе нарича GMT на равнината, за всеки от които разстоянието от фиксирана точка F на равнината, наречено фокус, е равно на разстоянието от фиксирана права линия, наречена директорка(фокус извън директорката).

Ще обозначим разстоянието от F до директрисата с p и ще го наречем параметър на параболата. Нека изберем координатната система по следния начин: начертайте оста OX през точката F, перпендикулярна на директрисата NP. Нека изберем началото на координатите в средата на сегмента FP.

В тази система:.

Нека вземем произволна точка M(x,y) с текущи координати (x,y). Ето защо

Следователно (1) е уравнението на параболата. Нека опростим:

Или (2) - това е канонично уравнение на парабола.Може да се покаже, че (1) и (2) са еквивалентни.

Уравнение (2) е уравнение от 2-ри ред, т.е. парабола е линия от 2-ри ред.

8. Изследване на формата на парабола с помощта на нейното канонично уравнение.

(p>0).

1) x=0, y=0 параболата минава през началото на координатната точка O. Тя се нарича връх на параболата.

2), т.е. параболата е разположена вдясно от оста на операционния усилвател, в дясната полуравнина.

3) прие включена в равна степен, следователно параболата е симетрична спрямо оста OX, следователно е достатъчно да се конструира в първата четвърт.

4) през 1-во тримесечие в , т.е. параболата отива нагоре надясно. Може да се покаже, че изпъкналостта е нагоре. Изграждаме отдолу според симетрията. Оста OU е допирателна към параболата.

Очевидно фокусният радиус е . Отношението се нарича ексцентричност: . Оста на симетрия на парабола (в нашия случай OX) се нарича ос на параболата.

Имайте предвид, че уравнението също е парабола, но насочена в обратна посока. Уравненията също така определят параболи, чиято ос е оста на операционния усилвател.

или в по-позната форма, където .

Уравнението определя обикновена парабола с изместен връх.

Бележки. 1) Има тясна връзка между всичките четири линии от 2-ри ред - всички те са конични сечения. Ако вземем конус от две кухини, тогава, когато го разрежем с равнина, перпендикулярна на оста на конуса, получаваме кръг; ако леко наклоним секционната равнина, получаваме елипса; ако равнината е успоредна на образуващата, тогава сечението е парабола, ако равнината пресича двете

кухини-хипербола.

2) Може да се докаже, че ако светлинен лъч, идващ от фокуса на парабола, се отрази от него, тогава отразеният лъч върви успоредно на оста на параболата - това се използва в действието на прожекторите - параболичен рефлектор, а на фокуса - източник на светлина. Това води до насочен поток от светлина.

3) Ако си представим изстрелването на спътник на Земята от точка Т, разположена извън атмосферата в хоризонтална посока, тогава ако първоначалната скорост v 0 е недостатъчно, тогава сателитът няма да се върти около Земята. При достигане на евакуационна скорост 1 сателитът ще се върти около Земята в кръгова орбита с център в центъра на Земята. Ако началната скорост се увеличи, тогава въртенето ще се извърши по елипса, центърът на Земята ще бъде в един от фокусите. При достигане на 2-ра евакуационна скорост траекторията ще стане параболична и спътникът няма да се върне в точка Т, а ще бъде в Слънчевата система. Тези. Параболата е елипса с един фокус в безкрайността. При по-нататъшно увеличаване на началната скорост траекторията ще стане хиперболична и от другата страна ще се появи втори фокус. Центърът на Земята винаги ще бъде във фокуса на орбитата. Сателитът ще напусне Слънчевата система.

11.1. Основни понятия

Нека разгледаме линии, определени от уравнения от втора степен спрямо текущите координати

Коефициентите на уравнението са реални числа, но поне едно от числата A, B или C е различно от нула. Такива линии се наричат ​​линии (криви) от втори ред. По-долу ще бъде установено, че уравнение (11.1) определя окръжност, елипса, хипербола или парабола в равнината. Преди да преминем към това твърдение, нека проучим свойствата на изброените криви.

11.2. кръг

Най-простата крива от втори ред е кръг. Припомнете си, че окръжност с радиус R с център в точка е множеството от всички точки M на равнината, които отговарят на условието . Нека точка в правоъгълна координатна система има координати x 0, y 0 и - произволна точка от окръжността (виж фиг. 48).

Тогава от условието получаваме уравнението

(11.2)

Уравнение (11.2) е изпълнено от координатите на всяка точка от дадена окръжност и не е удовлетворено от координатите на която и да е точка, която не лежи върху окръжността.

Уравнение (11.2) се нарича канонично уравнение на окръжност

По-специално, настройка и , получаваме уравнението на окръжност с център в началото .

Уравнението на кръга (11.2) след прости трансформации ще приеме формата . При сравняване на това уравнение с общото уравнение (11.1) на крива от втори ред е лесно да се забележи, че са изпълнени две условия за уравнението на окръжност:

1) коефициентите за x 2 и y 2 са равни един на друг;

2) няма член, съдържащ произведението xy на текущите координати.

Нека разгледаме обратната задача. Поставяйки стойностите и в уравнение (11.1), получаваме

Нека трансформираме това уравнение:

(11.4)

От това следва, че уравнение (11.3) определя окръжност при условието . Центърът му е в точката , и радиуса

.

Ако , тогава уравнението (11.3) има формата

.

Тя се удовлетворява от координатите на една точка . В този случай казват: „окръжността се е изродила в точка“ (има нулев радиус).

