Pode-se mostrar (não o fazemos) que a equação (2) é equivalente à equação (1), embora seja obtida de (1) por não equivalente transformações. Isso significa que a equação (2) é a equação desta elipse. É chamado canônico(ou seja, o mais simples).

Pode-se ver que a equação da elipse é uma equação de 2ª ordem, ou seja, linha elipse de 2ª ordem.

Para uma elipse introduzimos o conceito excentricidade. Esta é a quantidade. Para uma elipse, a excentricidade é. Porque Com E A conhecido, então também conhecido. A expressão para os raios focais do ponto M(x, y) da elipse é facilmente obtida a partir dos argumentos anteriores: . r 2 será encontrado a partir da igualdade (3)

Comente Se você cravar dois pregos (F1 e F2) na mesa, amarre um barbante em ambas as extremidades, cujo comprimento seja maior que a distância entre os pregos ( 2a), puxe o cordão e desenhe um pedaço de giz ao longo da mesa, então ele desenhará uma curva elipse fechada que é simétrica em relação aos eixos e à origem.

4. Estudo da forma de uma elipse utilizando sua equação canônica.

Na observação, por razões de clareza, concluímos sobre a forma da elipse. Vamos agora estudar a forma da elipse analisando sua equação canônica:

Vamos encontrar os pontos de intersecção com os eixos coordenados. Se ,y = 0, então , , ou seja, temos dois pontos A1(-a,0) e A2(a,0). Se x = 0, então , . Aqueles. temos dois pontos B1(0,-b) e B2(0,b) (desde , então ). Os pontos A1, A2, B1, B2 são chamados vértices da elipse.

2) A área de localização da elipse pode ser determinada a partir das seguintes considerações:

a) da equação da elipse segue que, ou seja, , ou seja ou .

b) da mesma forma, ou seja, ou . Isso mostra que toda a elipse está localizada no retângulo formado pelas linhas e .

3) Além disso, as variáveis ​​​​xey entram na equação da elipse apenas em potências pares, o que significa que a curva é simétrica em relação a cada um dos eixos e em relação à origem. D-mas, se um ponto (x, y) pertence ao raio, então os pontos (x, -y), (-x, y) e (-x, -y) também pertencem a ele. Portanto, basta considerar apenas aquela parte da elipse que fica no primeiro quarto, onde e .

4) Da equação da elipse temos , e no primeiro trimestre . Se x=0, então y=b. Este é o ponto B2(0,b). Deixe x aumentar de 0 para a, então y diminui de b para 0. Assim, o ponto M(x, y), partindo do ponto B2(0, b) descrevendo um arco, chega ao ponto A(a,0). Pode-se provar estritamente que o arco está direcionado convexamente para cima. Espelhando este arco nos eixos coordenados e na origem, obtemos a elipse inteira. Os eixos de simetria de uma elipse são chamados de eixos; o ponto O de sua intersecção é o centro da elipse. O comprimento dos segmentos OA1=OA2=a é chamado de semieixo maior da elipse, os segmentos OB1, OB2=b são o semieixo menor da elipse, (a>b), c é o meio-focal distância. A magnitude é fácil de explicar geometricamente.

Quando a=b obtemos da equação canônica da elipse a equação de um círculo. Para um círculo, ou seja, F1=F2=0. .

Assim, um círculo é um caso especial de elipse, quando seus focos coincidem com o centro e excentricidade = 0. Quanto maior a excentricidade, mais alongada será a elipse.

Comente. Da equação canônica da elipse é fácil concluir que a elipse pode ser especificada na forma paramétrica. x = um custo

y=b sen t, onde a, b são os semieixos maior e menor, ângulo t.

5. Definição e derivação da equação canônica da hipérbole.

Hipérbole chamados planos HMT para os quais a diferença nas distâncias de dois pontos fixos F1F2 do plano, chamados focos, é um valor constante (não igual a 0 e menor que a distância focal F1F2).

Denotaremos, como antes, F1F2 = 2c, e a diferença nas distâncias é 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Seja M (x,y) o ponto atual da hipérbole. Por definição MF1-MF2= ou r 1 -r 2 = = ou --(1). – esta é a equação de uma hipérbole.

Nos livramos da irracionalidade em (1): isolamos uma raiz, elevamos ao quadrado ambas as partes, obtemos: ou, eleve ao quadrado novamente:

Onde .

Dividido por . Vamos apresentar a designação . Então --(2). A equação (2), como pode ser mostrado, é equivalente à equação (1) e, portanto, é a equação de uma dada hipérbole. Ele é chamado a equação canônica de uma hipérbole. Vemos que a equação da hipérbole também é de segundo grau, o que significa linha hipérbole de segunda ordem.

Excentricidade de uma hipérbole. A expressão para raios focais é fácil de obter a partir da anterior, então a encontramos em .

6. Estudo da forma de uma hipérbole utilizando a sua equação canónica.

Raciocinamos da mesma forma que estudamos uma elipse.

1. Encontre os pontos de intersecção com os eixos da hipérbole. Se x = 0, então. Não há pontos de intersecção com o eixo do amplificador operacional. Se y = 0, então . Pontos de intersecção , . Eles são chamados vértices da hipérbole.

2. Área de localização da hipérbole: , ou seja, ou . Isso significa que a hipérbole está localizada fora da faixa delimitada por linhas retas x=-uma E x=uma.

3. A hipérbole tem todos os tipos de simetria, porque x e y ocorrem em potências pares. Portanto, basta considerar aquela parte da hipérbole que está localizada no primeiro trimestre.

4. Da equação da hipérbole (2) no primeiro trimestre temos. Para x=a, y=0 temos o ponto; uma gravata. a curva sobe para a direita. Para imaginar o movimento com mais clareza, considere duas linhas auxiliares que passam pela origem das coordenadas e são diagonais de um retângulo com lados 2a e 2b: BCB’C’. Eles têm equações e . Vamos provar que o ponto atual da hipérbole M(x,y) vai ao infinito e se aproxima da reta sem limite. Vamos pegar um ponto arbitrário X e compare as ordenadas correspondentes do ponto da hipérbole e da reta. É óbvio que S> s. MN=Y-y= .

Vemos isso quando, ou seja, a curva se aproxima indefinidamente da linha reta à medida que se afasta da origem. Isso prova que a reta é uma assíntota da hipérbole. Além disso, a hipérbole não intercepta a assíntota. Isso é suficiente para construir parte da hipérbole. Está convexamente voltado para cima. As partes restantes são concluídas em simetria. Observe que os eixos de simetria de uma hipérbole (eixos coordenados) são chamados de seus eixos, o ponto de intersecção dos eixos- Centro hipérbole. Um eixo cruza a hipérbole (eixo real), o outro não (imaginário). Segmento de linha A chamado de semieixo real, o segmento b- semieixo imaginário. O retângulo BCB'C' é chamado de retângulo básico da hipérbole.

