می توان نشان داد (ما نمی کنیم) که معادله (2) معادل معادله (1) است، اگرچه از (1) به دست آمده است. غیر معادلتحولات یعنی معادله (2) معادله این بیضی است. نامیده می شود ابتدایی(یعنی ساده ترین).

می توان دید که معادله بیضی یک معادله مرتبه دوم است، یعنی. خط بیضی درجه 2.

برای بیضی مفهوم را معرفی می کنیم عجیب و غریباین مقدار است. برای بیضی، خروج از مرکز است. زیرا باو آشناخته شده، سپس شناخته شده است. بیان شعاع کانونی نقطه M(x,y) بیضی به راحتی از آرگومان های قبلی بدست می آید: . r 2 از برابری پیدا می شود (3)

اظهار نظراگر دو میخ (F1 و F2) را به میز می‌کوبید، از دو سر آن یک نخ ببندید که طول آن بیشتر از فاصله بین میخ‌ها باشد. 2a) طناب را بکشید و یک تکه گچ در امتداد میز بکشید، سپس یک منحنی بیضی بسته که هم در مورد محورها و هم مبدا متقارن است رسم می کند.

4. بررسی شکل یک بیضی با استفاده از معادله متعارف آن.

در تذکر، برای شفافیت، در مورد شکل بیضی نتیجه گرفتیم. حال اجازه دهید شکل بیضی را با تجزیه و تحلیل معادله متعارف آن مطالعه کنیم:

بیایید نقاط تقاطع با محورهای مختصات را پیدا کنیم. اگر ,y=0، آنگاه، , i.e. ما دو نقطه A1(-a,0) و A2(a,0) داریم. اگر x=0، پس، . آن ها ما دو نقطه B1(0,-b) و B2(0,b) داریم (از , سپس ). نقاط A1، A2، B1، B2 نامیده می شوند رئوس بیضی

2) منطقه محل بیضی را می توان از ملاحظات زیر تعیین کرد:

الف) از معادله بیضی نتیجه می شود که، i.e. ، یعنی یا .

ب) به طور مشابه، یعنی. یا . این نشان می دهد که کل بیضی در مستطیلی قرار دارد که توسط خطوط و .

3) بعلاوه، متغیرهای x و y فقط در توان زوج وارد معادله بیضی می شوند، به این معنی که منحنی نسبت به هر یک از محورها و نسبت به مبدا متقارن است. D-اما اگر یک نقطه (x، y) به شعاع تعلق داشته باشد، نقاط (x، -y)، (-x، y) و (-x، -y) نیز به آن تعلق دارند. بنابراین، کافی است فقط آن قسمت از بیضی را در نظر بگیریم که در ربع اول قرار دارد، کجا و .

4) از معادله بیضی داریم و در ربع اول . اگر x=0، آنگاه y=b. این نقطه B2(0,b) است. اجازه دهید x از 0 به a افزایش یابد، سپس y از b به 0 کاهش یابد. بنابراین، نقطه M(x, y)، با شروع از نقطه B2(0، b) که یک کمان را توصیف می کند، به نقطه A(a,0) می رسد. می توان به شدت ثابت کرد که قوس به صورت محدب به سمت بالا هدایت می شود. با انعکاس این کمان در محورهای مختصات و مبدا، کل بیضی را بدست می آوریم. محورهای تقارن بیضی را محورهای آن می نامند و نقطه O تقاطع آنها مرکز بیضی است. طول قطعات OA1=OA2=a را محور نیمه اصلی بیضی می نامند، قطعات OB1، OB2=b محور نیمه کوچک بیضی هستند، (a>b)، c نیمه کانونی است. فاصله قدر را به راحتی می توان از نظر هندسی توضیح داد.

وقتی a=b از معادله متعارف بیضی معادله یک دایره را بدست می آوریم. برای دایره، یعنی F1=F2=0. .

بنابراین، یک دایره یک مورد خاص از بیضی است، زمانی که کانون های آن با مرکز و خروج از مرکز منطبق باشد = 0. هر چه خروج از مرکز بیشتر باشد، بیضی کشیده تر می شود.

اظهار نظر.از معادله متعارف بیضی به راحتی می توان نتیجه گرفت که بیضی را می توان به صورت پارامتریک مشخص کرد. x=a هزینه t

y=b sin t،که در آن a، b نیم محورهای اصلی و فرعی، زاویه t هستند.

5. تعریف و استخراج معادله هذلولی متعارف.

هایپربولیصفحات HMT نامیده می شوند که برای آنها تفاوت فاصله از دو نقطه ثابت F1F2 صفحه که کانون نامیده می شود، یک مقدار ثابت است (نه برابر 0 و کمتر از فاصله کانونی F1F2).

مانند قبل F1F2 = 2c را نشان خواهیم داد و تفاوت فاصله ها 2a است (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

فرض کنید M (x,y) نقطه فعلی هذلولی باشد. طبق تعریف MF1-MF2= یا r 1 -r 2 = = یا --(1). - این معادله هذلولی است.

از نامعقول بودن در (1) خلاص می شویم: یک ریشه را جدا می کنیم، هر دو قسمت را مربع می کنیم، می گیریم: یا دوباره مربع آن:

جایی که .

تقسیم بر . اجازه دهید نام را معرفی کنیم. سپس --(2). معادله (2)، همانطور که نشان داده می شود، معادل معادله (1) است و بنابراین معادله یک هذلولی است. او نامیده می شود معادله متعارف هذلولیمی بینیم که معادله هذلولی نیز درجه دوم است، یعنی خط هذلولی مرتبه دوم.

خروج از مرکز هذلولی. عبارت شعاع کانونی از طریق عبارت قبلی به راحتی بدست می آید، سپس آن را از .

6. بررسی شکل هذلولی با استفاده از معادله متعارف آن.

ما به همان روشی که هنگام مطالعه بیضی استدلال می کنیم.

1. نقاط تقاطع را با محورهای هذلولی بیابید. اگر x=0، پس . هیچ نقطه تقاطعی با محور op-amp وجود ندارد. اگر y=0، پس نقاط تقاطع , . آنها نامیده می شوند رئوس هذلولی

2. ناحیه مکان هذلولی: , i.e. یا . این بدان معنی است که هذلولی در خارج از نواری قرار دارد که توسط خطوط مستقیم محدود شده است x=-aو x=a.

3. هذلولی همه نوع تقارن دارد، زیرا x و y در توان های زوج رخ می دهند. بنابراین کافی است آن قسمت از هذلولی را که در ربع اول قرار دارد در نظر بگیریم.

4. از معادله هذلولی (2) در ربع اول داریم . برای x=a، y=0 نقطه داریم. در، یعنی منحنی به سمت راست بالا می رود. برای اینکه حرکت را واضح‌تر تصور کنید، دو خط کمکی را در نظر بگیرید که از مبدأ مختصات می‌گذرند و قطرهای یک مستطیل با اضلاع 2a و 2b هستند: BCB’C. آنها معادلات و . اجازه دهید ثابت کنیم که نقطه فعلی هذلولی M(x,y) به بی نهایت می رود و بدون محدودیت به خط مستقیم نزدیک می شود. بیایید یک نکته دلخواه را در نظر بگیریم ایکسو مختصات مربوط به نقطه هذلولی و خط را با هم مقایسه کنید. بدیهی است که Y>Y. MN=Y-y=.

ما می بینیم که وقتی، یعنی. منحنی با دور شدن از مبدا به طور نامحدود به خط مستقیم نزدیک می شود. این ثابت می کند که خط مجانبی از هذلولی است. علاوه بر این، هذلولی مجانبی را قطع نمی کند. این برای ساختن بخشی از هذلولی کافی است. به صورت محدب رو به بالا است. قسمت های باقی مانده به صورت تقارن کامل می شوند. توجه داشته باشید که محورهای تقارن هذلولی (محورهای مختصات) آن نامیده می شود تبرهانقطه تقاطع محورها- مرکزهذلولی یک محور هذلولی (محور واقعی) را قطع می کند، دیگری نه (خیالی). بخش خط آنیمه محور واقعی، قطعه نامیده می شود ب- نیمه محور خیالی. مستطیل BCB'C را مستطیل اصلی هذلولی می نامند.

