Avstand fra punkt til punkt, formler, eksempler, løsninger. Avstand mellom to punkter Avstand mellom punkter på en koordinatplanformel

La et rektangulært koordinatsystem gis.

Teorem 1.1. For to punkter M 1 (x 1; y 1) og M 2 (x 2; y 2) i planet, er avstanden d mellom dem uttrykt med formelen

Bevis. La oss slippe perpendikulærene M 1 B og M 2 A fra henholdsvis punktene M 1 og M 2

på Oy- og Ox-aksen og angi med K skjæringspunktet for linjene M 1 B og M 2 A (fig. 1.4). Følgende tilfeller er mulige:

1) Punktene M 1, M 2 og K er forskjellige. Det er klart at punktet K har koordinater (x 2;y 1). Det er lett å se at M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Fordi ∆M 1 KM 2 er rektangulær, da ved Pythagoras teoremet d = M 1 M 2 = = .

2) Punkt K faller sammen med punkt M 2, men er forskjellig fra punkt M 1 (Fig. 1.5). I dette tilfellet er y 2 = y 1

og d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Punkt K faller sammen med punkt M 1, men er forskjellig fra punkt M 2. I dette tilfellet x 2 = x 1 og d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Punkt M 2 faller sammen med punkt M 1. Da er x 1 = x 2, y 1 = y 2 og

d = M 1 M 2 = O = .

Inndeling av et segment i denne forbindelse.

La et vilkårlig segment M 1 M 2 gis på planet og la M ─ et hvilket som helst punkt av dette

segment forskjellig fra punkt M 2 (Fig. 1.6). Tallet l, definert av likheten l = , kalt holdning, ved hvilket punkt M deler segmentet M 1 M 2.

Teorem 1.2. Hvis et punkt M(x;y) deler segmentet M 1 M 2 i forhold til l, så bestemmes koordinatene til dette punktet av formlene

x = , y = , (4)

hvor (x 1;y 1) ─ koordinater til punkt M 1, (x 2; y 2) ─ koordinater til punkt M 2.

Bevis. La oss bevise den første av formler (4). Den andre formelen er bevist på lignende måte. Det er to mulige tilfeller.

x = x 1 = = = .

2) Rett linje M 1 M 2 er ikke vinkelrett på Ox-aksen (Fig. 1.6). La oss senke perpendikulærene fra punktene M 1, M, M 2 til Ox-aksen og angi punktene for deres skjæringspunkt med Ox-aksen som henholdsvis P 1, P, P 2. Ved teoremet om proporsjonale segmenter = l.

Fordi P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô og tallene (x – x 1) og (x 2 – x) har samme fortegn (ved x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 er negative), da

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Konsekvens 1.2.1. Hvis M 1 (x 1;y 1) og M 2 (x 2;y 2) er to vilkårlige punkter og punktet M(x;y) er midten av segmentet M 1 M 2, så

x = , y = (5)

Bevis. Siden M 1 M = M 2 M, så er l = 1 og ved å bruke formler (4) får vi formler (5).

Arealet av en trekant.

Teorem 1.3. For alle punktene A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) og C(x 3;y 3) som ikke ligger på samme

rett linje, arealet S av trekanten ABC uttrykkes med formelen

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Bevis. Område ∆ ABC vist i fig. 1,7, beregner vi som følger

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Vi beregner arealet av trapeser:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Nå har vi

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

For en annen plassering ∆ ABC, er formel (6) bevist på lignende måte, men det kan vise seg med et "-"-tegn. Derfor setter de i formel (6) modultegnet.

Forelesning 2.

Ligning av en rett linje på et plan: ligning av en rett linje med en hovedkoeffisient, generell ligning av en rett linje, ligning av en rett linje i segmenter, ligning av en rett linje som går gjennom to punkter. Vinkelen mellom rette linjer, betingelsene for parallellitet og perpendikularitet av rette linjer på et plan.

2.1. La et rektangulært koordinatsystem og noen linje L gis på planet.

Definisjon 2.1. En ligning av formen F(x;y) = 0, som forbinder variablene x og y, kalles linjeligning L(i et gitt koordinatsystem), hvis denne ligningen tilfredsstilles av koordinatene til et punkt som ligger på linjen L, og ikke av koordinatene til et punkt som ikke ligger på denne linjen.

Eksempler på likninger av linjer på et plan.

1) Betrakt en rett linje parallelt med Oy-aksen til det rektangulære koordinatsystemet (fig. 2.1). La oss betegne med bokstaven A skjæringspunktet for denne linjen med okseaksen, (a;o) ─ dens or-

dinats. Ligningen x = a er ligningen til den gitte linjen. Faktisk er denne ligningen tilfredsstilt av koordinatene til ethvert punkt M(a;y) på denne linjen og er ikke tilfredsstilt av koordinatene til noe punkt som ikke ligger på linjen. Hvis a = 0, så faller den rette linjen sammen med Oy-aksen, som har ligningen x = 0.

2) Ligningen x - y = 0 definerer settet med punkter i planet som utgjør halveringslinjene til I- og III-koordinatvinklene.