Se a=b, então as assíntotas formam ângulos com os eixos coordenados ao longo de . Então a hipérbole é chamada equilátero ou equilátero. O retângulo principal se transforma em um quadrado. Suas assíntotas são perpendiculares entre si.

Comente.

Às vezes consideramos uma hipérbole cuja equação canônica é (3). Eles a chamam conjugado em relação à hipérbole (2). A hipérbole (3) possui um eixo real vertical e um eixo imaginário horizontal. Sua aparência é imediatamente estabelecida se você reorganizar X E no, A E b(ela volta ao seu antigo eu). Mas então a hipérbole (3) tem a forma:

Isso fala.

5.Como já indicado, a equação de uma hipérbole equilátera ( uma=b), quando os eixos coordenados coincidem com os eixos da hipérbole, tem a forma . (4)

Porque as assíntotas de uma hipérbole equilátera são perpendiculares, então também podem ser consideradas os eixos coordenados OX 1 e OU 1. Isto equivale a girar o sistema OXY anterior em um ângulo. As fórmulas de rotação do ângulo são as seguintes:

Então, no novo sistema de coordenadas OX 1 Y 1, a equação (4) será reescrita:

Ou ou . Denotando, obtemos ou (5) - esta é a equação hipérbole equilátera, classificadas como assíntotas (era esse tipo de hipérbole que era considerado na escola).

Comente: Da equação segue-se que a área de qualquer retângulo construído nas coordenadas de qualquer ponto da hipérbole M(x,y) é a mesma: S= k 2 .

7. Definição e derivação da equação canônica de uma parábola.

Parábolaé chamado de GMT do plano, para cada um dos quais a distância de um ponto fixo F do plano, chamado foco, é igual à distância de uma linha reta fixa chamada diretora(foco fora da diretora).

Denotaremos a distância de F à diretriz por p e chamaremos isso de parâmetro da parábola. Escolhamos o sistema de coordenadas da seguinte forma: desenhe o eixo OX pelo ponto F perpendicular à diretriz NP. Escolhamos a origem das coordenadas no meio do segmento FP.

Neste sistema: .

Vamos pegar um ponto arbitrário M(x,y) com coordenadas atuais (x,y). É por isso

Portanto (1) é a equação da parábola. Vamos simplificar:

Ou (2) - é isso equação canônica de uma parábola. Pode-se mostrar que (1) e (2) são equivalentes.

A equação (2) é uma equação de 2ª ordem, ou seja, parábola é uma reta de 2ª ordem.

8. Estudo da forma de uma parábola utilizando a sua equação canónica.

(p>0).

1) x=0, y=0 a parábola passa pela origem do ponto de coordenadas O. É chamado de vértice da parábola.

2), ou seja a parábola está localizada à direita do eixo do amplificador operacional, no semiplano direito.

3) no está incluído em grau par, portanto a parábola é simétrica em relação ao eixo OX, portanto, basta construí-la no primeiro trimestre.

4) no 1º trimestre às , ou seja, a parábola sobe para a direita. Pode-se mostrar que a convexidade é para cima. Construímos na parte inferior de acordo com a simetria. O eixo OU é tangente à parábola.

Obviamente, o raio focal é . O relacionamento é chamado excentricidade: . O eixo de simetria de uma parábola (no nosso caso OX) é chamado de eixo da parábola.

Observe que a equação também é uma parábola, mas direcionada na direção oposta. As equações também definem parábolas, cujo eixo é o eixo do amplificador operacional.

ou de uma forma mais familiar, onde .

A equação define uma parábola ordinária com um vértice deslocado.

Notas. 1) Existe uma estreita relação entre todas as quatro linhas de 2ª ordem - são todas seções cônicas. Se pegarmos um cone de duas cavidades, então quando o cortamos com um plano perpendicular ao eixo do cone obtemos um círculo, se inclinarmos levemente o plano da seção obtemos uma elipse; se o plano for paralelo à geratriz, então a seção é uma parábola, se o plano interceptar ambos

cavidades-hipérbole.

2) Pode-se provar que se um raio de luz vindo do foco de uma parábola é refletido nela, então o raio refletido segue paralelo ao eixo da parábola - isso é usado na ação de holofotes - um refletor parabólico, e no foco está uma fonte de luz. Isso resulta em um fluxo direcionado de luz.

3) Se imaginarmos o lançamento de um satélite terrestre do ponto T situado fora da atmosfera na direção horizontal, então se a velocidade inicial v 0 for insuficiente, então o satélite não girará em torno da Terra. Ao atingir a 1ª velocidade de escape, o satélite girará em torno da Terra em uma órbita circular com seu centro no centro da Terra. Se a velocidade inicial for aumentada, a rotação ocorrerá ao longo de uma elipse, o centro da Terra estará em um dos focos. Ao atingir a 2ª velocidade de escape, a trajetória se tornará parabólica e o satélite não retornará ao ponto T, mas estará dentro do Sistema Solar. Aqueles. Uma parábola é uma elipse com um foco no infinito. Com um novo aumento na velocidade inicial, a trajetória se tornará hiperbólica e um segundo foco aparecerá do outro lado. O centro da Terra estará sempre no foco da órbita. O satélite sairá do sistema solar.

11.1. Conceitos Básicos

Vamos considerar retas definidas por equações de segundo grau em relação às coordenadas atuais

Os coeficientes da equação são números reais, mas pelo menos um dos números A, B ou C é diferente de zero. Essas linhas são chamadas de linhas (curvas) de segunda ordem. A seguir será estabelecido que a equação (11.1) define um círculo, elipse, hipérbole ou parábola no plano. Antes de passarmos a esta afirmação, vamos estudar as propriedades das curvas listadas.

11.2. Círculo

A curva de segunda ordem mais simples é um círculo. Lembre-se de que um círculo de raio R com centro em um ponto é o conjunto de todos os pontos M do plano que satisfazem a condição. Deixe um ponto em um sistema de coordenadas retangulares ter coordenadas x 0, y 0 e - um ponto arbitrário no círculo (ver Fig. 48).

Então a partir da condição obtemos a equação

(11.2)

A equação (11.2) é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto em um determinado círculo e não é satisfeita pelas coordenadas de qualquer ponto que não esteja no círculo.