Ако , тогава уравнение (11.4) и следователно еквивалентното уравнение (11.3) няма да дефинират никаква права, тъй като дясната страна на уравнение (11.4) е отрицателна, а лявата не е отрицателна (да кажем: „въображаем кръг“).

11.3. Елипса

Уравнение на канонична елипса

Елипса е множеството от всички точки на една равнина, сумата от разстоянията от всяка от които до две дадени точки на тази равнина, т.нар. трикове , е постоянна стойност, по-голяма от разстоянието между фокусите.

Нека означим фокусите с F 1И Е 2, разстоянието между тях е 2 ° С, а сумата от разстоянията от произволна точка на елипсата до фокусите - през 2 а(виж Фиг. 49). По дефиниция 2 а > 2° С, т.е. а > ° С.

За да изведем уравнението на елипсата, избираме координатна система, така че фокусите F 1И Е 2лежеше на оста, а началото съвпадаше със средата на сегмента F 1 F 2. Тогава фокусите ще имат следните координати: и .

Нека е произволна точка от елипсата. Тогава, според определението за елипса, т.е.

Това по същество е уравнението на елипса.

Нека преобразуваме уравнение (11.5) в по-проста форма, както следва:

защото а>с, Че . Да сложим

(11.6)

Тогава последното уравнение ще приеме формата или

(11.7)

Може да се докаже, че уравнение (11.7) е еквивалентно на първоначалното уравнение. Нарича се канонично уравнение на елипса .

Елипса е крива от втори ред.

Изследване на формата на елипса с помощта на нейното уравнение

Нека установим формата на елипсата, използвайки нейното канонично уравнение.

1. Уравнение (11.7) съдържа x и y само в четни степени, така че ако точка принадлежи на елипса, тогава точките ,, също ѝ принадлежат. От това следва, че елипсата е симетрична по отношение на осите и , както и по отношение на точката, която се нарича център на елипсата.

2. Намерете точките на пресичане на елипсата с координатните оси. Поставяйки , намираме две точки и , в които оста пресича елипсата (виж фиг. 50). Поставяйки в уравнение (11.7) , намираме точките на пресичане на елипсата с оста: и . Точки А 1 , А 2 , Б 1, Б 2са наречени върховете на елипсата. Сегменти А 1 А 2И B 1 B 2, както и техните дължини 2 аи 2 bсе наричат ​​съответно големи и второстепенни осиелипса. Числа аИ bсе наричат ​​съответно големи и малки осиелипса.

3. От уравнение (11.7) следва, че всеки член от лявата страна не надвишава единица, т.е. неравенствата и или и се извършват. Следователно всички точки на елипсата лежат вътре в правоъгълника, образуван от правите линии.

4. В уравнение (11.7) сумата от неотрицателните членове и е равна на единица. Следователно, когато един член се увеличава, другият ще намалява, т.е. ако се увеличава, той намалява и обратно.

От горното следва, че елипсата има формата, показана на фиг. 50 (овална затворена крива).

Повече информация за елипсата

Формата на елипсата зависи от съотношението. Когато елипсата се превърне в кръг, уравнението на елипсата (11.7) приема формата . Съотношението често се използва за характеризиране на формата на елипса. Съотношението на половината от разстоянието между фокусите към голямата полуос на елипсата се нарича ексцентричност на елипсата и o6o се обозначава с буквата ε („епсилон“):

с 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Това показва, че колкото по-малък е ексцентрицитетът на елипсата, толкова по-малко сплескана ще бъде елипсата; ако зададем ε = 0, тогава елипсата се превръща в кръг.

Нека M(x;y) е произволна точка от елипсата с фокуси F 1 и F 2 (виж фиг. 51). Дължините на сегментите F 1 M = r 1 и F 2 M = r 2 се наричат ​​фокални радиуси на точката M. очевидно,

Формулите важат

Директните линии се наричат

Теорема 11.1.Ако е разстоянието от произволна точка на елипсата до някакъв фокус, d е разстоянието от същата точка до директрисата, съответстваща на този фокус, тогава отношението е постоянна стойност, равна на ексцентрицитета на елипсата:

От равенството (11.6) следва, че . Ако, тогава уравнение (11.7) дефинира елипса, чиято голяма ос лежи на оста Oy, а малката ос на оста Ox (виж Фиг. 52). Фокусите на такава елипса са в точки и , където .

11.4. Хипербола

Уравнение на канонична хипербола

Хипербола е множеството от всички точки на равнината, модулът на разликата в разстоянията от всяка от тях до две дадени точки на тази равнина, т.нар. трикове , е постоянна стойност, по-малка от разстоянието между фокусите.

Нека означим фокусите с F 1И Е 2разстоянието между тях е 2s, и модулът на разликата в разстоянията от всяка точка на хиперболата до фокусите през 2а. А-приори 2а < 2s, т.е. а < ° С.

За да изведем уравнението на хиперболата, ние избираме координатна система, така че фокусите F 1И Е 2лежеше на оста, а началото съвпадаше със средата на сегмента F 1 F 2(виж Фиг. 53). Тогава фокусите ще имат координати и

Нека е произволна точка от хиперболата. След това, според дефиницията на хипербола или , т.е. след опростяване, както беше направено при извеждането на уравнението на елипсата, получаваме канонично уравнение на хипербола

(11.9)

(11.10)

Хиперболата е линия от втори ред.