3) Ligningen x 2 - y 2 = 0 ─ er ligningen av to halveringslinjer med koordinatvinkler.

4) Ligningen x 2 + y 2 = 0 definerer et enkelt punkt O(0;0) på planet.

5) Ligning x 2 + y 2 = 25 ─ ligning av en sirkel med radius 5 med sentrum i origo.

Avstanden mellom to punkter på et plan.
Koordinatsystemer

Hvert punkt A i planet er karakterisert ved sine koordinater (x, y). De faller sammen med koordinatene til vektoren 0A, som kommer ut fra punkt 0 - opprinnelsen til koordinatene.

La A og B være vilkårlige punkter på planet med henholdsvis koordinater (x 1 y 1) og (x 2, y 2).

Da har vektoren AB åpenbart koordinater (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Det er kjent at kvadratet av lengden til en vektor er lik summen av kvadratene til dens koordinater. Derfor bestemmes avstanden d mellom punktene A og B, eller, hva som er den samme, lengden på vektoren AB, fra betingelsen

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Den resulterende formelen lar deg finne avstanden mellom to punkter på planet, hvis bare koordinatene til disse punktene er kjent

Hver gang vi snakker om koordinatene til et bestemt punkt på planet, mener vi et veldefinert koordinatsystem x0y. Generelt kan koordinatsystemet på et plan velges på forskjellige måter. Så, i stedet for x0y-koordinatsystemet, kan du vurdere x"0y"-koordinatsystemet, som oppnås ved å rotere de gamle koordinataksene rundt startpunktet 0 mot klokken piler på hjørnet α .

Hvis et bestemt punkt på planet i koordinatsystemet x0y hadde koordinater (x, y), vil det i det nye koordinatsystemet x"0y" ha forskjellige koordinater (x, y").

Som et eksempel kan du vurdere punkt M, som ligger på 0x-aksen og atskilt fra punkt 0 i en avstand på 1.

I x0y-koordinatsystemet har dette punktet åpenbart koordinater (cos α , synd α ), og i x"0y" koordinatsystemet er koordinatene (1,0).

Koordinatene til to punkter på plan A og B avhenger av hvordan koordinatsystemet er spesifisert i dette planet. Men avstanden mellom disse punktene avhenger ikke av metoden for å spesifisere koordinatsystemet. Vi vil gjøre betydelig bruk av denne viktige omstendigheten i neste avsnitt.

Øvelser

I. Finn avstandene mellom punktene i planet med koordinater:

1) (3.5) og (3.4); 3) (0,5) og (5,0); 5) (-3,4) og (9, -17);

2) (2, 1) og (- 5, 1); 4) (0, 7) og (3,3); 6) (8, 21) og (1, -3).

II. Finn omkretsen til en trekant hvis sider er gitt av ligningene:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 og y = 1.

III. I x0y-koordinatsystemet har punktene M og N henholdsvis koordinater (1, 0) og (0,1). Finn koordinatene til disse punktene i det nye koordinatsystemet, som fås ved å rotere de gamle aksene rundt startpunktet med en vinkel på 30° mot klokken.

IV. I x0y-koordinatsystemet har punktene M og N koordinater (2, 0) og (\ / 3/2, - 1/2) henholdsvis. Finn koordinatene til disse punktene i det nye koordinatsystemet, som fås ved å rotere de gamle aksene rundt startpunktet med en vinkel på 30° med klokken.

I denne artikkelen vil vi se på måter å bestemme avstanden fra punkt til punkt teoretisk og ved å bruke eksempelet på spesifikke oppgaver. Til å begynne med, la oss introdusere noen definisjoner.

Definisjon 1

Avstand mellom punktene er lengden på segmentet som forbinder dem, på den eksisterende skalaen. Det er nødvendig å sette en skala for å ha en lengdeenhet for måling. Derfor løses i utgangspunktet problemet med å finne avstanden mellom punktene ved å bruke deres koordinater på en koordinatlinje, i et koordinatplan eller tredimensjonalt rom.

Startdata: koordinatlinje O x og et vilkårlig punkt A som ligger på den. Ethvert punkt på linjen har ett reelt tall: la det være et bestemt tall for punkt A x A, det er også koordinaten til punkt A.

Generelt kan vi si at lengden på et bestemt segment vurderes i forhold til et segment tatt som en lengdeenhet på en gitt skala.

Hvis punkt A tilsvarer et heltall reelt tall, ved å legge av sekvensielt fra punkt O til punkt langs den rette linjen OA-segmenter - lengdeenheter, kan vi bestemme lengden på segmentet OA fra det totale antallet avsatte enhetssegmenter.

For eksempel tilsvarer punkt A tallet 3 - for å komme til det fra punkt O, må du legge av tre enhetssegmenter. Hvis punkt A har koordinat - 4, legges enhetssegmenter ut på lignende måte, men i en annen, negativ retning. Således, i det første tilfellet, er avstanden OA lik 3; i det andre tilfellet OA = 4.

Hvis punkt A har et rasjonelt tall som koordinat, plotter vi fra origo (punkt O) et heltall av enhetssegmenter, og deretter den nødvendige delen. Men geometrisk er det ikke alltid mulig å foreta en måling. For eksempel virker det vanskelig å plotte brøken 4 111 på koordinatlinjen.