اگر a=b، سپس مجانب با محورهای مختصات در امتداد زاویه تشکیل می دهند. سپس هذلولی نامیده می شود متساوی الاضلاع یا متساوی الاضلاعمستطیل اصلی به مربع تبدیل می شود. مجانب آن بر هم عمود هستند.

اظهار نظر.

گاهی اوقات هذلولی را در نظر می گیریم که معادله متعارف آن (3) است. به او زنگ می زنند مزدوجدر رابطه با هذلولی (2). هایپربولا (3) دارای یک محور واقعی که عمودی و یک محور خیالی افقی است. در صورت تنظیم مجدد، ظاهر آن بلافاصله مشخص می شود ایکسو در, آو ب(او به خود قبلی خود برمی گردد). اما هذلولی (3) شکل زیر را دارد:

این صحبت میکنه.

5. همانطور که قبلاً اشاره شد، معادله هذلولی متساوی الاضلاع ( الف=ب)، هنگامی که محورهای مختصات با محورهای هذلولی منطبق شوند، به شکل . (4)

زیرا مجانب هذلولی متساوی الاضلاع عمود هستند، سپس می توان آنها را به عنوان محورهای مختصات OX 1 و OU 1 نیز در نظر گرفت. این معادل چرخاندن سیستم قبلی OXY توسط یک زاویه است. فرمول چرخش زاویه به شرح زیر است:

سپس در سیستم مختصات جدید OX 1 Y 1 معادله (4) بازنویسی می شود:

یا یا . با نشان دادن، یا (5) را می گیریم - این معادله است هذلولی متساوی الاضلاع، به عنوان مجانبی طبقه بندی می شوند (این نوع هذلولی بود که در مدرسه مورد توجه قرار گرفت).

اظهار نظر: از معادله به دست می آید که مساحت هر مستطیل ساخته شده بر روی مختصات هر نقطه از هذلولی M(x,y) یکسان است: S= ک 2 .

7. تعریف و استخراج معادله متعارف سهمی.

سهمی GMT هواپیما نامیده می شود که برای هر یک از آنها فاصله از یک نقطه ثابت F هواپیما، به نام تمرکز، برابر است با فاصله از یک خط مستقیم ثابت به نام مدیر مدرسه(تمرکز خارج از مدیر مدرسه).

فاصله F تا جهت را با p نشان می دهیم و آن را پارامتر سهمی می نامیم. اجازه دهید سیستم مختصات را به صورت زیر انتخاب کنیم: محور OX را از نقطه F عمود بر مستقیم NP بکشید. اجازه دهید مبدا مختصات را در وسط بخش FP انتخاب کنیم.

در این سیستم: .

بیایید یک نقطه دلخواه M(x,y) با مختصات فعلی (x,y) بگیریم. از همین رو

بنابراین (1) معادله سهمی است. بیایید ساده کنیم:

یا (2) - همین است معادله متعارف سهمیمی توان نشان داد که (1) و (2) معادل هستند.

معادله (2) یک معادله مرتبه دوم است، یعنی. سهمی خطی از درجه 2 است.

8. بررسی شکل سهمی با استفاده از معادله متعارف آن.

(p>0).

1) x=0، y=0 سهمی از مبدا مختصات نقطه O می گذرد. ​​به آن راس سهمی می گویند.

2) یعنی سهمی در سمت راست محور op-amp، در نیم صفحه سمت راست قرار دارد.

3) دردر یک درجه زوج قرار می گیرد، بنابراین سهمی متقارن در مورد محور OX است، بنابراین، کافی است آن را در ربع اول بسازیم.

4) در سه ماهه اول در , i.e. سهمی به سمت راست بالا می رود. می توان نشان داد که تحدب به سمت بالا است. ما در پایین با توجه به تقارن می سازیم. محور OU مماس بر سهمی است.

بدیهی است که شعاع کانونی است. رابطه نامیده می شود عجیب و غریب: . محور تقارن سهمی (در مورد ما OX) محور سهمی نامیده می شود.

توجه داشته باشید که معادله نیز سهمی است، اما در جهت مخالف است. معادلات سهمی هایی را نیز تعریف می کنند که محور آنها محور op-amp است.

یا به شکلی آشناتر، که در آن .

معادله یک سهمی معمولی با راس جابجا شده را تعریف می کند.

یادداشت. 1) بین هر چهار خط مرتبه دوم رابطه نزدیکی وجود دارد - همه آنها هستند مقاطع مخروطی. اگر یک مخروط از دو حفره برداریم، وقتی آن را با صفحه ای عمود بر محور مخروط برش می دهیم، یک دایره می گیریم؛ اگر سطح مقطع را کمی کج کنیم، یک بیضی به دست می آید. اگر صفحه موازی با ژنراتیکس باشد، آن مقطع یک سهمی است، اگر صفحه هر دو را قطع کند

حفره ها-هذلولی.

2) می توان ثابت کرد که اگر یک پرتو نور که از کانون یک سهمی می آید از آن منعکس شود، آنگاه پرتو منعکس شده به موازات محور سهمی می رود - این در عمل نورافکن ها استفاده می شود - یک بازتابنده سهمی، و در کانون - یک منبع نور. این منجر به یک جریان هدایت شده از نور می شود.

3) اگر پرتاب یک ماهواره زمین را از نقطه T در خارج از جو در جهت افقی تصور کنیم، اگر سرعت اولیه v 0 کافی نیست، پس ماهواره به دور زمین نمی چرخد. با رسیدن به سرعت فرار 1، ماهواره در مداری دایره ای به دور زمین می چرخد ​​که مرکز آن در مرکز زمین است. اگر سرعت اولیه افزایش یابد، چرخش در امتداد یک بیضی رخ می دهد، مرکز زمین در یکی از کانون ها خواهد بود. با رسیدن به سرعت فرار دوم، مسیر به صورت سهمی در می آید و ماهواره به نقطه T برنمی گردد، بلکه در منظومه شمسی خواهد بود. آن ها سهمی یک بیضی با یک کانون در بی نهایت است. با افزایش بیشتر در سرعت اولیه، مسیر هذلولی می شود و تمرکز دوم در سمت دیگر ظاهر می شود. مرکز زمین همیشه در کانون مدار خواهد بود. ماهواره منظومه شمسی را ترک خواهد کرد.

11.1. مفاهیم اساسی

بیایید خطوط تعریف شده توسط معادلات درجه دوم را نسبت به مختصات فعلی در نظر بگیریم

ضرایب معادله اعداد واقعی هستند، اما حداقل یکی از اعداد A، B یا C غیر صفر است. چنین خطوطی را خطوط (منحنی) مرتبه دوم می نامند. در زیر مشخص خواهد شد که معادله (11.1) یک دایره، بیضی، هذلولی یا سهمی را در صفحه تعریف می کند. قبل از رفتن به این عبارت، اجازه دهید خواص منحنی های ذکر شده را مطالعه کنیم.

11.2. دایره

ساده ترین منحنی مرتبه دوم یک دایره است. به یاد بیاورید که دایره ای با شعاع R با مرکز در یک نقطه مجموعه تمام نقاط M صفحه است که شرط را برآورده می کند. بگذارید یک نقطه در یک سیستم مختصات مستطیلی دارای مختصات x 0، y 0 و - یک نقطه دلخواه روی دایره باشد (شکل 48 را ببینید).

سپس از شرط معادله را بدست می آوریم

(11.2)

معادله (11.2) با مختصات هر نقطه از یک دایره مشخص می شود و با مختصات هیچ نقطه ای که روی دایره قرار ندارد ارضا نمی شود.

معادله (11.2) نامیده می شود معادله متعارف یک دایره

به طور خاص، تنظیم و، معادله یک دایره با مرکز در مبدا به دست می آوریم .

معادله دایره (11.2) پس از تبدیل های ساده به شکل . هنگام مقایسه این معادله با معادله عمومی (11.1) یک منحنی مرتبه دوم، به راحتی می توان متوجه شد که دو شرط برای معادله یک دایره برآورده می شود:

1) ضرایب x 2 و y 2 با یکدیگر برابر هستند.