Изучаване на формата на хипербола с помощта на нейното уравнение

Нека установим формата на хиперболата, използвайки нейното каконично уравнение.

1. Уравнение (11.9) съдържа x и y само в четни степени. Следователно хиперболата е симетрична спрямо осите и , както и спрямо точката, която се нарича центъра на хиперболата.

2. Намерете точките на пресичане на хиперболата с координатните оси. Поставяйки в уравнение (11.9), намираме две точки на пресичане на хиперболата с оста: и. Поставяйки (11.9), получаваме , което не може да бъде. Следователно хиперболата не пресича оста Oy.

Точките се наричат върхове хиперболи и отсечката

реална ос , отсечка - реална полуос хипербола.

Нарича се сегмент, свързващ точките въображаема ос , номер b - въображаема полуос . Правоъгълник със страни 2аИ 2бНаречен основен правоъгълник на хипербола .

3. От уравнение (11.9) следва, че умаляваното не е по-малко от едно, т.е., че или . Това означава, че точките на хиперболата са разположени отдясно на правата (дясното разклонение на хиперболата) и отляво на правата (лявото разклонение на хиперболата).

4. От уравнение (11.9) на хиперболата става ясно, че когато се увеличава, тя се увеличава. Това следва от факта, че разликата поддържа постоянна стойност, равна на единица.

От горното следва, че хиперболата има формата, показана на фигура 54 (крива, състояща се от два неограничени клона).

Асимптоти на хипербола

Правата L се нарича асимптота неограничена крива K, ако разстоянието d от точка M на крива K до тази права линия клони към нула, когато разстоянието на точка M по крива K от началото е неограничено. Фигура 55 предоставя илюстрация на концепцията за асимптота: права линия L е асимптота за крива K.

Нека покажем, че хиперболата има две асимптоти:

(11.11)

Тъй като правите линии (11.11) и хиперболата (11.9) са симетрични по отношение на координатните оси, достатъчно е да се вземат предвид само онези точки от посочените линии, които се намират в първата четвърт.

Нека вземем точка N на права линия, която има същата абциса x като точката на хиперболата (виж Фиг. 56) и намерете разликата ΜΝ между ординатите на правата линия и клона на хиперболата:

Както можете да видите, с нарастване на x, знаменателят на дробта се увеличава; числителят е постоянна стойност. Следователно дължината на сегмента ΜΝ клони към нула. Тъй като MΝ е по-голямо от разстоянието d от точката M до правата, тогава d клони към нула. И така, линиите са асимптоти на хиперболата (11.9).

Когато конструирате хипербола (11.9), препоръчително е първо да конструирате главния правоъгълник на хиперболата (вижте фиг. 57), да начертаете прави линии, минаващи през противоположните върхове на този правоъгълник - асимптотите на хиперболата и да маркирате върховете и , на хиперболата.

Уравнение на равностранна хипербола.

чиито асимптоти са координатните оси

Хипербола (11.9) се нарича равностранна, ако нейните полуоси са равни на (). Неговото канонично уравнение

(11.12)

Асимптотите на равностранна хипербола имат уравнения и следователно са ъглополовящи на координатни ъгли.

Нека разгледаме уравнението на тази хипербола в нова координатна система (виж фиг. 58), получена от старата чрез завъртане на координатните оси под ъгъл. Използваме формулите за въртящи се координатни оси:

Заместваме стойностите на x и y в уравнение (11.12):

Уравнението на равностранна хипербола, за която осите Ox и Oy са асимптоти, ще има формата .

Повече информация за хипербола

Ексцентричност хипербола (11.9) е съотношението на разстоянието между фокусите към стойността на реалната ос на хиперболата, обозначена с ε:

Тъй като за хипербола , ексцентрицитетът на хиперболата е по-голям от едно: . Ексцентричността характеризира формата на хипербола. Наистина, от равенството (11.10) следва, че т.е. И .

От това се вижда, че колкото по-малък е ексцентрицитетът на хиперболата, толкова по-малко е съотношението на нейните полуоси и следователно толкова по-удължен е основният й правоъгълник.

Ексцентрицитетът на равностранна хипербола е . Наистина ли,

Фокални радиуси И за точки от десния клон хиперболите имат формата и , а за левия клон - И .

Правите линии се наричат ​​директриси на хипербола. Тъй като за хипербола ε > 1, тогава . Това означава, че дясната директриса е разположена между центъра и десния връх на хиперболата, лявата - между центъра и левия връх.

Директрисите на хипербола имат същото свойство като директрисите на елипса.

Кривата, дефинирана от уравнението, също е хипербола, чиято реална ос 2b е разположена на оста Oy, а имагинерната ос 2 а- по оста Ох. На фигура 59 е показано като пунктирана линия.

Очевидно е, че хиперболите имат общи асимптоти. Такива хиперболи се наричат ​​спрегнати.

11.5. Парабола

Уравнение на канонична парабола

Парабола е набор от всички точки на равнината, всяка от които е еднакво отдалечена от дадена точка, наречена фокус, и дадена права, наречена директриса. Разстоянието от фокуса F до директрисата се нарича параметър на параболата и се обозначава с p (p> 0).

За да изведем уравнението на параболата, избираме координатната система Oxy така, че оста Ox да минава през фокуса F перпендикулярно на директрисата в посока от директрисата към F, а началото на координатите O да се намира в средата между фокуса и директрисата (виж Фиг. 60). В избраната система фокусът F има координати , а уравнението на директрисата има вида , или .