A equação (11.2) é chamada equação canônica de um círculo

Em particular, definindo e, obtemos a equação de um círculo com centro na origem .

A equação do círculo (11.2) após transformações simples assumirá a forma . Ao comparar esta equação com a equação geral (11.1) de uma curva de segunda ordem, é fácil perceber que duas condições são satisfeitas para a equação de um círculo:

1) os coeficientes para x 2 e y 2 são iguais entre si;

2) não existe nenhum membro contendo o produto xy das coordenadas atuais.

Vamos considerar o problema inverso. Colocando os valores e na equação (11.1), obtemos

Vamos transformar esta equação:

(11.4)

Segue-se que a equação (11.3) define um círculo sob a condição . Seu centro está no ponto , e o raio

.

Se , então a equação (11.3) tem a forma

.

É satisfeito pelas coordenadas de um único ponto . Neste caso dizem: “o círculo degenerou em ponto” (tem raio zero).

Se , então a equação (11.4) e, portanto, a equação equivalente (11.3), não definirá nenhuma reta, uma vez que o lado direito da equação (11.4) é negativo e o lado esquerdo não é negativo (digamos: “um círculo imaginário”).

11.3. Elipse

Equação canônica da elipse

Elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano, a soma das distâncias de cada um deles a dois pontos dados deste plano, chamados truques , é um valor constante maior que a distância entre os focos.

Vamos denotar os focos por F1 E F2, a distância entre eles é 2 c, e a soma das distâncias de um ponto arbitrário da elipse aos focos - em 2 a(ver Fig. 49). Por definição 2 a > 2c, ou seja a > c.

Para derivar a equação da elipse, escolhemos um sistema de coordenadas tal que os focos F1 E F2 estava no eixo, e a origem coincidia com o meio do segmento F 1 F 2. Então os focos terão as seguintes coordenadas: e .

Let Ser um ponto arbitrário da elipse. Então, de acordo com a definição de uma elipse, ou seja,

Esta, em essência, é a equação de uma elipse.

Vamos transformar a equação (11.5) para uma forma mais simples como segue:

Porque a>Com, Que . Vamos colocar

(11.6)

Então a última equação assumirá a forma ou

(11.7)

Pode-se provar que a equação (11.7) é equivalente à equação original. É chamado equação canônica da elipse .

Uma elipse é uma curva de segunda ordem.

Estudando a forma de uma elipse usando sua equação

Vamos estabelecer a forma da elipse usando sua equação canônica.

1. A equação (11.7) contém xey apenas em potências pares, portanto, se um ponto pertence a uma elipse, então os pontos ,, também pertencem a ela. Segue-se que a elipse é simétrica em relação aos eixos e, bem como em relação ao ponto chamado centro da elipse.

2. Encontre os pontos de intersecção da elipse com os eixos coordenados. Colocando, encontramos dois pontos e, nos quais o eixo intercepta a elipse (ver Fig. 50). Colocando na equação (11.7) , encontramos os pontos de intersecção da elipse com o eixo: e . Pontos A 1 , Um 2 , B1, B2 são chamados vértices da elipse. Segmentos A 1 Um 2 E B 1 B 2, bem como seus comprimentos 2 a e 2 b são chamados de acordo eixos maiores e menores elipse. Números a E b são chamados de grandes e pequenos respectivamente eixos elipse.

3. Da equação (11.7) segue-se que cada termo do lado esquerdo não excede um, ou seja, as desigualdades e ou e acontecem. Conseqüentemente, todos os pontos da elipse estão dentro do retângulo formado pelas retas.

4. Na equação (11.7), a soma dos termos não negativos e é igual a um. Conseqüentemente, à medida que um termo aumenta, o outro diminui, ou seja, se aumenta, diminui e vice-versa.

Do exposto segue-se que a elipse tem a forma mostrada na Fig. 50 (curva fechada oval).

Mais informações sobre a elipse

A forma da elipse depende da proporção. Quando a elipse se transforma em círculo, a equação da elipse (11.7) assume a forma. A proporção é frequentemente usada para caracterizar a forma de uma elipse. A razão entre metade da distância entre os focos e o semi-eixo maior da elipse é chamada de excentricidade da elipse e o6o é denotado pela letra ε (“épsilon”):

com 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Isto mostra que quanto menor for a excentricidade da elipse, menos achatada será a elipse; se definirmos ε = 0, então a elipse se transforma em um círculo.

Seja M(x;y) um ponto arbitrário da elipse com focos F 1 e F 2 (ver Fig. 51). Os comprimentos dos segmentos F 1 M = r 1 e F 2 M = r 2 são chamados de raios focais do ponto M. Obviamente,

As fórmulas valem

As linhas diretas são chamadas

Teorema 11.1. Se é a distância de um ponto arbitrário da elipse a algum foco, d é a distância do mesmo ponto à diretriz correspondente a este foco, então a razão é um valor constante igual à excentricidade da elipse:

Da igualdade (11.6) segue-se que. Se, então a equação (11.7) define uma elipse, cujo eixo maior está no eixo Oy, e o eixo menor está no eixo Ox (ver Fig. 52). Os focos de tal elipse estão nos pontos e , onde .

11.4. Hipérbole

Equação da hipérbole canônica

Hipérbole é o conjunto de todos os pontos do plano, o módulo da diferença nas distâncias de cada um deles a dois pontos dados deste plano, denominado truques , é um valor constante menor que a distância entre os focos.

Vamos denotar os focos por F1 E F2 a distância entre eles é 2s, e o módulo da diferença nas distâncias de cada ponto da hipérbole aos focos através 2a. Priorado A 2a < 2s, ou seja a < c.

Para derivar a equação da hipérbole, escolhemos um sistema de coordenadas tal que os focos F1 E F2 estava no eixo, e a origem coincidia com o meio do segmento F 1 F 2(ver Fig. 53). Então os focos terão coordenadas e

Seja um ponto arbitrário da hipérbole. Então, de acordo com a definição de hipérbole ou , ou seja, após simplificações, como foi feito ao derivar a equação da elipse, obtemos equação canônica da hipérbole

(11.9)

(11.10)

Uma hipérbole é uma reta de segunda ordem.

Estudando a forma de uma hipérbole usando sua equação

Vamos estabelecer a forma da hipérbole usando sua equação cacônica.

1. A equação (11.9) contém xey apenas em potências pares. Consequentemente, a hipérbole é simétrica em relação aos eixos e , bem como em relação ao ponto, que é chamado o centro da hipérbole.