2) هیچ عضوی حاوی ضرب xy مختصات فعلی وجود ندارد.

بیایید مشکل معکوس را در نظر بگیریم. با قرار دادن مقادیر و در رابطه (11.1) بدست می آوریم

بیایید این معادله را تبدیل کنیم:

(11.4)

نتیجه این است که معادله (11.3) یک دایره را تحت شرایط تعریف می کند . مرکز آن در نقطه است ، و شعاع

.

اگر ، سپس معادله (11.3) شکل می گیرد

.

با مختصات یک نقطه ارضا می شود . در این مورد می گویند: "دایره به یک نقطه منحط شده است" (شعاع صفر دارد).

اگر ، سپس معادله (11.4) و بنابراین معادله معادل (11.3) هیچ خطی را تعریف نخواهد کرد، زیرا سمت راست معادله (11.4) منفی است و سمت چپ منفی نیست (مثلاً: "دایره خیالی").

11.3. بیضی

معادله بیضی متعارف

بیضی مجموعه تمام نقاط یک صفحه است که مجموع فواصل هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده از این صفحه نامیده می شود. ترفندها ، یک مقدار ثابت بزرگتر از فاصله بین کانون ها است.

بگذارید فوکوس ها را با علامت گذاری کنیم F 1و F 2، فاصله بین آنها 2 است ج، و مجموع فواصل از یک نقطه دلخواه بیضی تا کانون - در 2 آ(شکل 49 را ببینید). طبق تعریف 2 آ > 2ج، یعنی آ > ج.

برای استخراج معادله بیضی، یک سیستم مختصات را انتخاب می کنیم تا کانون ها F 1و F 2روی محور قرار داشت و مبدأ با وسط بخش منطبق بود F 1 F 2. سپس کانون ها دارای مختصات زیر خواهند بود: و .

اجازه دهید یک نقطه دلخواه از بیضی باشد. سپس با توجه به تعریف بیضی، یعنی.

این، در اصل، معادله یک بیضی است.

اجازه دهید معادله (11.5) را به شکل ساده تر به صورت زیر تبدیل کنیم:

زیرا آ>با، آن بگذاریم

(11.6)

سپس آخرین معادله به شکل یا خواهد بود

(11.7)

می توان ثابت کرد که معادله (11.7) معادل معادله اصلی است. نامیده می شود معادله بیضی متعارف .

بیضی یک منحنی مرتبه دوم است.

بررسی شکل یک بیضی با استفاده از معادله آن

اجازه دهید شکل بیضی را با استفاده از معادله متعارف آن تعیین کنیم.

1. معادله (11.7) حاوی x و y فقط در توان زوج است، بنابراین اگر نقطه ای متعلق به یک بیضی باشد، نقاط ,, نیز به آن تعلق دارند. بدین ترتیب بیضی از نظر محور و و همچنین نسبت به نقطه ای که مرکز بیضی نامیده می شود متقارن است.

2. نقاط تقاطع بیضی را با محورهای مختصات بیابید. با قرار دادن، دو نقطه و را پیدا می کنیم که در آن محور بیضی را قطع می کند (شکل 50 را ببینید). با قرار دادن معادله (11.7) نقاط تقاطع بیضی را با محور: و می یابیم. نکته ها آ 1 , الف 2 , ب 1, ب 2نامیده می شوند رئوس بیضی. بخش ها آ 1 الف 2و B 1 B 2و همچنین طول آنها 2 آو 2 ببر این اساس نامیده می شوند محورهای اصلی و فرعیبیضی شماره آو ببه ترتیب بزرگ و کوچک نامیده می شوند شفت های محوربیضی

3. از رابطه (11.7) چنین بر می آید که هر جمله در سمت چپ از یک تجاوز نمی کند، یعنی. نابرابری ها و یا و رخ می دهد. در نتیجه، تمام نقاط بیضی در داخل مستطیلی قرار دارند که توسط خطوط مستقیم تشکیل شده است.

4. در رابطه (11.7)، مجموع عبارت های غیر منفی و برابر با یک است. در نتیجه، با افزایش یک عبارت، عبارت دیگر کاهش می یابد، یعنی اگر افزایش یابد، کاهش می یابد و بالعکس.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که بیضی شکل نشان داده شده در شکل 1 را دارد. 50 (منحنی بسته بیضی).

اطلاعات بیشتر در مورد بیضی

شکل بیضی به نسبت بستگی دارد. هنگامی که بیضی به دایره تبدیل می شود، معادله بیضی (11.7) شکل می گیرد. این نسبت اغلب برای مشخص کردن شکل یک بیضی استفاده می شود. نسبت نصف فاصله بین کانون ها به محور نیمه اصلی بیضی را خروج از مرکز بیضی و o6o با حرف ε ("epsilon") نشان داده می شود.

با 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

این نشان می دهد که هر چه خروج از مرکز بیضی کوچکتر باشد، بیضی کمتر مسطح می شود. اگر ε = 0 را تنظیم کنیم، بیضی به دایره تبدیل می شود.

فرض کنید M(x;y) یک نقطه دلخواه از بیضی با کانون های F 1 و F 2 باشد (شکل 51 را ببینید). طول قطعات F 1 M = r 1 و F 2 M = r 2 را شعاع کانونی نقطه M می نامند. به طور مشخص،

فرمول ها پابرجا هستند

خطوط مستقیم نامیده می شوند

قضیه 11.1.اگر فاصله یک نقطه دلخواه از بیضی تا مقداری کانونی باشد، d فاصله همان نقطه تا جهت متناظر با این کانون است، آنگاه این نسبت یک مقدار ثابت برابر با خروج از مرکز بیضی است:

از برابری (11.6) چنین بر می آید که . اگر، پس معادله (11.7) یک بیضی را تعریف می کند که محور اصلی آن روی محور Oy و محور کوچک روی محور Ox قرار دارد (شکل 52 را ببینید). کانون چنین بیضی در نقاط و، جایی است که .

11.4. هذلولی

معادله هذلولی متعارف

هایپربولی مجموعه تمام نقاط صفحه است، مدول اختلاف فاصله هر یک از آنها تا دو نقطه داده شده از این صفحه، به نام ترفندها ، یک مقدار ثابت کمتر از فاصله بین کانون ها است.

بگذارید فوکوس ها را با علامت گذاری کنیم F 1و F 2فاصله بین آنها است 2 ثانیه، و مدول تفاوت در فواصل از هر نقطه هذلولی تا کانون از طریق 2a. الف - مقدماتی 2a < 2 ثانیه، یعنی آ < ج.

برای استخراج معادله هذلولی، یک سیستم مختصات را انتخاب می کنیم تا کانون ها F 1و F 2روی محور قرار داشت و مبدأ با وسط بخش منطبق بود F 1 F 2(شکل 53 را ببینید). سپس کانون ها دارای مختصات و

اجازه دهید یک نقطه دلخواه از هذلولی باشد. سپس با توجه به تعریف هذلولی یا، یعنی پس از ساده سازی ها، همانطور که هنگام استخراج معادله بیضی انجام شد، به دست می آوریم معادله هذلولی متعارف

(11.9)

(11.10)

هذلولی خطی از مرتبه دوم است.

بررسی شکل هذلولی با استفاده از معادله آن

اجازه دهید با استفاده از معادله هذلولی شکل آن را تعیین کنیم.

1. معادله (11.9) حاوی x و y فقط در توان های زوج است. در نتیجه، هذلولی در مورد محورها و همچنین در مورد نقطه متقارن است که به نام مرکز هذلولی

2. نقاط تقاطع هذلولی را با محورهای مختصات بیابید. با قرار دادن معادله (11.9)، دو نقطه تقاطع هذلولی با محور پیدا می کنیم: و. با قرار دادن (11.9)، ما دریافت می کنیم که نمی تواند باشد. بنابراین، هذلولی محور Oy را قطع نمی کند.