1. В уравнение (11.13) променливата y се появява в четна степен, което означава, че параболата е симетрична спрямо оста Ox; Оста Ox е оста на симетрия на параболата.

2. Тъй като ρ > 0, от (11.13) следва, че . Следователно параболата е разположена вдясно от оста Oy.

3. Когато имаме y = 0. Следователно параболата минава през началото.

4. Тъй като x нараства неограничено, модулът y също нараства неограничено. Параболата има формата (формата), показана на фигура 61. Точка O(0; 0) се нарича връх на параболата, сегментът FM = r се нарича фокален радиус на точка M.

Уравнения , , ( p>0) също дефинират параболи, те са показани на фигура 62

Не е трудно да се покаже, че графиката на квадратен трином, където , B и C са реални числа, е парабола в смисъла на дефиницията й, дадена по-горе.

11.6. Общо уравнение на линии от втори ред

Уравнения на криви от втори ред с оси на симетрия, успоредни на координатните оси

Нека първо намерим уравнението на елипса с център в точката, чиито оси на симетрия са успоредни на координатните оси Ox и Oy, а полуосите са съответно равни аИ b. Нека поставим в центъра на елипсата O 1 началото на нова координатна система, чиито оси и полуоси аИ b(виж Фиг. 64):

И накрая, параболите, показани на фигура 65, имат съответните уравнения.

Уравнението

Уравненията на елипса, хипербола, парабола и уравнението на окръжност след трансформации (отворени скоби, преместване на всички членове на уравнението на една страна, въвеждане на подобни членове, въвеждане на нови обозначения за коефициенти) могат да бъдат записани с помощта на едно уравнение на форма

където коефициентите A и C не са равни на нула едновременно.

Възниква въпросът: дали всяко уравнение от вида (11.14) определя една от кривите (окръжност, елипса, хипербола, парабола) от втори ред? Отговорът се дава от следната теорема.

Теорема 11.2. Уравнение (11.14) винаги дефинира: или кръг (за A = C), или елипса (за A C > 0), или хипербола (за A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Общо уравнение от втори ред

Нека сега разгледаме общо уравнение от втора степен с две неизвестни:

Различава се от уравнение (11.14) по наличието на член с произведението на координатите (B¹ 0). Възможно е чрез завъртане на координатните оси под ъгъл a да се трансформира това уравнение така, че членът с произведението на координатите да отсъства.

Използване на формули за въртене на осите

Нека изразим старите координати чрез новите:

Нека изберем ъгъл a така, че коефициентът за x" · y" да стане нула, т.е. така че равенството

Така, когато осите се завъртят на ъгъл a, който удовлетворява условието (11.17), уравнение (11.15) се редуцира до уравнение (11.14).

Заключение: общото уравнение от втори ред (11.15) определя на равнината (с изключение на случаите на израждане и разпад) следните криви: кръг, елипса, хипербола, парабола.

Забележка: Ако A = C, тогава уравнение (11.17) става безсмислено. В този случай cos2α = 0 (виж (11.16)), тогава 2α = 90°, т.е. α = 45°. Така че, когато A = C, координатната система трябва да се завърти на 45 °.

Линии от втори ред.
Елипса и нейното канонично уравнение. кръг

След задълбочено проучване прави линии в равнинатаПродължаваме да изучаваме геометрията на двуизмерния свят. Залозите са удвоени и ви каня да посетите живописна галерия от елипси, хиперболи, параболи, които са типични представители линии от втори ред. Екскурзията вече започна и първо кратка информация за цялата изложба на различните етажи на музея:

Концепцията за алгебрична права и нейния ред

Права на равнина се нарича алгебричен, ако в афинна координатна системанеговото уравнение има формата , където е полином, състоящ се от членове на формата ( – реално число, – неотрицателни цели числа).

Както можете да видите, уравнението на алгебрична линия не съдържа синуси, косинуси, логаритми и друг функционален бомонд. Влизат само X и Y неотрицателни цели числастепени.

Ред на линияравен на максималната стойност на включените в него условия.

Съгласно съответната теорема концепцията за алгебрична линия, както и нейният ред, не зависят от избора афинна координатна система, следователно, за по-лесно съществуване, приемаме, че всички последващи изчисления се извършват в Декартови координати.

Общо уравнениередът от втори ред има формата , където – произволни реални числа (Прието е да се пише с коефициент две), а коефициентите не са равни на нула в същото време.

Ако , тогава уравнението се опростява до , и ако коефициентите не са равни на нула в същото време, тогава това е точно общо уравнение на "плоска" линия, което представлява първа линия за поръчка.

Мнозина разбраха значението на новите термини, но въпреки това, за да усвоим 100% материала, ние пъхаме пръстите си в гнездото. За да определите реда на редовете, трябва да повторите всички условиянеговите уравнения и намерете за всяко от тях сбор от градусивходящи променливи.

Например:

терминът съдържа “x” на 1-ва степен;
членът съдържа "Y" на 1-ва степен;
В термина няма променливи, така че сумата от техните степени е нула.

Сега нека разберем защо уравнението определя правата второпоръчка:

членът съдържа “x” на 2-ра степен;
събираемото е сумата от степените на променливите: 1 + 1 = 2;
терминът съдържа "Y" на 2-ра степен;
всички други условия - по-малкостепени.

Максимална стойност: 2

Ако добавим допълнително, да речем, към нашето уравнение, тогава то вече ще определи линия от трети ред. Очевидно е, че общата форма на уравнението на линията от 3-ти ред съдържа „пълен набор“ от членове, сумата от степените на променливите, в които е равна на три:
, където коефициентите не са равни на нула едновременно.