2. Encontre os pontos de intersecção da hipérbole com os eixos coordenados. Colocando na equação (11.9), encontramos dois pontos de intersecção da hipérbole com o eixo: e. Colocando (11.9), obtemos, o que não pode ser. Portanto, a hipérbole não intercepta o eixo Oy.

Os pontos são chamados picos hipérboles e o segmento

eixo real , segmento de linha - semi-eixo real hipérbole.

Um segmento que conecta pontos é chamado eixo imaginário , número b - semieixo imaginário . Retângulo com lados 2a E 2b chamado retângulo básico da hipérbole .

3. Da equação (11.9) segue-se que o minuendo não é menor que um, ou seja, isso ou . Isso significa que os pontos da hipérbole estão localizados à direita da reta (ramo direito da hipérbole) e à esquerda da reta (ramo esquerdo da hipérbole).

4. Da equação (11.9) da hipérbole fica claro que quando ela aumenta, ela aumenta. Isso decorre do fato de que a diferença mantém um valor constante igual a um.

Do exposto segue-se que a hipérbole tem a forma mostrada na Figura 54 (uma curva que consiste em dois ramos ilimitados).

Assíntotas de uma hipérbole

A linha reta L é chamada de assíntota de uma curva ilimitada K se a distância d do ponto M da curva K a esta linha reta tende a zero quando a distância do ponto M ao longo da curva K a partir da origem é ilimitada. A Figura 55 ilustra o conceito de assíntota: a linha reta L é uma assíntota da curva K.

Vamos mostrar que a hipérbole tem duas assíntotas:

(11.11)

Como as retas (11.11) e a hipérbole (11.9) são simétricas em relação aos eixos coordenados, basta considerar apenas os pontos das retas indicadas que estão localizados no primeiro trimestre.

Tomemos um ponto N em uma linha reta que tenha a mesma abscissa x que o ponto na hipérbole (ver Fig. 56), e encontre a diferença ΜΝ entre as ordenadas da linha reta e o ramo da hipérbole:

Como você pode ver, à medida que x aumenta, o denominador da fração aumenta; o numerador é um valor constante. Portanto, o comprimento do segmento ΜΝ tende a zero. Como MΝ é maior que a distância d do ponto M à reta, então d tende a zero. Portanto, as retas são assíntotas da hipérbole (11.9).

Ao construir uma hipérbole (11.9), é aconselhável primeiro construir o retângulo principal da hipérbole (ver Fig. 57), desenhar linhas retas passando pelos vértices opostos deste retângulo - as assíntotas da hipérbole e marcar os vértices e, da hipérbole.

Equação de uma hipérbole equilátera.

cujas assíntotas são os eixos coordenados

A hipérbole (11.9) é chamada equilátera se seus semieixos forem iguais a (). Sua equação canônica

(11.12)

As assíntotas de uma hipérbole equilátera possuem equações e, portanto, são bissetoras de ângulos coordenados.

Consideremos a equação desta hipérbole em um novo sistema de coordenadas (ver Fig. 58), obtido a partir do antigo girando os eixos de coordenadas em um ângulo. Usamos as fórmulas para girar eixos coordenados:

Substituímos os valores de x e y na equação (11.12):

A equação de uma hipérbole equilátera, para a qual os eixos Ox e Oy são assíntotas, terá a forma .

Mais informações sobre hipérbole

Excentricidade hipérbole (11.9) é a razão entre a distância entre os focos e o valor do eixo real da hipérbole, denotado por ε:

Já que para uma hipérbole, a excentricidade da hipérbole é maior que um:. A excentricidade caracteriza a forma de uma hipérbole. Na verdade, da igualdade (11.10) segue-se que, ou seja, E .

A partir disso fica claro que quanto menor a excentricidade da hipérbole, menor será a proporção de seus semieixos e, portanto, mais alongado será seu retângulo principal.

A excentricidade de uma hipérbole equilátera é. Realmente,

Raios focais E para pontos do ramo direito as hipérboles têm a forma e , e para o ramo esquerdo - E .

As linhas diretas são chamadas de diretrizes de uma hipérbole. Já que para uma hipérbole ε > 1, então . Isso significa que a diretriz direita está localizada entre o centro e o vértice direito da hipérbole, a diretriz esquerda - entre o centro e o vértice esquerdo.

As diretrizes de uma hipérbole têm a mesma propriedade que as diretrizes de uma elipse.

A curva definida pela equação também é uma hipérbole, cujo eixo real 2b está localizado no eixo Oy, e o eixo imaginário 2 a- no eixo do Boi. Na Figura 59 é mostrado como uma linha pontilhada.

É óbvio que as hipérboles têm assíntotas comuns. Essas hipérboles são chamadas de conjugadas.

11.5. Parábola

Equação da parábola canônica

Uma parábola é o conjunto de todos os pontos do plano, cada um dos quais está igualmente distante de um determinado ponto, denominado foco, e de uma determinada reta, denominada diretriz. A distância do foco F à diretriz é chamada de parâmetro da parábola e é denotada por p (p > 0).

Para derivar a equação da parábola, escolhemos o sistema de coordenadas Oxy de modo que o eixo Ox passe pelo foco F perpendicular à diretriz na direção da diretriz para F, e a origem das coordenadas O esteja localizada no meio entre o foco e a diretriz (ver Fig. 60). No sistema escolhido, o foco F possui coordenadas, e a equação diretriz tem a forma, ou.

1. Na equação (11.13) a variável y aparece em grau par, o que significa que a parábola é simétrica em relação ao eixo do Boi; O eixo do Boi é o eixo de simetria da parábola.

2. Como ρ > 0, segue de (11.13) que . Consequentemente, a parábola está localizada à direita do eixo Oy.

3. Quando temos y = 0. Portanto, a parábola passa pela origem.

4. À medida que x aumenta indefinidamente, o módulo y também aumenta indefinidamente. A parábola tem a forma mostrada na Figura 61. O ponto O(0; 0) é chamado de vértice da parábola, o segmento FM = r é chamado de raio focal do ponto M.

Equações , , ( p>0) também definem parábolas, elas são mostradas na Figura 62

É fácil mostrar que o gráfico de um trinômio quadrático, onde , B e C são quaisquer números reais, é uma parábola no sentido de sua definição dada acima.