نقاط نامیده می شود قله ها هذلولی ها و بخش

محور واقعی ، بخش خط - نیم محور واقعی هایپربولی

قطعه اتصال نقاط نامیده می شود محور خیالی ، شماره b - نیمه محور خیالی . مستطیل با اضلاع 2aو 2bتماس گرفت مستطیل اصلی هذلولی .

3. از معادله (11.9) چنین بر می آید که مینیوند کمتر از یک نیست، یعنی آن یا . این بدان معناست که نقاط هذلولی در سمت راست خط (شاخه سمت راست هذلولی) و در سمت چپ خط (شاخه چپ هذلولی) قرار دارند.

4. از معادله (11.9) هذلولی مشخص می شود که وقتی افزایش می یابد، افزایش می یابد. این از این واقعیت ناشی می شود که تفاوت یک مقدار ثابت برابر با یک را حفظ می کند.

از موارد فوق چنین استنباط می شود که هذلولی دارای شکل نشان داده شده در شکل 54 است (منحنی متشکل از دو شاخه نامحدود).

مجانب هذلولی

خط مستقیم L مجانبی نامیده می شود منحنی نامحدود K، اگر فاصله d از نقطه M منحنی K تا این خط مستقیم به صفر گرایش پیدا کند که فاصله نقطه M در امتداد منحنی K از مبدأ نامحدود باشد. شکل 55 تصویری از مفهوم مجانب ارائه می دهد: خط مستقیم L مجانبی برای منحنی K است.

اجازه دهید نشان دهیم که هذلولی دو مجانب دارد:

(11.11)

از آنجایی که خطوط مستقیم (11.11) و هذلولی (11.9) با توجه به محورهای مختصات متقارن هستند، کافی است تنها نقاطی از خطوط نشان داده شده را در نظر بگیریم که در ربع اول قرار دارند.

اجازه دهید یک نقطه N روی یک خط مستقیم که همان آبسیسا x با نقطه هذلولی دارد، در نظر بگیریم. (شکل 56 را ببینید)، و تفاوت ΜΝ بین مختصات خط مستقیم و شاخه هذلولی را بیابید:

همانطور که می بینید، با افزایش x، مخرج کسر افزایش می یابد. شمارنده یک مقدار ثابت است. بنابراین، طول بخش ΜΝ به صفر تمایل دارد. از آنجایی که MΝ بزرگتر از فاصله d از نقطه M تا خط است، پس d به سمت صفر میل می کند. بنابراین، خطوط مجانبی از هذلول هستند (11.9).

هنگام ساخت یک هذلولی (11.9)، توصیه می شود ابتدا مستطیل اصلی هذلولی را بسازید (شکل 57 را ببینید)، خطوط مستقیمی را که از رئوس مخالف این مستطیل عبور می کنند ترسیم کنید - مجانب هذلولی و علامت گذاری رئوس و . هذلولی

معادله هذلولی متساوی الاضلاع.

مجانبی که محورهای مختصات آن هستند

هذلول (11.9) متساوی الاضلاع نامیده می شود که نیم محورهای آن برابر با () باشد. معادله متعارف آن

(11.12)

مجانب هذلولی متساوی الاضلاع معادلاتی دارند و بنابراین نیمساز زوایای مختصات هستند.

بیایید معادله این هذلولی را در یک سیستم مختصات جدید در نظر بگیریم (نگاه کنید به شکل 58)، که با چرخش محورهای مختصات توسط یک زاویه از سیستم قدیمی به دست آمده است. ما از فرمول ها برای چرخش محورهای مختصات استفاده می کنیم:

مقادیر x و y را با معادله (11.12) جایگزین می کنیم:

معادله هذلولی متساوی الاضلاع، که محورهای Ox و Oy مجانب آن هستند، شکل خواهد داشت.

اطلاعات بیشتر در مورد هایپربولی

عجیب و غریب هذلولی (11.9) نسبت فاصله بین کانون ها به مقدار محور واقعی هذلولی است که با ε نشان داده می شود:

از آنجایی که برای یک هذلولی، خروج از مرکز هذلولی بزرگتر از یک است: . خروج از مرکز شکل هذلولی را مشخص می کند. در واقع، از برابری (11.10) چنین بر می آید که i.e. و .

از این جا می توان دریافت که هر چه گریز از مرکز هذلول کوچکتر باشد، نسبت نیم محورهای آن کمتر است و بنابراین مستطیل اصلی آن کشیده تر است.

خروج از مرکز هذلولی متساوی الاضلاع است. واقعا،

شعاع کانونی و برای نقاط شاخه سمت راست، هذلولی ها شکل و را دارند و برای شاخه چپ - و .

خطوط مستقیم را جهات هذلولی می نامند. از آنجایی که برای هذلولی ε > 1، پس . این بدان معنی است که جهت راست بین مرکز و راس راست هذلولی، سمت چپ - بین مرکز و راس چپ قرار دارد.

جهات یک هذلولی دارای همان خاصیت جهت یک بیضی است.

منحنی تعریف شده توسط معادله نیز یک هذلولی است که محور واقعی 2b آن بر روی محور Oy و محور فرضی 2 قرار دارد. آ- در محور Ox. در شکل 59 به صورت یک خط نقطه چین نشان داده شده است.

واضح است که هذلولی ها مجانب مشترکی دارند. چنین هذلولی هایی مزدوج نامیده می شوند.

11.5. سهمی

معادله سهمی متعارف

سهمی مجموعه ای از تمام نقاط صفحه است که هر یک از آنها به یک اندازه از یک نقطه معین که کانون نامیده می شود و یک خط معین به نام جهت یابی فاصله دارند. فاصله کانون F تا جهات را پارامتر سهمی می نامند و با p نشان داده می شود (p > 0).

برای به دست آوردن معادله سهمی، سیستم مختصات Oxy را انتخاب می کنیم تا محور Ox از کانون F عمود بر جهات در جهت جهت مستقیم به F عبور کند و مبدأ مختصات O در وسط بین تمرکز و جهت (نگاه کنید به شکل 60). در سیستم انتخاب شده، فوکوس F دارای مختصاتی است و معادله مستقیم دارای شکل یا است.

1. در رابطه (11.13) متغیر y در یک درجه زوج ظاهر می شود، به این معنی که سهمی متقارن با محور Ox است. محور Ox، محور تقارن سهمی است.

2. از آنجا که ρ > 0، از (11.13) نتیجه می شود که . در نتیجه سهمی در سمت راست محور Oy قرار دارد.

3. وقتی y = 0 داریم. بنابراین سهمی از مبدا می گذرد.

4. با افزایش x به طور نامحدود، ماژول y نیز به طور نامحدود افزایش می یابد. سهمی شکل (شکل) را دارد که در شکل 61 نشان داده شده است. نقطه O(0; 0) راس سهمی نامیده می شود، قطعه FM = r شعاع کانونی نقطه M نامیده می شود.

معادلات،، ( p>0) همچنین سهمی ها را تعریف می کنند، آنها در شکل 62 نشان داده شده اند

به راحتی می توان نشان داد که نمودار یک مثلث درجه دوم، که در آن، B و C هر اعداد حقیقی هستند، یک سهمی به معنای تعریف آن در بالا است.

11.6. معادله عمومی خطوط مرتبه دوم

معادلات منحنی های مرتبه دوم با محورهای تقارن موازی با محورهای مختصات

اجازه دهید ابتدا معادله بیضی را با مرکز در نقطه ای پیدا کنیم که محورهای تقارن آن با محورهای مختصات Ox و Oy موازی هستند و نیم محورها به ترتیب برابر هستند. آو ب. اجازه دهید در مرکز بیضی O 1 ابتدای یک سیستم مختصات جدید قرار دهیم که محورها و نیمه محورهای آن آو ب(شکل 64 را ببینید):

در نهایت، سهمی های نشان داده شده در شکل 65 دارای معادلات متناظر هستند.

معادله

معادلات بیضی، هذلولی، سهمی و معادله یک دایره پس از تبدیل (پرانتزهای باز، انتقال همه عبارت های معادله به یک طرف، آوردن عبارت های مشابه، معرفی نمادهای جدید برای ضرایب) را می توان با استفاده از یک معادله منفرد نوشت. فرم

که در آن ضرایب A و C همزمان با صفر برابر نیستند.