Ако добавите един или повече подходящи термини, които съдържат , тогава вече ще говорим за Линии от 4-ти реди т.н.

Ще трябва да срещнем алгебрични линии от 3-ти, 4-ти и по-високи порядъци повече от веднъж, по-специално, когато се запознаем с полярна координатна система.

Нека обаче се върнем към общото уравнение и си припомним най-простите му училищни варианти. Като примери възниква парабола, чието уравнение може лесно да се сведе до общ вид, и хипербола с еквивалентно уравнение. Не всичко обаче е толкова гладко...

Съществен недостатък на общото уравнение е, че почти винаги не е ясно коя права определя. Дори в най-простия случай няма веднага да разберете, че това е хипербола. Такива оформления са добри само на маскарад, така че типичен проблем се разглежда в хода на аналитичната геометрия привеждане на уравнението на линията от 2-ри ред до канонична форма.

Каква е каноничната форма на уравнение?

Това е общоприетата стандартна форма на уравнение, когато за секунди става ясно какъв геометричен обект определя. В допълнение, каноничната форма е много удобна за решаване на много практически задачи. Така, например, според каноничното уравнение "плоска" права, първо, веднага става ясно, че това е права линия, и второ, точката, принадлежаща към нея, и векторът на посоката са лесно видими.

Очевидно, всякакви 1-ва линия за поръчкае права линия. На втория етаж вече не ни чака пазачът, а много по-разнообразна компания от девет статуи:

Класификация на линии от втори ред

Използвайки специален набор от действия, всяко уравнение на линия от втори ред се редуцира до една от следните форми:

(и са положителни реални числа)

1) – канонично уравнение на елипсата;

2) – канонично уравнение на хипербола;

3) – канонично уравнение на парабола;

4) – въображаемелипса;

5) – двойка пресичащи се прави;

6) – двойка въображаемпресичащи се линии (с една валидна пресечна точка в началото);

7) – двойка успоредни прави;

8) – двойка въображаемпаралелни линии;

9) – двойка съвпадащи линии.

Някои читатели може да имат впечатлението, че списъкът е непълен. Например в точка № 7 уравнението уточнява двойката директен, успоредна на оста, и възниква въпросът: къде е уравнението, което определя правите, успоредни на ординатната ос? Отговор: то не се считат за канонични. Правите линии представляват същия стандартен случай, завъртян на 90 градуса, а допълнителният запис в класификацията е излишен, тъй като не носи нищо принципно ново.

По този начин има девет и само девет различни типа линии от 2-ри ред, но на практика най-често срещаните са елипса, хипербола и парабола.

Нека първо да разгледаме елипсата. Както обикновено, аз се съсредоточавам върху тези точки, които са от голямо значение за решаването на задачи, и ако имате нужда от подробно извеждане на формули, доказателства на теореми, моля, обърнете се към учебника на Базилев/Атанасян или Александров.

Елипса и нейното канонично уравнение

Правопис... моля, не повтаряйте грешките на някои потребители на Yandex, които се интересуват от „как да се изгради елипса“, „разликата между елипса и овал“ и „ексцентричността на елипса“.

Каноничното уравнение на елипса има формата , където са положителни реални числа и . По-късно ще формулирам самата дефиниция на елипса, но засега е време да си починем от приказките и да разрешим общ проблем:

Как да построим елипса?

Да, просто го вземете и просто го нарисувайте. Задачата се появява често и значителна част от учениците не се справят правилно с чертежа:

Пример 1

Построете елипсата, дадена от уравнението

Решение: Първо, нека приведем уравнението в канонична форма:

Защо да донесе? Едно от предимствата на каноничното уравнение е, че ви позволява незабавно да определите върховете на елипсата, които са разположени в точки. Лесно се вижда, че координатите на всяка от тези точки удовлетворяват уравнението.

В такъв случай :


Линеен сегментНаречен главна оселипса;
линейна отсечка – второстепенна ос;
номер Наречен полу-голям валелипса;
номер – второстепенна ос.
в нашия пример: .

За да си представите бързо как изглежда определена елипса, просто погледнете стойностите на „a“ и „be“ на нейното канонично уравнение.

Всичко е наред, спретнато и красиво, но има едно предупреждение: направих рисунката с помощта на програмата. И можете да направите рисунката с помощта на всяко приложение. В суровата реалност обаче на масата има карирано листче, а мишките танцуват в кръг по ръцете ни. Хората с артистичен талант, разбира се, могат да спорят, но вие също имате мишки (макар и по-малки). Не напразно човечеството е изобретило линийка, компас, транспортир и други прости устройства за рисуване.

Поради тази причина е малко вероятно да успеем да начертаем точно елипса, познавайки само върховете. Всичко е наред, ако елипсата е малка, например с полуоси. Като алтернатива можете да намалите мащаба и съответно размерите на чертежа. Но като цяло е много желателно да се намерят допълнителни точки.

Има два подхода за построяване на елипса - геометричен и алгебричен. Не харесвам конструирането с пергел и линийка, защото алгоритъмът не е най-краткият и чертежът е значително претрупан. В случай на спешност, моля, обърнете се към учебника, но в действителност е много по-рационално да използвате инструментите на алгебрата. От уравнението на елипсата в черновата бързо изразяваме:

След това уравнението се разделя на две функции:
– определя горната дъга на елипсата;
– определя долната дъга на елипсата.