11.6. Equação geral de linhas de segunda ordem

Equações de curvas de segunda ordem com eixos de simetria paralelos aos eixos coordenados

Vamos primeiro encontrar a equação de uma elipse com centro no ponto cujos eixos de simetria são paralelos aos eixos coordenados Ox e Oy e os semieixos são respectivamente iguais a E b. Coloquemos no centro da elipse O 1 o início de um novo sistema de coordenadas, cujos eixos e semieixos a E b(ver Fig. 64):

Finalmente, as parábolas mostradas na Figura 65 possuem equações correspondentes.

A equação

As equações de uma elipse, hipérbole, parábola e a equação de um círculo após as transformações (abrir colchetes, mover todos os termos da equação para um lado, trazer termos semelhantes, introduzir novas notações para coeficientes) podem ser escritas usando uma única equação do forma

onde os coeficientes A e C não são iguais a zero ao mesmo tempo.

Surge a questão: toda equação da forma (11.14) determina uma das curvas (círculo, elipse, hipérbole, parábola) de segunda ordem? A resposta é dada pelo seguinte teorema.

Teorema 11.2. A Equação (11.14) sempre define: ou um círculo (para A = C), ou uma elipse (para A C > 0), ou uma hipérbole (para A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Equação geral de segunda ordem

Consideremos agora uma equação geral de segundo grau com duas incógnitas:

Difere da equação (11.14) pela presença de um termo com o produto das coordenadas (B¹ 0). É possível, girando os eixos coordenados em um ângulo a, transformar esta equação de forma que o termo com o produto das coordenadas esteja ausente.

Usando fórmulas de rotação de eixo

Vamos expressar as coordenadas antigas em termos das novas:

Escolhamos o ângulo a para que o coeficiente para x" · y" seja zero, ou seja, para que a igualdade

Assim, quando os eixos são girados por um ângulo a que satisfaça a condição (11.17), a equação (11.15) é reduzida à equação (11.14).

Conclusão: a equação geral de segunda ordem (11.15) define no plano (exceto nos casos de degeneração e decadência) as seguintes curvas: círculo, elipse, hipérbole, parábola.

Nota: Se A = C, então a equação (11.17) perde o sentido. Neste caso, cos2α = 0 (ver (11.16)), então 2α = 90°, ou seja, α = 45°. Portanto, quando A = C, o sistema de coordenadas deve ser girado 45°.

Linhas de segunda ordem.
Elipse e sua equação canônica. Círculo

Depois de um estudo aprofundado linhas retas no avião Continuamos a estudar a geometria do mundo bidimensional. A aposta está dobrada e convido você a visitar uma pitoresca galeria de elipses, hipérboles, parábolas, que são representantes típicos linhas de segunda ordem. A excursão já começou, e primeiro uma breve informação sobre toda a exposição nos diferentes andares do museu:

O conceito de linha algébrica e sua ordem

Uma linha em um plano é chamada algébrico, se em sistema de coordenadas afins sua equação tem a forma , onde é um polinômio constituído por termos da forma ( – número real, – inteiros não negativos).

Como você pode ver, a equação de uma reta algébrica não contém senos, cossenos, logaritmos e outras beau monde funcionais. Apenas X e Y estão em inteiros não negativos graus.

Ordem de linha igual ao valor máximo dos termos nele incluídos.

De acordo com o teorema correspondente, o conceito de reta algébrica, bem como sua ordem, independem da escolha sistema de coordenadas afins, portanto, para facilitar a existência, assumimos que todos os cálculos subsequentes ocorrem em Coordenadas cartesianas.

Equação geral a segunda linha de ordem tem o formato , onde – números reais arbitrários (É costume escrevê-lo com um fator de dois), e os coeficientes não são iguais a zero ao mesmo tempo.

Se , então a equação é simplificada para , e se os coeficientes não forem iguais a zero ao mesmo tempo, então isso é exatamente equação geral de uma linha “plana”, que representa primeira linha de pedido.

Muitos entenderam o significado dos novos termos, mas, mesmo assim, para assimilar 100% o material, enfiamos os dedos na tomada. Para determinar a ordem das linhas, você precisa iterar todos os termos suas equações e encontre para cada uma delas soma de graus variáveis ​​de entrada.

Por exemplo:

o termo contém “x” elevado à 1ª potência;
o termo contém “Y” elevado à 1ª potência;
Não há variáveis ​​no termo, então a soma de suas potências é zero.

Agora vamos descobrir por que a equação define a reta segundo ordem:

o termo contém “x” elevado à 2ª potência;
a soma tem a soma das potências das variáveis: 1 + 1 = 2;
o termo contém “Y” elevado à 2ª potência;
todos os outros termos - menos graus.

Valor máximo: 2

Se adicionarmos adicionalmente, digamos, à nossa equação, então ela já determinará linha de terceira ordem. É óbvio que a forma geral da equação linear de 3ª ordem contém um “conjunto completo” de termos, cuja soma das potências das variáveis ​​​​é igual a três:
, onde os coeficientes não são iguais a zero ao mesmo tempo.

Caso você adicione um ou mais termos adequados que contenham , então já falaremos sobre Linhas de 4ª ordem, etc.

Teremos que encontrar linhas algébricas de 3ª, 4ª e ordens superiores mais de uma vez, em particular, ao nos familiarizarmos com sistema de coordenadas polares.

Porém, voltemos à equação geral e lembremos de suas variações escolares mais simples. Como exemplos, surge uma parábola, cuja equação pode ser facilmente reduzida a uma forma geral, e uma hipérbole com uma equação equivalente. Porém, nem tudo é tão tranquilo...

Uma desvantagem significativa da equação geral é que quase sempre não fica claro qual linha ela define. Mesmo no caso mais simples, você não perceberá imediatamente que isso é uma hipérbole. Esses layouts são bons apenas para um baile de máscaras, portanto, um problema típico é considerado no curso de geometria analítica trazendo a equação da linha de 2ª ordem para a forma canônica.

Qual é a forma canônica de uma equação?

Esta é a forma padrão geralmente aceita de uma equação, quando em questão de segundos fica claro qual objeto geométrico ela define. Além disso, a forma canônica é muito conveniente para resolver muitos problemas práticos. Então, por exemplo, de acordo com a equação canônica "plano" reto, em primeiro lugar, fica imediatamente claro que se trata de uma linha reta e, em segundo lugar, o ponto pertencente a ela e o vetor de direção são facilmente visíveis.