این سوال مطرح می شود: آیا هر معادله شکل (11.14) یکی از منحنی های مرتبه دوم (دایره، بیضی، هذلولی، سهمی) را تعیین می کند؟ پاسخ با قضیه زیر داده می شود.

قضیه 11.2. معادله (11.14) همیشه تعریف می کند: یا یک دایره (برای A = C)، یا یک بیضی (برای A C > 0)، یا یک هذلولی (برای A C)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

معادله مرتبه دوم عمومی

اکنون یک معادله کلی درجه دوم با دو مجهول را در نظر می گیریم:

با معادله (11.14) با وجود یک جمله با حاصلضرب مختصات (B10) تفاوت دارد. می توان با چرخش محورهای مختصات با زاویه a، این معادله را طوری تبدیل کرد که عبارت حاصلضرب مختصات وجود نداشته باشد.

استفاده از فرمول های چرخش محور

بیایید مختصات قدیمی را بر حسب مختصات جدید بیان کنیم:

اجازه دهید زاویه a را طوری انتخاب کنیم که ضریب x" · y" صفر شود، یعنی تساوی

بنابراین، هنگامی که محورها با زاویه a که شرایط (11.17) را برآورده می کند، چرخش می کنند، معادله (11.15) به معادله (11.14) کاهش می یابد.

نتیجه: معادله مرتبه دوم عمومی (11.15) در صفحه (به استثنای موارد انحطاط و زوال) منحنی های زیر را تعریف می کند: دایره، بیضی، هذلولی، سهمی.

نکته: اگر A = C باشد، معادله (11.17) بی معنا می شود. در این مورد، cos2α = 0 (نگاه کنید به (11.16))، سپس 2α = 90 درجه، یعنی α = 45 درجه. بنابراین، هنگامی که A = C، سیستم مختصات باید 45 درجه بچرخد.

خطوط مرتبه دوم.
بیضی و معادله متعارف آن. دایره

پس از مطالعه کامل خطوط مستقیم در هواپیماما به بررسی هندسه دنیای دو بعدی ادامه می دهیم. مخاطرات دو برابر شده است و من از شما دعوت می کنم از یک گالری زیبا از بیضی ها، هذلولی ها، سهمی ها بازدید کنید که نمایندگان معمولی هستند. خطوط مرتبه دوم. گشت و گذار در حال حاضر آغاز شده است و ابتدا اطلاعات مختصری از کل نمایشگاه در طبقات مختلف موزه:

مفهوم خط جبری و ترتیب آن

خط در هواپیما نامیده می شود جبری، اگر در سیستم مختصات افینمعادله آن شکل دارد، که در آن یک چند جمله ای متشکل از عبارات شکل (- عدد واقعی، - اعداد صحیح غیر منفی) است.

همانطور که می بینید، معادله یک خط جبری شامل سینوس ها، کسینوس ها، لگاریتم ها و دیگر بوموندهای کاربردی نیست. فقط X و Y وارد می شوند اعداد صحیح غیر منفیدرجه.

سفارش خطیبرابر با حداکثر مقدار اصطلاحات موجود در آن است.

با توجه به قضیه مربوطه، مفهوم خط جبری و همچنین ترتیب آن به انتخاب بستگی ندارد. سیستم مختصات افینبنابراین، برای سهولت وجود، فرض می‌کنیم که تمام محاسبات بعدی در آن صورت می‌گیرد مختصات کارتزین.

معادله کلیخط مرتبه دوم دارای فرم، جایی است که - اعداد واقعی دلخواه (مرسوم است که آن را با ضریب دو بنویسند)، و ضرایب در همان زمان برابر با صفر نیستند.

اگر، پس معادله ساده می شود ، و اگر همزمان ضرایب برابر با صفر نباشند، دقیقاً همین است معادله کلی یک خط "مسطح".، که نشان می دهد خط سفارش اول.

بسیاری معنای اصطلاحات جدید را درک کرده اند، اما، با این وجود، برای تسلط 100٪ بر مواد، انگشتان خود را به سوکت می چسبانیم. برای تعیین ترتیب خط، باید تکرار کنید همه شرایطمعادلات آن و پیدا کردن برای هر یک از آنها مجموع درجاتمتغیرهای ورودی

مثلا:

عبارت حاوی "x" تا توان 1 است.
این عبارت حاوی "Y" تا توان 1 است.
هیچ متغیری در عبارت وجود ندارد، بنابراین مجموع توان آنها صفر است.

حالا بیایید بفهمیم که چرا معادله خط را تعریف می کند دومینسفارش:

این عبارت حاوی "x" تا توان 2 است.
جمع دارای مجموع توانهای متغیرها است: 1 + 1 = 2;
این عبارت حاوی "Y" تا توان 2 است.
همه اصطلاحات دیگر - کمتردرجه.

حداکثر مقدار: 2

اگر مثلاً به معادله خود اضافه کنیم، آنگاه مشخص خواهد شد خط مرتبه سوم. بدیهی است که شکل کلی معادله خط مرتبه 3 شامل یک "مجموعه کامل" از اصطلاحات است که مجموع توانهای متغیرهای آن برابر با سه است:
، که در آن ضرایب به طور همزمان برابر با صفر نیستند.

در صورتی که یک یا چند عبارت مناسب را اضافه کنید که حاوی ، سپس ما قبلاً در مورد آن صحبت خواهیم کرد خطوط سفارش 4، و غیره.

به ویژه هنگام آشنایی با خطوط جبری مرتبه های 3، 4 و بالاتر بیش از یک بار مواجه خواهیم شد. سیستم مختصات قطبی.

با این حال، اجازه دهید به معادله کلی بازگردیم و ساده ترین تغییرات مدرسه را به خاطر بسپاریم. به عنوان مثال، یک سهمی به وجود می آید که معادله آن را می توان به راحتی به یک شکل کلی تقلیل داد، و یک هذلولی با یک معادله معادل. با این حال، همه چیز به این راحتی نیست ...

یک اشکال قابل توجه معادله عمومی این است که تقریباً همیشه مشخص نیست که کدام خط را تعریف می کند. حتی در ساده ترین حالت، بلافاصله متوجه نمی شوید که این یک هذل گویی است. چنین طرح‌بندی‌هایی فقط در بالماسکه خوب هستند، بنابراین یک مشکل معمولی در دوره هندسه تحلیلی در نظر گرفته می‌شود. معادله خط مرتبه 2 را به شکل متعارف می آورد.

شکل متعارف یک معادله چیست؟

این شکل استاندارد عمومی پذیرفته شده یک معادله است، زمانی که در عرض چند ثانیه مشخص می شود که چه جسم هندسی را تعریف می کند. علاوه بر این، فرم متعارف برای حل بسیاری از مشکلات عملی بسیار راحت است. بنابراین، برای مثال، با توجه به معادله متعارف "مسطح" مستقیماولاً بلافاصله مشخص می شود که این یک خط مستقیم است و ثانیاً نقطه متعلق به آن و بردار جهت به راحتی قابل مشاهده است.

بدیهی است که هر خط سفارش 1یک خط مستقیم است در طبقه دوم، دیگر این نگهبان نیست که منتظر ما است، بلکه یک گروه بسیار متنوع تر از 9 مجسمه است:

طبقه بندی خطوط مرتبه دوم

با استفاده از مجموعه خاصی از اقدامات، هر معادله یک خط مرتبه دوم به یکی از اشکال زیر کاهش می یابد:

(و اعداد حقیقی مثبت هستند)

1) - معادله متعارف بیضی؛

2) - معادله متعارف هذلولی.

3) - معادله متعارف سهمی؛

4) – خیالیبیضی

5) - یک جفت خط متقاطع؛

6) - جفت خیالیخطوط متقاطع (با یک نقطه تقاطع معتبر در مبدا)؛

7) - یک جفت خط موازی؛

8) - جفت خیالیخطوط موازی؛

9) - یک جفت خط منطبق.