Елипса, дефинирана от каноничното уравнение, е симетрична по отношение на координатните оси, както и по отношение на началото. И това е страхотно - симетрията почти винаги е предвестник на безплатните. Очевидно е достатъчно да се справим с 1-вата координатна четвърт, така че имаме нужда от функцията . Моли да се намерят допълнителни точки с абсцисите . Нека докоснем три SMS съобщения на калкулатора:

Разбира се, също така е хубаво, че ако се направи сериозна грешка в изчисленията, това веднага ще стане ясно по време на строителството.

Нека маркираме точките на чертежа (червен цвят), симетричните точки на останалите дъги (син цвят) и внимателно да свържем цялата компания с линия:


По-добре е да нарисувате първоначалната скица много тънко и едва след това да приложите натиск с молив. Резултатът трябва да е доста прилична елипса. Между другото, бихте ли искали да знаете каква е тази крива?

Дефиниция на елипса. Фокус на елипса и ексцентричност на елипса

Елипса е специален случай на овал. Думата „овал“ не трябва да се разбира във филистимския смисъл („детето нарисува овал“ и т.н.). Това е математически термин, който има подробна формулировка. Целта на този урок не е да разглежда теорията на овалите и различните им видове, на които практически не се обръща внимание в стандартния курс на аналитична геометрия. И в съответствие с по-актуалните нужди веднага преминаваме към стриктната дефиниция на елипса:

Елипсае множеството от всички точки на равнината, сумата от разстоянията до всяка от които от две дадени точки, т.нар. триковеелипса, е постоянна величина, числено равна на дължината на голямата ос на тази елипса: .
В този случай разстоянията между фокусите са по-малки от тази стойност: .

Сега всичко ще стане по-ясно:

Представете си, че синята точка „пътува“ по елипса. Така че, независимо коя точка от елипсата вземем, сумата от дължините на сегментите винаги ще бъде една и съща:

Нека се уверим, че в нашия пример стойността на сумата наистина е равна на осем. Мислено поставете точката „хм“ в десния връх на елипсата, след това: , което трябва да се провери.

Друг начин за рисуване се основава на определението за елипса. Висшата математика понякога е причина за напрежение и стрес, така че е време за още една разтоварваща сесия. Моля, вземете ватман или голям лист картон и го закрепете на масата с два пирона. Това ще са трикове. Завържете зелен конец към стърчащите глави на ноктите и го издърпайте докрай с молив. Оловото на молива ще завърши в определена точка, която принадлежи на елипсата. Сега започнете да движите молива по листа хартия, като държите зеления конец опънат. Продължете процеса, докато се върнете в началната точка... страхотно... рисунката може да бъде проверена от лекаря и учителя =)

Как да намерим фокусите на елипса?

В горния пример изобразих „готови“ фокусни точки и сега ще научим как да ги извличаме от дълбините на геометрията.

Ако една елипса е дадена от канонично уравнение, тогава нейните фокуси имат координати , къде е разстоянието от всеки фокус до центъра на симетрия на елипсата.

Изчисленията са по-прости от прости:

! Конкретните координати на огнища не могат да се идентифицират със значението на “це”!Повтарям, че това е РАЗСТОЯНИЕ от всеки фокус до центъра(който в общия случай не е задължително да се намира точно в началото).
И следователно разстоянието между фокусите също не може да бъде обвързано с каноничната позиция на елипсата. С други думи, елипсата може да бъде преместена на друго място и стойността ще остане непроменена, докато фокусите естествено ще променят своите координати. Моля, вземете това предвид, докато проучвате по-нататък темата.

Ексцентричност на елипсата и нейното геометрично значение

Ексцентричността на елипса е съотношение, което може да приема стойности в диапазона.

В нашия случай:

Нека да разберем как формата на елипсата зависи от нейния ексцентричност. За това фиксирайте левия и десния върхна разглежданата елипса, т.е. стойността на голямата полуос ще остане постоянна. Тогава формулата за ексцентричност ще приеме формата: .

Нека започнем да доближаваме стойността на ексцентричността до единица. Това е възможно само ако. Какво означава? ...помнете триковете . Това означава, че фокусите на елипсата ще се „раздалечат“ по абсцисната ос към страничните върхове. И тъй като „зелените сегменти не са гумени“, елипсата неизбежно ще започне да се изравнява, превръщайки се във все по-тънка и по-тънка наденица, нанизана на ос.

По този начин, колкото по-близо е стойността на ексцентричността на елипсата до единица, толкова по-удължена е елипсата.

Сега нека моделираме обратния процес: фокусите на елипсата вървяха един към друг, приближавайки се към центъра. Това означава, че стойността на “ce” става все по-малка и съответно ексцентричността клони към нула: .
В този случай „зелените сегменти“, напротив, ще „се претъпкат“ и ще започнат да „бутат“ линията на елипсата нагоре и надолу.

По този начин, Колкото по-близка е стойността на ексцентричността до нула, толкова по-подобна е елипсата... разгледайте ограничаващия случай, когато огнищата са успешно обединени отново в началото:

Кръгът е частен случай на елипса

Наистина, в случай на равенство на полуосите, каноничното уравнение на елипсата приема формата , което рефлексивно се трансформира в уравнението на окръжност с център в началото на радиус "а", добре познато от училище.