É óbvio que qualquer 1ª linha de pedidoé uma linha reta. No segundo andar, já não é o vigia que nos espera, mas sim uma companhia muito mais diversificada de nove estátuas:

Classificação das linhas de segunda ordem

Usando um conjunto especial de ações, qualquer equação de uma reta de segunda ordem é reduzida a uma das seguintes formas:

(e são números reais positivos)

1) – equação canônica da elipse;

2) – equação canônica de uma hipérbole;

3) – equação canônica de uma parábola;

4) – imaginário elipse;

5) – um par de linhas que se cruzam;

6) – par imaginário linhas que se cruzam (com um único ponto de intersecção válido na origem);

7) – um par de linhas paralelas;

8) – par imaginário linhas paralelas;

9) – um par de linhas coincidentes.

Alguns leitores podem ter a impressão de que a lista está incompleta. Por exemplo, no ponto nº 7, a equação especifica o par direto, paralela ao eixo, e surge a pergunta: onde está a equação que determina as retas paralelas ao eixo das ordenadas? Responda não considerado canônico. As linhas retas representam o mesmo caso padrão, girado em 90 graus, e a entrada adicional na classificação é redundante, pois não traz nada de fundamentalmente novo.

Assim, existem nove e apenas nove tipos diferentes de linhas de 2ª ordem, mas na prática as mais comuns são elipse, hipérbole e parábola.

Vejamos primeiro a elipse. Como sempre, concentro-me nos pontos que são de grande importância para a resolução de problemas, e se você precisar de uma derivação detalhada de fórmulas, provas de teoremas, consulte, por exemplo, o livro de Bazylev/Atanasyan ou Aleksandrov.

Elipse e sua equação canônica

Ortografia... por favor, não repita os erros de alguns usuários do Yandex que estão interessados ​​​​em “como construir uma elipse”, “a diferença entre uma elipse e uma oval” e “a excentricidade de uma elipse”.

A equação canônica de uma elipse tem a forma, onde estão os números reais positivos, e. Formularei a própria definição de elipse mais tarde, mas por enquanto é hora de fazer uma pausa nas conversas e resolver um problema comum:

Como construir uma elipse?

Sim, basta pegar e desenhar. A tarefa ocorre com frequência e uma parte significativa dos alunos não lida corretamente com o desenho:

Exemplo 1

Construa a elipse dada pela equação

Solução: Primeiro, vamos trazer a equação para a forma canônica:

Por que trazer? Uma das vantagens da equação canônica é que ela permite determinar instantaneamente vértices da elipse, que estão localizados em pontos. É fácil ver que as coordenadas de cada um desses pontos satisfazem a equação.

Nesse caso :


Segmento de linha chamado eixo principal elipse;
segmento de linha – eixo menor;
número chamado eixo semi-maior elipse;
número – eixo menor.
no nosso exemplo: .

Para imaginar rapidamente a aparência de uma elipse específica, basta observar os valores de “a” e “ser” de sua equação canônica.

Está tudo bem, liso e lindo, mas tem uma ressalva: fiz o desenho no programa. E você pode fazer o desenho usando qualquer aplicativo. Porém, na dura realidade, há um pedaço de papel xadrez sobre a mesa e os ratos dançam em círculos em nossas mãos. Pessoas com talento artístico, é claro, podem argumentar, mas você também tem ratos (embora menores). Não foi em vão que a humanidade inventou a régua, o compasso, o transferidor e outros dispositivos simples para desenhar.

Por esta razão, é improvável que consigamos desenhar com precisão uma elipse conhecendo apenas os vértices. Não há problema se a elipse for pequena, por exemplo, com semieixos. Alternativamente, você pode reduzir a escala e, consequentemente, as dimensões do desenho. Mas, em geral, é altamente desejável encontrar pontos adicionais.

Existem duas abordagens para construir uma elipse - geométrica e algébrica. Não gosto de construir com compasso e régua porque o algoritmo não é dos mais curtos e o desenho é bastante confuso. Em caso de emergência, consulte o livro didático, mas na realidade é muito mais racional utilizar as ferramentas da álgebra. A partir da equação da elipse no rascunho, expressamos rapidamente:

A equação então se divide em duas funções:
– define o arco superior da elipse;
– define o arco inferior da elipse.

A elipse definida pela equação canônica é simétrica em relação aos eixos coordenados, bem como em relação à origem. E isso é ótimo - a simetria é quase sempre um prenúncio de brindes. Obviamente, basta tratar do 1º trimestre de coordenadas, então precisamos da função . Implora para ser encontrado pontos adicionais com abscissas . Vamos tocar três mensagens SMS na calculadora:

Claro, também é bom que, se for cometido um erro grave nos cálculos, isso ficará imediatamente claro durante a construção.

Vamos marcar os pontos no desenho (vermelho), pontos simétricos nos demais arcos (azul) e conectar cuidadosamente toda a empresa com uma linha:


É melhor desenhar o esboço inicial bem fino e só então aplicar pressão com um lápis. O resultado deve ser uma elipse bastante decente. Aliás, você gostaria de saber o que é essa curva?

Definição de uma elipse. Focos elipse e excentricidade elipse

Uma elipse é um caso especial de oval. A palavra “oval” não deve ser entendida no sentido filisteu (“a criança desenhou um oval”, etc.). Este é um termo matemático que possui uma formulação detalhada. O objetivo desta lição não é considerar a teoria das ovais e seus diversos tipos, que praticamente não recebem atenção no curso padrão de geometria analítica. E, de acordo com necessidades mais atuais, passamos imediatamente à definição estrita de elipse:

Elipseé o conjunto de todos os pontos do plano, a soma das distâncias a cada um deles de dois pontos dados, chamados truques elipse, é uma quantidade constante, numericamente igual ao comprimento do eixo maior desta elipse: .
Neste caso, as distâncias entre os focos são menores que este valor: .

Agora tudo ficará mais claro:

Imagine que o ponto azul “viaja” ao longo de uma elipse. Portanto, não importa qual ponto da elipse tomemos, a soma dos comprimentos dos segmentos será sempre a mesma:

Vamos ter certeza de que em nosso exemplo o valor da soma é realmente igual a oito. Coloque mentalmente o ponto “um” no vértice direito da elipse, então: , que é o que precisava ser verificado.

Outra forma de desenhá-lo é baseada na definição de uma elipse. A matemática superior às vezes é a causa de tensão e estresse, então é hora de outra sessão de descarregamento. Por favor, pegue um papel Whatman ou uma folha grande de papelão e prenda-o na mesa com dois pregos. Estes serão truques. Amarre um fio verde nas cabeças salientes dos pregos e puxe-o completamente com um lápis. A grafite do lápis terminará em um determinado ponto que pertence à elipse. Agora comece a mover o lápis ao longo do pedaço de papel, mantendo o fio verde esticado. Continue o processo até retornar ao ponto inicial... ótimo... o desenho pode ser conferido pelo médico e professor =)

Como encontrar os focos de uma elipse?