برخی از خوانندگان ممکن است این تصور را داشته باشند که فهرست ناقص است. به عنوان مثال در نقطه شماره 7 معادله زوج را مشخص می کند مستقیم، موازی با محور، و این سوال پیش می آید: معادله ای که خطوط موازی با محور ارتجاعی را تعیین می کند کجاست؟ پاسخ دهید متعارف در نظر گرفته نمی شود. خطوط مستقیم نشان دهنده همان حالت استاندارد است که 90 درجه چرخیده است و ورودی اضافی در طبقه بندی اضافی است، زیرا اساساً چیز جدیدی را به ارمغان نمی آورد.

بنابراین، نه و تنها نه نوع مختلف از خطوط مرتبه دوم وجود دارد، اما در عمل رایج ترین آنها هستند بیضی، هذلولی و سهمی.

ابتدا بیضی را بررسی می کنیم. طبق معمول، من روی نکاتی تمرکز می کنم که برای حل مسائل اهمیت زیادی دارند و اگر به استنتاج دقیق فرمول ها، اثبات قضایا نیاز دارید، لطفاً به عنوان مثال به کتاب درسی بازیلف / آتاناسیان یا الکساندروف مراجعه کنید.

بیضی و معادله متعارف آن

املا... لطفا اشتباهات برخی از کاربران Yandex که علاقه مند به "نحوه ساختن بیضی"، "تفاوت بین بیضی و بیضی" و "غیر مرکزیت یک بیضی" هستند را تکرار نکنید.

معادله متعارف بیضی دارای شکل است که در آن اعداد حقیقی مثبت هستند و . من بعداً تعریف بیضی را بیان خواهم کرد، اما در حال حاضر وقت آن است که از فروشگاه صحبت کردن فاصله بگیریم و یک مشکل رایج را حل کنیم:

چگونه یک بیضی بسازیم؟

بله، فقط آن را بگیرید و فقط آن را بکشید. این کار اغلب اتفاق می افتد و بخش قابل توجهی از دانش آموزان به درستی با نقاشی کنار نمی آیند:

مثال 1

بیضی داده شده توسط معادله را بسازید

راه حل: ابتدا اجازه دهید معادله را به شکل متعارف برسانیم:

چرا آوردن؟ یکی از مزایای معادله متعارف این است که به شما امکان می دهد فوراً تعیین کنید رئوس بیضی، که در نقاطی قرار دارند. به راحتی می توان فهمید که مختصات هر یک از این نقاط معادله را برآورده می کند.

در این مورد :


بخش خطتماس گرفت محور اصلیبیضی
بخش خط – محور فرعی;
عدد تماس گرفت شفت نیمه اصلیبیضی
عدد – محور فرعی.
در مثال ما: .

برای اینکه سریع تصور کنید یک بیضی خاص چگونه به نظر می رسد، کافی است به مقادیر "a" و "be" معادله متعارف آن نگاه کنید.

همه چیز خوب، صاف و زیبا است، اما یک نکته وجود دارد: من نقاشی را با استفاده از برنامه انجام دادم. و شما می توانید نقاشی را با استفاده از هر برنامه ای انجام دهید. با این حال، در واقعیت خشن، یک تکه کاغذ شطرنجی روی میز وجود دارد و موش ها به صورت دایره ای روی دستان ما می رقصند. افراد با استعداد هنری، البته، می توانند بحث کنند، اما شما موش هایی نیز دارید (هر چند کوچکتر). بیهوده نیست که بشریت خط کش، قطب نما، نقاله و سایر وسایل ساده را برای طراحی اختراع کرد.

به همین دلیل، بعید است بتوانیم با دانستن رئوس به دقت بیضی بکشیم. اگر بیضی کوچک باشد، مثلاً با نیم محور، مشکلی ندارد. متناوبا، می توانید مقیاس و بر این اساس، ابعاد نقاشی را کاهش دهید. اما به طور کلی یافتن نکات اضافی بسیار مطلوب است.

دو روش برای ساخت بیضی وجود دارد - هندسی و جبری. من ساخت و ساز با استفاده از قطب نما و خط کش را دوست ندارم زیرا الگوریتم کوتاه ترین نیست و ترسیم به طور قابل توجهی به هم ریخته است. در مواقع اضطراری لطفا به کتاب درسی مراجعه کنید، اما در واقع استفاده از ابزار جبر بسیار منطقی تر است. از معادله بیضی در پیش نویس به سرعت بیان می کنیم:

سپس معادله به دو تابع تقسیم می شود:
- قوس بالای بیضی را مشخص می کند.
- قوس پایین بیضی را مشخص می کند.

بیضی تعریف شده توسط معادله متعارف با توجه به محورهای مختصات و همچنین نسبت به مبدا متقارن است. و این عالی است - تقارن تقریباً همیشه منادی رایگان است. بدیهی است که کافی است با یک چهارم مختصات سروکار داشته باشیم، بنابراین به تابع نیاز داریم . برای یافتن نقاط اضافی با ابسیسا التماس می شود . بیایید روی سه پیامک روی ماشین حساب ضربه بزنید:

البته، همچنین خوب است که اگر اشتباه جدی در محاسبات انجام شود، بلافاصله در طول ساخت و ساز مشخص می شود.

بیایید نقاط روی نقاشی (قرمز)، نقاط متقارن روی قوس های باقی مانده (آبی) را علامت گذاری کنیم و کل شرکت را با یک خط به دقت وصل کنیم:


بهتر است طرح اولیه را خیلی نازک بکشید و تنها پس از آن با مداد فشار وارد کنید. نتیجه باید یک بیضی کاملا مناسب باشد. به هر حال، دوست دارید بدانید این منحنی چیست؟

تعریف بیضی کانون های بیضی و خروج از مرکز بیضی

بیضی یک مورد خاص از بیضی است. کلمه "بیضی" را نباید به معنای فلسطینی فهمید ("کودک بیضی کشید" و غیره). این یک اصطلاح ریاضی است که فرمول بندی دقیقی دارد. هدف این درس در نظر گرفتن تئوری بیضی ها و انواع آنها نیست که در درس استاندارد هندسه تحلیلی عملاً به آنها توجه نمی شود. و مطابق با نیازهای فعلی بیشتر، بلافاصله به تعریف دقیق بیضی می رویم:

بیضیمجموعه تمام نقاط صفحه است که مجموع فواصل هر یک از دو نقطه داده شده به نام ترفندهابیضی، کمیت ثابتی است که از نظر عددی برابر با طول محور اصلی این بیضی است: .
در این حالت فواصل بین فوکوس ها کمتر از این مقدار است: .

حالا همه چیز واضح تر می شود:

تصور کنید که نقطه آبی در امتداد یک بیضی حرکت می کند. بنابراین، مهم نیست که چه نقطه ای از بیضی را می گیریم، مجموع طول قطعات همیشه یکسان خواهد بود:

بیایید مطمئن شویم که در مثال ما مقدار مجموع واقعاً برابر با هشت است. به طور ذهنی نقطه "um" را در راس سمت راست بیضی قرار دهید، سپس: ، که چیزی است که باید بررسی شود.

روش دیگر ترسیم آن بر اساس تعریف بیضی است. ریاضیات بالاتر گاهی اوقات عامل تنش و استرس است، بنابراین وقت آن است که یک جلسه تخلیه مجدد داشته باشید. لطفاً کاغذ واتمن یا یک ورق مقوای بزرگ بردارید و با دو میخ به میز سنجاق کنید. اینها ترفندهایی خواهند بود. یک نخ سبز به سرهای ناخن بیرون زده ببندید و با مداد آن را تا انتها بکشید. سرب مدادی به نقطه خاصی که متعلق به بیضی است ختم می شود. حالا شروع به حرکت مداد در امتداد کاغذ کنید و نخ سبز را کشیده نگه دارید. روند را ادامه دهید تا به نقطه شروع برگردید ... عالی ... نقاشی توسط دکتر و معلم قابل بررسی است =)

چگونه کانون بیضی را پیدا کنیم؟

در مثال بالا، من نقاط کانونی "آماده" را به تصویر کشیدم و اکنون یاد خواهیم گرفت که چگونه آنها را از اعماق هندسه استخراج کنیم.