На практика по-често се използва обозначението с „говорещата“ буква „ер“: . Радиусът е дължината на сегмент, като всяка точка на окръжността е отдалечена от центъра на радиус.

Обърнете внимание, че определението за елипса остава напълно правилно: фокусите съвпадат и сумата от дължините на съвпадащите сегменти за всяка точка от окръжността е константа. Тъй като разстоянието между фокусите е , тогава ексцентричността на всеки кръг е нула.

Конструирането на кръг е лесно и бързо, просто използвайте компас. Понякога обаче е необходимо да разберете координатите на някои от неговите точки, в този случай вървим по познатия начин - привеждаме уравнението до веселата форма на Матанов:

– функция на горния полукръг;
– функция на долния полукръг.

След това намираме необходимите стойности, диференцират, интегрирами прави други добри неща.

Статията, разбира се, е само за справка, но как можете да живеете в света без любов? Творческа задача за самостоятелно решаване

Пример 2

Съставете каноничното уравнение на елипса, ако са известни един от нейните фокуси и малка полуос (центърът е в началото). Намерете върхове, допълнителни точки и начертайте линия върху чертежа. Изчислете ексцентричността.

Решение и рисунка в края на урока

Нека добавим действие:

Завъртете и паралелно преместете елипса

Нека се върнем към каноничното уравнение на елипсата, а именно към условието, чиято мистерия измъчва любознателните умове от първото споменаване на тази крива. Така че разгледахме елипсата , но не е ли възможно на практика да се изпълни уравнението ? Все пак и тук май е елипса!

Този вид уравнение е рядко, но се среща. И всъщност дефинира елипса. Нека демистифицираме:

В резултат на конструкцията се получи нашата родна елипса, завъртяна на 90 градуса. Това е, - Това неканоничен записелипса . запис!- уравнението не определя никаква друга елипса, тъй като няма точки (фокуси) на оста, които да отговарят на определението за елипса.

Това е геометрична фигура, която е ограничена от крива, дадена от уравнението.

Има два фокуса . Фокусирасе наричат ​​такива две точки, сумата от разстоянията от които до всяка точка на елипсата е постоянна стойност.

Рисуване на фигура елипса

F 1, F 2 – фокусира. F 1 = (c; 0); F 2 (- c ; 0)

c – половината от разстоянието между фокусите;

a – голяма полуос;

б – малка полуос.

Теорема.Фокусното разстояние и полуосите са свързани по отношение:

a 2 = b 2 + c 2 .

Доказателство:Ако точка M се намира в пресечната точка на елипсата с вертикалната ос, r 1 + r 2 = 2* (според Питагоровата теорема). Ако точка M се намира в пресечната й точка с хоризонталната ос, r 1 + r 2 = a – c + a + c. защото по дефиниция сумата r 1 + r 2 е постоянна стойност, тогава, приравнявайки, получаваме:

r 1 + r 2 = 2 a.

Ексцентричност на фигура елипса

Определение.Формата на елипсата се определя от характеристиката, която е отношението на фокусното разстояние към голямата ос и се нарича ексцентричност.

защото с< a , то е < 1.

Определение.Извиква се количеството k = b / a степен на компресия, а се нарича величината 1 – k = (a – b)/ a компресия.

Коефициентът на сгъстяване и ексцентрицитетът са свързани по отношение: k 2 = 1 – e 2 .

Ако a = b (c = 0, e = 0, фокусите се сливат), тогава елипсата се превръща в кръг.

Ако условието е изпълнено за точката M(x 1, y 1): то тя се намира вътре в елипсата, а ако , то точката е извън нея.

Теорема.За произволна точка M(x, y), принадлежаща на фигурата на елипсата, са верни следните отношения::

r 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

Доказателство.По-горе беше показано, че r 1 + r 2 = 2 a. В допълнение, от геометрични съображения можем да напишем:

След повдигане на квадрат и привеждане на подобни условия:

По подобен начин се доказва, че r 2 = a + ex. Теоремата е доказана.

Директриса фигури елипса

Фигурата елипса е свързана с две прави линии, т.нар директорки. Техните уравнения са:

x = a/e; x = - a / e.

Теорема.За да лежи точка на границата на фигура на елипса, е необходимо и достатъчно отношението на разстоянието до фокуса към разстоянието до съответната директриса да е равно на ексцентрицитета e.

Пример. Построете елипса, минаваща през левия фокус и долния връх на фигурата, дадена от уравнението:

Точки Е 1 (–° С, 0) и Е 2 (° С, 0), където се извикват фокуси на елипса , докато стойността е 2 ° Сопределя междуфокално разстояние .

Точки А 1 (–А, 0), А 2 (А, 0), IN 1 (0, –b), б 2 (0, b) са наречени върховете на елипсата (фиг. 9.2), докато А 1 А 2 = 2Аобразува голямата ос на елипсата и IN 1 IN 2 – малък, – центърът на елипсата.

Основните параметри на елипсата, характеризиращи нейната форма:

ε = с/а – ексцентричност на елипса ;

– фокални радиуси на елипсата (точка Мпринадлежи на елипсата), и r 1 = а + εx, r 2 = а – εx;

– директриси на елипсата .

За елипса е вярно: директрисите не пресичат границата и вътрешната област на елипсата и също имат свойството

Ексцентричността на елипсата изразява нейната степен на "компресия".