No exemplo acima, representei pontos focais “prontos” e agora aprenderemos como extraí-los das profundezas da geometria.

Se uma elipse é dada por uma equação canônica, então seus focos têm coordenadas , Cadê distância de cada foco ao centro de simetria da elipse.

Os cálculos são mais simples que simples:

! As coordenadas específicas dos focos não podem ser identificadas com o significado de “tse”! Repito que isso é DISTÂNCIA de cada foco ao centro(que no caso geral não precisa estar localizado exatamente na origem).
E, portanto, a distância entre os focos também não pode ser vinculada à posição canônica da elipse. Em outras palavras, a elipse pode ser movida para outro local e o valor permanecerá inalterado, enquanto os focos mudarão naturalmente de coordenadas. Por favor, leve isso em consideração ao explorar mais o tópico.

Excentricidade da elipse e seu significado geométrico

A excentricidade de uma elipse é uma razão que pode assumir valores dentro do intervalo.

No nosso caso:

Vamos descobrir como a forma de uma elipse depende de sua excentricidade. Por esta corrigir os vértices esquerdo e direito da elipse em consideração, ou seja, o valor do semieixo maior permanecerá constante. Então a fórmula da excentricidade terá a forma: .

Vamos começar a aproximar o valor da excentricidade da unidade. Isto só é possível se. O que isso significa? ...lembre-se dos truques . Isso significa que os focos da elipse “se afastarão” ao longo do eixo das abcissas para os vértices laterais. E, como “os segmentos verdes não são de borracha”, a elipse inevitavelmente começará a se achatar, transformando-se em uma salsicha cada vez mais fina amarrada em um eixo.

Por isso, quanto mais próximo o valor da excentricidade da elipse estiver da unidade, mais alongada será a elipse.

Agora vamos modelar o processo oposto: os focos da elipse caminharam um em direção ao outro, aproximando-se do centro. Isso significa que o valor de “ce” torna-se cada vez menor e, consequentemente, a excentricidade tende a zero: .
Neste caso, os “segmentos verdes” irão, pelo contrário, “ficar aglomerados” e começarão a “empurrar” a linha da elipse para cima e para baixo.

Por isso, Quanto mais próximo o valor da excentricidade estiver de zero, mais semelhante será a elipse a... veja o caso limite quando os focos são reunidos com sucesso na origem:

Um círculo é um caso especial de elipse

Com efeito, no caso da igualdade dos semieixos, a equação canônica da elipse assume a forma , que se transforma reflexivamente na equação de um círculo com centro na origem do raio “a”, bem conhecido na escola.

Na prática, a notação com a letra “falante” “er” é mais usada: . O raio é o comprimento de um segmento, com cada ponto do círculo removido do centro por uma distância de raio.

Observe que a definição de uma elipse permanece completamente correta: os focos coincidem e a soma dos comprimentos dos segmentos coincidentes para cada ponto do círculo é uma constante. Como a distância entre os focos é , então a excentricidade de qualquer círculo é zero.

Construir um círculo é fácil e rápido, basta usar um compasso. Porém, às vezes é necessário descobrir as coordenadas de alguns de seus pontos, neste caso seguimos o caminho familiar - trazemos a equação para a alegre forma de Matanov:

– função do semicírculo superior;
– função do semicírculo inferior.

Então encontramos os valores necessários, diferenciar, integrar e fazer outras coisas boas.

O artigo, claro, é apenas para referência, mas como viver no mundo sem amor? Tarefa criativa para solução independente

Exemplo 2

Componha a equação canônica de uma elipse se um de seus focos e semi-eixo menor forem conhecidos (o centro está na origem). Encontre vértices, pontos adicionais e desenhe uma linha no desenho. Calcule a excentricidade.

Solução e desenho no final da aula

Vamos adicionar uma ação:

Girar e traduzir paralelamente uma elipse

Voltemos à equação canônica da elipse, ou seja, à condição, cujo mistério tem atormentado mentes curiosas desde a primeira menção a esta curva. Então olhamos para a elipse , mas não é possível na prática encontrar a equação ? Afinal, aqui, porém, também parece ser uma elipse!

Esse tipo de equação é raro, mas aparece. E na verdade define uma elipse. Vamos desmistificar:

Como resultado da construção, foi obtida nossa elipse nativa, girada 90 graus. Aquilo é, - Esse entrada não canônica elipse . Registro!- a equação não define nenhuma outra elipse, pois não há pontos (focos) no eixo que satisfaçam a definição de uma elipse.

É uma figura geométrica limitada por uma curva dada pela equação.

Tem dois focos . Focos são chamados de dois pontos, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse é um valor constante.

Desenho de figura elipse

F 1, F 2 – focos. F 1 = (c; 0); F 2 (- c ; 0)

c – metade da distância entre os focos;

a – semieixo maior;

b – semi-eixo menor.

Teorema.A distância focal e os semieixos estão relacionados pela proporção:

uma 2 = b 2 + c 2 .

Prova: Se o ponto M estiver localizado na intersecção da elipse com o eixo vertical, r 1 + r 2 = 2* (de acordo com o teorema de Pitágoras). Se o ponto M estiver localizado em sua intersecção com o eixo horizontal, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Porque por definição, a soma r 1 + r 2 é um valor constante, então, igualando, obtemos:

r 1 + r 2 = 2 uma.

Excentricidade de uma figura elipse

Definição. A forma da elipse é determinada pela característica, que é a razão entre a distância focal e o eixo maior e é chamada excentricidade.

Porque Com< a , то е < 1.

Definição. A quantidade k = b / a é chamada taxa de compressão, e a quantidade 1 – k = (a – b)/ a é chamada compressão.

A taxa de compressão e a excentricidade estão relacionadas pela relação: k 2 = 1 – e 2 .

Se a = b (c = 0, e = 0, os focos se fundem), então a elipse se transforma em um círculo.

Se a condição for satisfeita para o ponto M(x 1, y 1): então ele está localizado dentro da elipse, e se , então o ponto está fora dela.

Teorema.Para um ponto arbitrário M(x, y) pertencente à figura elipse, as seguintes relações são verdadeiras::

r 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

Prova. Foi mostrado acima que r 1 + r 2 = 2 a. Além disso, a partir de considerações geométricas podemos escrever:

Depois de elevar ao quadrado e trazer termos semelhantes:

Está provado de forma semelhante que r 2 = a + ex. O teorema está provado.