اگر یک بیضی با یک معادله متعارف به دست آید، کانون های آن دارای مختصاتی هستند ، کجاست فاصله از هر کانون تا مرکز تقارن بیضی.

محاسبات ساده تر از ساده هستند:

! مختصات خاص کانون ها را نمی توان با معنی «تسه» شناسایی کرد!تکرار می کنم که این است DISTANCE از هر کانون تا مرکز(که در حالت کلی لازم نیست دقیقاً در مبدا قرار گیرد).
و بنابراین، فاصله بین کانون ها نیز نمی تواند به موقعیت متعارف بیضی گره بخورد. به عبارت دیگر، بیضی را می توان به مکان دیگری منتقل کرد و مقدار آن بدون تغییر باقی می ماند، در حالی که کانون ها به طور طبیعی مختصات خود را تغییر می دهند. لطفاً هنگام بررسی بیشتر موضوع، این را در نظر بگیرید.

خروج از مرکز بیضی و معنای هندسی آن

خروج از مرکز یک بیضی نسبتی است که می تواند مقادیری در محدوده داشته باشد.

در مورد ما:

بیایید دریابیم که چگونه شکل یک بیضی به خارج از مرکز آن بستگی دارد. برای این راس چپ و راست را اصلاح کنیداز بیضی مورد نظر، یعنی مقدار محور نیمه اصلی ثابت می ماند. سپس فرمول خروج از مرکز به شکل زیر در می آید:

بیایید شروع کنیم به نزدیک کردن مقدار خروج از مرکز به وحدت. این تنها در صورتی امکان پذیر است که . چه مفهومی داره؟ ... ترفندها را به خاطر بسپار . این بدان معنی است که کانون های بیضی در امتداد محور آبسیسا به سمت رئوس کناری "از هم دور می شوند". و از آنجایی که "قطعات سبز لاستیکی نیستند"، بیضی به ناچار شروع به صاف شدن می کند و به سوسیس نازک تر و نازک تری تبدیل می شود که روی یک محور قرار گرفته است.

بدین ترتیب، هر چه مقدار خروج از مرکز بیضی به وحدت نزدیکتر باشد، بیضی کشیده تر می شود.

حالا بیایید روند مخالف را مدل کنیم: کانون های بیضی به سمت یکدیگر رفتند و به مرکز نزدیک شدند. این بدان معنی است که مقدار ce کمتر و کمتر می شود و بر این اساس، خروج از مرکز به صفر میل می کند: .
در این حالت، برعکس، "قطعات سبز" " شلوغ می شوند" و شروع به "فشار دادن" خط بیضی به بالا و پایین می کنند.

بدین ترتیب، هر چه مقدار خروج از مرکز به صفر نزدیکتر باشد، بیضی بیشتر به آن شباهت دارد... به مورد محدود کننده زمانی که کانون ها با موفقیت دوباره در مبدا متحد می شوند نگاه کنید:

دایره یک حالت خاص از بیضی است

در واقع، در مورد تساوی نیم محورها، معادله متعارف بیضی شکل می گیرد، که به طور انعکاسی به معادله دایره ای با مرکز در مبدا شعاع "a" تبدیل می شود، که از مدرسه به خوبی شناخته شده است.

در عمل، علامت گذاری با حرف «ر» بیشتر استفاده می شود: . شعاع طول یک قطعه است که هر نقطه از دایره با فاصله شعاع از مرکز جدا می شود.

توجه داشته باشید که تعریف بیضی کاملاً صحیح است: کانون ها بر هم منطبق هستند و مجموع طول بخش های منطبق برای هر نقطه روی دایره ثابت است. از آنجایی که فاصله بین کانون ها است، پس خروج از مرکز هر دایره صفر است.

ساخت یک دایره آسان و سریع است، فقط از یک قطب نما استفاده کنید. با این حال، گاهی اوقات لازم است مختصات برخی از نقاط آن را دریابیم، در این مورد ما به روش آشنا می رویم - معادله را به شکل شاد ماتانوف می آوریم:

- عملکرد نیم دایره بالایی؛
- عملکرد نیم دایره پایین.

سپس مقادیر مورد نیاز را پیدا می کنیم، متمایز کردن, ادغام کردنو کارهای خوب دیگر انجام دهید

البته مقاله فقط برای مرجع است، اما چگونه می توان بدون عشق در جهان زندگی کرد؟ کار خلاقانه برای راه حل مستقل

مثال 2

معادله متعارف یک بیضی را در صورتی بسازید که یکی از کانون ها و محورهای نیمه فرعی آن شناخته شده باشد (مرکز در مبدا باشد). رئوس، نقاط اضافی را پیدا کنید و یک خط در نقاشی بکشید. خروج از مرکز را محاسبه کنید.

حل و نقاشی در پایان درس

بیایید یک عمل اضافه کنیم:

بیضی را بچرخانید و موازی کنید

اجازه دهید به معادله متعارف بیضی بازگردیم، یعنی به شرایطی که راز آن از اولین ذکر این منحنی ذهن های کنجکاو را عذاب داده است. بنابراین ما به بیضی نگاه کردیم ، اما آیا در عمل امکان برآوردن معادله وجود ندارد ? بالاخره اینجا اما به نظر بیضی هم هست!

این نوع معادله نادر است، اما وجود دارد. و در واقع یک بیضی را تعریف می کند. بیایید ابهام زدایی کنیم:

در نتیجه ساخت و ساز، بیضی بومی ما به دست آمد که 90 درجه چرخیده است. به این معنا که، - این ورودی غیر متعارفبیضی . رکورد!- معادله هیچ بیضی دیگری را تعریف نمی کند، زیرا هیچ نقطه (کانونی) روی محور وجود ندارد که تعریف بیضی را برآورده کند.

این یک شکل هندسی است که توسط یک منحنی مشخص شده توسط معادله محدود می شود.

دارای دو کانون است . تمرکزبه این دو نقطه گفته می شود که مجموع فواصل آنها تا هر نقطه از بیضی مقدار ثابتی است.

طراحی شکل بیضی

F 1، F 2 - فوکوس می کند. F 1 = (c; 0); F 2 (- c ; 0)

ج - نصف فاصله بین فوکوس ها.

الف – محور نیمه اصلی؛

ب – محور نیمه فرعی.

قضیه.فاصله کانونی و نیمه محورها با رابطه زیر مرتبط هستند:

a 2 = b 2 + c 2 .

اثبات:اگر نقطه M در تقاطع بیضی با محور عمودی قرار گیرد، r 1 + r 2 = 2 * (طبق قضیه فیثاغورث). اگر نقطه M در محل تقاطع خود با محور افقی قرار گیرد، r 1 + r 2 = a – c + a + c. زیرا طبق تعریف، مجموع r 1 + r 2 یک مقدار ثابت است، سپس، با معادل سازی، به دست می آوریم:

r 1 + r 2 = 2 a.

خروج از مرکز یک شکل بیضی

تعریف.شکل بیضی با مشخصه ای تعیین می شود که نسبت فاصله کانونی به محور اصلی است و نامیده می شود. عجیب و غریب.

زیرا با< a , то е < 1.

تعریف.کمیت k = b / a نامیده می شود نسبت تراکم، و کمیت 1 – k = (a – b)/ a نامیده می شود فشرده سازی.

نسبت تراکم و خروج از مرکز با رابطه: k 2 = 1 – e 2 مرتبط هستند.

اگر a = b (c = 0، e = 0، کانون ها ادغام شوند)، بیضی به یک دایره تبدیل می شود.

اگر شرط برای نقطه M(x 1, y 1) برقرار باشد، آنگاه در داخل بیضی قرار دارد و اگر، نقطه خارج از آن است.

قضیه.برای یک نقطه دلخواه M(x,y) متعلق به شکل بیضی، روابط زیر درست است::

r 1 = a – ex، r 2 = a + ex.

اثباتدر بالا نشان داده شد که r 1 + r 2 = 2 a. علاوه بر این، از ملاحظات هندسی می توان نوشت:

بعد از مربع کردن و آوردن اصطلاحات مشابه:

به روشی مشابه ثابت می شود که r 2 = a + ex. قضیه ثابت شده است.