Ако b > а> 0, тогава елипсата е дадена от уравнение (9.7), за което вместо условие (9.8) е изпълнено условието

След това 2 А– второстепенна ос, 2 b– голяма ос, – фокуси (фиг. 9.3). При което r 1 + r 2 = 2b,
ε = ° С/b, директрисите се определят от уравненията:

Като се има предвид условието, имаме (под формата на специален случай на елипса) кръг с радиус Р = а. При което с= 0, което означава ε = 0.

Точките на елипсата имат характерно свойство : сумата от разстоянията от всяко от тях до фокусите е постоянна стойност, равна на 2 А(фиг. 9.2).

За параметрична дефиниция на елипса (формула (9.7)) в случаите, когато са изпълнени условия (9.8) и (9.9) като параметър Tможе да се вземе ъгълът между радиус вектора на точка, лежаща върху елипсата, и положителната посока на оста Вол:

Ако центърът на елипса с полуоси е в точка, тогава нейното уравнение има формата:

Пример 1.Дайте уравнението на елипсата х 2 + 4г 2 = 16 към каноничната форма и определя нейните параметри. Начертайте елипса.

Решение. Нека разделим уравнението х 2 + 4г 2 = 16 на 16, след което получаваме:

Въз основа на формата на полученото уравнение заключаваме, че това е каноничното уравнение на елипса (формула (9.7)), където А= 4 – голяма полуос, b= 2 – малка полуос. Това означава, че върховете на елипсата са точките А 1 (–4, 0), А 2 (4, 0), б 1 (0, –2), б 2 (0, 2). Тъй като е половината от междуфокалното разстояние, точките са фокусите на елипсата. Нека изчислим ексцентричността:

Директорки д 1 , д 2 се описват с уравненията:

Начертайте елипса (фиг. 9.4).

Пример 2.Определете параметрите на елипса

Решение.Нека сравним това уравнение с каноничното уравнение на елипса с изместен център. Намиране на центъра на елипсата СЪС: Голяма полуос, малка полуос, прави линии – големи оси. Половината от междуфокалното разстояние и следователно ексцентричността на фокусите на директрисата д 1 и д 2 може да се опише с помощта на уравненията: (фиг. 9.5).

Пример 3.Определете коя крива е дадена от уравнението и я начертайте:

1) х 2 + г 2 + 4х – 2г + 4 = 0; 2) х 2 + г 2 + 4х – 2г + 6 = 0;

3) х 2 + 4г 2 – 2х + 16г + 1 = 0; 4) х 2 + 4г 2 – 2х + 16г + 17 = 0;

Решение. 1) Нека редуцираме уравнението до канонична форма, като изолираме пълния квадрат на бинома:

х 2 + г 2 + 4х – 2г + 4 = 0;

(х 2 + 4х) + (г 2 – 2г) + 4 = 0;

(х 2 + 4х + 4) – 4 + (г 2 – 2г + 1) – 1 + 4 = 0;

(х + 2) 2 + (г – 1) 2 = 1.

Така уравнението може да се сведе до формата

(х + 2) 2 + (г – 1) 2 = 1.

Това е уравнението на окръжност с център в точка (–2, 1) и радиус Р= 1 (фиг. 9.6).

2) Избираме идеалните квадрати на биномите от лявата страна на уравнението и получаваме:

(х + 2) 2 + (г – 1) 2 = –1.

Това уравнение няма смисъл в набора от реални числа, тъй като лявата страна е неотрицателна за всички реални стойности на променливите хИ г, а дясната е отрицателна. Затова те казват, че това е уравнението на „въображаема окръжност“ или че то определя празен набор от точки в равнината.

3) Изберете цели квадратчета:

х 2 + 4г 2 – 2х + 16г + 1 = 0;

(х 2 – 2х + 1) – 1 + 4(г 2 + 4г + 4) – 16 + 1 = 0;

(х – 1) 2 + 4(г + 2) 2 – 16 = 0;

(х – 1) 2 + 4(г + 2) 2 = 16.

Така че уравнението изглежда така:

Полученото уравнение, а следователно и оригиналното, определя елипса. Центърът на елипсата е в точката ОТНОСНО 1 (1, –2), главните оси са дадени от уравненията г = –2, х= 1, и голямата полуос А= 4, второстепенна ос b= 2 (фиг. 9.7).

4) След избиране на пълни квадрати имаме:

(х – 1) 2 + 4(г+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 или ( х – 1) 2 + 4(г + 2) 2 = 0.

Полученото уравнение определя една точка на равнината с координати (1, –2).

5) Нека приведем уравнението в канонична форма:

Очевидно то дефинира елипса, чийто център е разположен в точката, където главните оси са дадени от уравненията с голямата полуос и малката полуос (фиг. 9.8).

Пример 4.Запишете уравнението на допирателната към окръжност с радиус 2 с център в десния фокус на елипсата х 2 + 4г 2 = 4 в точката на пресичане с оста y.

Решение.Нека редуцираме уравнението на елипсата до канонична форма (9.7):

Това означава, че правилният фокус също е - Следователно, необходимото уравнение за окръжност с радиус 2 има формата (фиг. 9.9):

Окръжността пресича ординатната ос в точки, чиито координати се определят от системата от уравнения:

Получаваме:

Нека това са точки н(0; –1) и М(0; 1). Това означава, че можем да построим две допирателни, нека ги обозначим T 1 и T 2. Според добре известното свойство допирателната е перпендикулярна на радиуса, прекаран до точката на контакт.

Нека Тогава уравнението на допирателната T 1 ще приеме формата:

Така че, или T 1: Еквивалентно е на уравнението