Elipse de figuras Directrix

A figura elipse está associada a duas linhas retas chamadas diretoras. Suas equações são:

x = a/e; x = - uma / e .

Teorema.Para que um ponto fique no limite de uma figura elipse, é necessário e suficiente que a razão entre a distância ao foco e a distância à diretriz correspondente seja igual à excentricidade e.

Exemplo. Construa uma elipse passando pelo foco esquerdo e pelo vértice inferior da figura, dada pela equação:

Pontos F 1 (–c, 0) e F 2 (c, 0), onde são chamados focos de elipse , enquanto o valor é 2 c define distância interfocal .

Pontos A 1 (–A, 0), A 2 (A, 0), EM 1 (0, –b), B 2 (0, b) são chamados vértices da elipse (Fig. 9.2), enquanto A 1 A 2 = 2A forma o eixo maior da elipse, e EM 1 EM 2 – pequeno, – o centro da elipse.

Os principais parâmetros da elipse que caracterizam sua forma:

ε = Com/a – excentricidade da elipse ;

– raios focais da elipse (ponto M pertence à elipse), e R 1 = a + εx, R 2 = a – εx;

– diretrizes da elipse .

Para uma elipse é verdade: as diretrizes não cruzam o limite e a região interna da elipse e também têm a propriedade

A excentricidade de uma elipse expressa o seu grau de “compressão”.

Se b > a> 0, então a elipse é dada pela equação (9.7), para a qual, em vez da condição (9.8), a condição é satisfeita

Então 2 A– eixo menor, 2 b– eixo maior, – focos (Fig. 9.3). Em que R 1 + R 2 = 2b,
ε = c/b, as diretrizes são determinadas pelas equações:

Dada a condição, temos (na forma de um caso especial de elipse) um círculo de raio R = a. Em que Com= 0, o que significa ε = 0.

Os pontos da elipse têm propriedade característica : a soma das distâncias de cada um deles aos focos é um valor constante igual a 2 A(Fig. 9.2).

Para definição paramétrica de uma elipse (fórmula (9.7)) nos casos em que as condições (9.8) e (9.9) são atendidas como parâmetro t o ângulo entre o vetor raio de um ponto situado na elipse e a direção positiva do eixo pode ser obtido Boi:

Se o centro de uma elipse com semieixos estiver em um ponto, então sua equação terá a forma:

Exemplo 1. Dê a equação da elipse x 2 + 4sim 2 = 16 à forma canônica e determine seus parâmetros. Desenhe uma elipse.

Solução. Vamos dividir a equação x 2 + 4sim 2 = 16 por 16, após o que obtemos:

Com base na forma da equação resultante, concluímos que esta é a equação canônica de uma elipse (fórmula (9.7)), onde A= 4 – semieixo maior, b= 2 – semi-eixo menor. Isso significa que os vértices da elipse são os pontos A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Como é metade da distância interfocal, os pontos são os focos da elipse. Vamos calcular a excentricidade:

Diretoras D 1 , D 2 são descritos pelas equações:

Desenhe uma elipse (Fig. 9.4).

Exemplo 2. Definir parâmetros de elipse

Solução. Vamos comparar esta equação com a equação canônica de uma elipse com centro deslocado. Encontrando o centro da elipse COM: Semi-eixo maior, semi-eixo menor, retas – eixos maiores. Metade da distância interfocal e, portanto, dos focos Excentricidade da Directrix D 1 e D 2 pode ser descrito usando as equações: (Fig. 9.5).

Exemplo 3. Determine qual curva é dada pela equação e desenhe-a:

1) x 2 + sim 2 + 4x – 2sim + 4 = 0; 2) x 2 + sim 2 + 4x – 2sim + 6 = 0;

3) x 2 + 4sim 2 – 2x + 16sim + 1 = 0; 4) x 2 + 4sim 2 – 2x + 16sim + 17 = 0;

Solução. 1) Vamos reduzir a equação à forma canônica isolando o quadrado completo do binômio:

x 2 + sim 2 + 4x – 2sim + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (sim 2 – 2sim) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (sim 2 – 2sim + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (sim – 1) 2 = 1.

Assim, a equação pode ser reduzida à forma

(x + 2) 2 + (sim – 1) 2 = 1.

Esta é a equação de um círculo com centro no ponto (–2, 1) e raio R= 1 (Fig. 9.6).

2) Selecionamos os quadrados perfeitos dos binômios do lado esquerdo da equação e obtemos:

(x + 2) 2 + (sim – 1) 2 = –1.

Esta equação não faz sentido no conjunto dos números reais, pois o lado esquerdo é não negativo para quaisquer valores reais das variáveis x E sim, e o da direita é negativo. Portanto, dizem que esta é a equação de um “círculo imaginário” ou que define um conjunto vazio de pontos no plano.

3) Selecione quadrados completos:

x 2 + 4sim 2 – 2x + 16sim + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(sim 2 + 4sim + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(sim + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(sim + 2) 2 = 16.

Então a equação fica assim:

A equação resultante e, portanto, a original, define uma elipse. O centro da elipse está no ponto SOBRE 1 (1, –2), os eixos principais são dados pelas equações sim = –2, x= 1, e o semieixo maior A= 4, eixo menor b= 2 (Fig. 9.7).

4) Após selecionar quadrados completos temos:

(x – 1) 2 + 4(sim+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 ou ( x – 1) 2 + 4(sim + 2) 2 = 0.

A equação resultante especifica um único ponto no plano com coordenadas (1, –2).

5) Vamos trazer a equação para a forma canônica:

Obviamente, define uma elipse, cujo centro está localizado no ponto em que os eixos principais são dados pelas equações com o semi-eixo maior e o semi-eixo menor (Fig. 9.8).

Exemplo 4. Escreva a equação da tangente a um círculo de raio 2 centrado no foco direito da elipse x 2 + 4sim 2 = 4 no ponto de intersecção com o eixo y.

Solução. Vamos reduzir a equação da elipse à forma canônica (9.7):

Isso significa que o foco correto também é - Portanto, a equação necessária para um círculo de raio 2 tem a forma (Fig. 9.9):

O círculo cruza o eixo das ordenadas em pontos cujas coordenadas são determinadas a partir do sistema de equações:

Nós temos:

Que estes sejam pontos N(0; –1) e M(0; 1). Isso significa que podemos construir duas tangentes, vamos denotá-las T 1 e T 2. De acordo com a propriedade bem conhecida, uma tangente é perpendicular ao raio traçado até o ponto de contato.

Deixe então a equação tangente T 1 assumirá a forma:

Então, também T 1: É equivalente à equação