شکل های Directrix بیضی هستند

شکل بیضی با دو خط مستقیم به نام مرتبط است مدیران. معادلات آنها عبارتند از:

x = a/e; x = - a / e.

قضیه.برای اینکه یک نقطه روی مرز یک شکل بیضی قرار گیرد، لازم و کافی است که نسبت فاصله به کانون به فاصله به جهت مربوطه برابر با خروج از مرکز e.

مثال. یک بیضی بسازید که از کانون سمت چپ و راس پایینی شکل می گذرد که با معادله به دست می آید:

نکته ها اف 1 (–ج، 0) و اف 2 (ج، 0)، جایی که آنها نامیده می شوند کانون های بیضی ، در حالی که مقدار 2 است جتعریف می کند فاصله بین کانونی .

نکته ها آ 1 (–آ, 0), آ 2 (آ, 0), که در 1 (0, –ب), ب 2 (0, ب) نامیده می شوند رئوس بیضی (شکل 9.2)، در حالی که آ 1 آ 2 = 2آمحور اصلی بیضی را تشکیل می دهد و که در 1 که در 2 - کوچک، - مرکز بیضی.

پارامترهای اصلی بیضی که شکل آن را مشخص می کند:

ε = با/آ – خارج از مرکز بیضی ;

– شعاع کانونی بیضی (نقطه ممتعلق به بیضی است) و r 1 = آ + εx, r 2 = آ – εx;

– جهت های بیضی .

برای بیضی درست است: جهت ها مرز و ناحیه داخلی بیضی را قطع نمی کنند و همچنین دارای خاصیت هستند.

خروج از مرکز یک بیضی درجه "فشردگی" آن را بیان می کند.

اگر ب > آ> 0، سپس بیضی با معادله (9.7) به دست می آید، که به جای شرط (9.8)، شرط برقرار است.

سپس 2 آ- محور کوچک، 2 ب- محور اصلی، - کانون (شکل 9.3). که در آن r 1 + r 2 = 2ب,
ε = ج/ب، جهت ها توسط معادلات تعیین می شوند:

با توجه به شرایط ما (به شکل یک حالت خاص بیضی) یک دایره شعاع داریم آر = آ. که در آن با= 0 یعنی ε = 0.

نقاط بیضی دارند خاصیت مشخصه : مجموع فواصل هر یک از آنها تا کانون ها مقدار ثابتی برابر با 2 است آ(شکل 9.2).

برای تعریف پارامتریک بیضی (فرمول (9.7)) در مواردی که شرایط (9.8) و (9.9) به عنوان پارامتر رعایت شود. تیزاویه بین بردار شعاع نقطه ای که روی بیضی قرار دارد و جهت مثبت محور را می توان گرفت. گاو نر:

اگر مرکز یک بیضی با نیم محور در یک نقطه باشد، معادله آن به شکل زیر است:

مثال 1.معادله بیضی را بیاورید ایکس 2 + 4y 2 = 16 به شکل متعارف و تعیین پارامترهای آن. یک بیضی بکشید.

راه حل. بیایید معادله را تقسیم کنیم ایکس 2 + 4y 2 = 16 در 16، پس از آن به دست می آوریم:

بر اساس شکل معادله حاصل، نتیجه می گیریم که این معادله متعارف یک بیضی است (فرمول (9.7))، که در آن آ= 4 - محور نیمه اصلی، ب= 2 - محور نیمه فرعی. این بدان معنی است که رئوس بیضی نقاط هستند آ 1 (–4, 0), آ 2 (4, 0), ب 1 (0, –2), ب 2 (0، 2). از آنجایی که نیمی از فاصله بین کانونی است، نقاط کانون بیضی هستند. بیایید خروج از مرکز را محاسبه کنیم:

خانم های مدیر D 1 , D 2 با معادلات شرح داده شده است:

یک بیضی بکشید (شکل 9.4).

مثال 2.پارامترهای بیضی را تعریف کنید

راه حل.بیایید این معادله را با معادله متعارف یک بیضی با مرکز جابجا شده مقایسه کنیم. پیدا کردن مرکز بیضی با: محور نیمه اصلی، محور نیمه فرعی، خطوط مستقیم – محورهای اصلی. نیمی از فاصله بین کانونی و بنابراین نقاط کانونی خروج از مرکز Directrix D 1 و D 2 را می توان با استفاده از معادلات توصیف کرد: (شکل 9.5).

مثال 3.تعیین کنید که کدام منحنی با معادله به دست می آید و آن را رسم کنید:

1) ایکس 2 + y 2 + 4ایکس – 2y + 4 = 0; 2) ایکس 2 + y 2 + 4ایکس – 2y + 6 = 0;

3) ایکس 2 + 4y 2 – 2ایکس + 16y + 1 = 0; 4) ایکس 2 + 4y 2 – 2ایکس + 16y + 17 = 0;

راه حل. 1) اجازه دهید معادله را با جداسازی مربع کامل دوجمله ای به شکل متعارف کاهش دهیم:

ایکس 2 + y 2 + 4ایکس – 2y + 4 = 0;

(ایکس 2 + 4ایکس) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(ایکس 2 + 4ایکس + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(ایکس + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

بنابراین، معادله را می توان به شکل کاهش داد

(ایکس + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

این معادله یک دایره با مرکز در نقطه (-2، 1) و شعاع است آر= 1 (شکل 9.6).

2) مربع های کامل دوجمله های سمت چپ معادله را انتخاب می کنیم و به دست می آوریم:

(ایکس + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

این معادله در مجموعه اعداد واقعی معنی ندارد، زیرا سمت چپ برای هر مقدار واقعی متغیر غیر منفی است. ایکسو y، و سمت راست منفی است. بنابراین، آنها می گویند که این معادله یک "دایره خیالی" است یا مجموعه ای خالی از نقاط را در صفحه تعریف می کند.

3) مربع های کامل را انتخاب کنید:

ایکس 2 + 4y 2 – 2ایکس + 16y + 1 = 0;

(ایکس 2 – 2ایکس + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(ایکس – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(ایکس – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

بنابراین معادله به نظر می رسد:

معادله به دست آمده، و بنابراین معادله اصلی، بیضی را تعریف می کند. مرکز بیضی در نقطه است در باره 1 (1, -2)، محورهای اصلی توسط معادلات داده شده است y = –2, ایکس= 1 و محور نیمه اصلی آ= 4، محور کوچک ب= 2 (شکل 9.7).

4) پس از انتخاب مربع های کامل داریم:

(ایکس – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 - 17 + 17 = 0 یا ( ایکس – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

معادله به دست آمده یک نقطه از صفحه را با مختصات (1، -2) مشخص می کند.

5) بیایید معادله را به شکل متعارف برسانیم:

بدیهی است که یک بیضی را تعریف می کند که مرکز آن در نقطه ای قرار دارد که محورهای اصلی توسط معادلات با محور نیمه اصلی و محور نیمه فرعی به دست آمده است (شکل 9.8).

مثال 4.معادله مماس بر دایره ای به شعاع 2 را در مرکز سمت راست بیضی بنویسید. ایکس 2 + 4y 2 = 4 در نقطه تقاطع با محور y.

راه حل.اجازه دهید معادله بیضی را به شکل متعارف کاهش دهیم (9.7):

این بدان معنی است که فوکوس مناسب نیز است - بنابراین معادله مورد نیاز برای دایره ای به شعاع 2 به شکل (شکل 9.9) است:

دایره محور ارتین را در نقاطی قطع می کند که مختصات آنها از سیستم معادلات تعیین می شود:

ما گرفتیم:

بگذارید اینها امتیاز باشند ن(0؛ -1) و م(0؛ 1). این بدان معنی است که ما می توانیم دو مماس بسازیم، بیایید آنها را نشان دهیم تی 1 و تی 2. با توجه به ویژگی معروف، یک مماس عمود بر شعاع رسم شده به نقطه تماس است.

اجازه دهید سپس معادله مماس تی 1 به شکل زیر خواهد بود:

بنابراین، یا تی 1: معادل معادله است