Ved å bruke metoden ovenfor er det helt umulig å plotte et irrasjonelt tall på en rett linje. For eksempel når koordinaten til punkt A er 11. I dette tilfellet er det mulig å vende seg til abstraksjon: hvis den gitte koordinaten til punkt A er større enn null, så er O A = x A (tallet tas som avstanden); hvis koordinaten er mindre enn null, så er O A = - x A . Generelt er disse utsagnene sanne for ethvert reelt tall x A.

For å oppsummere: avstanden fra origo til punktet som tilsvarer et reelt tall på koordinatlinjen er lik:

• 0 hvis punktet sammenfaller med opprinnelsen;

• x A, hvis x A > 0;

• - x A hvis x A< 0 .

I dette tilfellet er det åpenbart at lengden på selve segmentet ikke kan være negativ, derfor, ved å bruke modultegnet, skriver vi avstanden fra punkt O til punkt A med koordinaten xA: O A = x A

Følgende utsagn vil være sann: avstanden fra ett punkt til et annet vil være lik modulen til koordinatforskjellen. De. for punkt A og B som ligger på samme koordinatlinje for et hvilket som helst sted og har tilsvarende koordinater xA Og x B: A B = x B - x A .

Startdata: punktene A og B som ligger på et plan i et rektangulært koordinatsystem O x y med gitte koordinater: A (x A, y A) og B (x B, y B).

La oss tegne perpendikulærer gjennom punktene A og B til koordinataksene O x og O y og oppnå projeksjonspunktene: A x, A y, B x, B y. Basert på plasseringen av punktene A og B, er følgende alternativer mulige:

Hvis punktene A og B faller sammen, er avstanden mellom dem null;

Hvis punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på O x-aksen (abscisse-aksen), så faller punktene sammen, og | A B | = | A y B y | . Siden avstanden mellom punktene er lik modulen til differansen til koordinatene deres, er Ay B y = y B - y A, og derfor A B = A y B y = y B - y A.

Hvis punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på O y-aksen (ordinataksen) - analogt med forrige avsnitt: A B = A x B x = x B - x A

Hvis punktene A og B ikke ligger på en rett linje vinkelrett på en av koordinataksene, finner vi avstanden mellom dem ved å utlede beregningsformelen:

Vi ser at trekanten A B C er rektangulær i konstruksjonen. I dette tilfellet er A C = A x B x og B C = A y B y. Ved hjelp av Pythagoras teoremet lager vi likheten: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , og transformerer den deretter: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

La oss trekke en konklusjon fra det oppnådde resultatet: avstanden fra punkt A til punkt B på planet bestemmes ved beregning ved hjelp av formelen ved å bruke koordinatene til disse punktene

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Den resulterende formelen bekrefter også tidligere dannede utsagn for tilfeller av sammenfall av punkter eller situasjoner når punkter ligger på rette linjer vinkelrett på aksene. Så hvis punktene A og B faller sammen, vil følgende likhet være sann: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

For en situasjon der punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på x-aksen:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

For tilfellet når punktene A og B ligger på en rett linje vinkelrett på ordinataksen:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Startdata: et rektangulært koordinatsystem O x y z med vilkårlige punkter liggende på det med gitte koordinater A (x A, y A, z A) og B (x B, y B, z B). Det er nødvendig å bestemme avstanden mellom disse punktene.

La oss vurdere det generelle tilfellet når punktene A og B ikke ligger i et plan parallelt med et av koordinatplanene. La oss tegne plan vinkelrett på koordinataksene gjennom punktene A og B og få de tilsvarende projeksjonspunktene: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Avstanden mellom punktene A og B er diagonalen til det resulterende parallellepipedet. I henhold til konstruksjonen av målingene til dette parallellepipedet: A x B x , A y B y og A z B z

Fra geometrikurset vet vi at kvadratet på diagonalen til et parallellepiped er lik summen av kvadratene av dets dimensjoner. Basert på dette utsagnet får vi likheten: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Ved å bruke konklusjonene vi har fått tidligere, skriver vi følgende:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

La oss transformere uttrykket:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Endelig formel for å bestemme avstanden mellom punkter i rommet vil se slik ut:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Den resulterende formelen er også gyldig for tilfeller der:

Poengene er sammenfallende;

De ligger på en koordinatakse eller en rett linje parallelt med en av koordinataksene.

Eksempler på å løse problemer med å finne avstanden mellom punktene

Eksempel 1

Startdata: en koordinatlinje og punkter som ligger på den med gitte koordinater A (1 - 2) og B (11 + 2) er gitt. Det er nødvendig å finne avstanden fra opprinnelsespunktet O til punkt A og mellom punktene A og B.

Løsning

1. Avstanden fra referansepunktet til punktet er lik modulen til koordinaten til dette punktet, henholdsvis OA = 1 - 2 = 2 - 1
2. Vi definerer avstanden mellom punktene A og B som modulen til differansen mellom koordinatene til disse punktene: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Svar: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Eksempel 2

Startdata: et rektangulært koordinatsystem og to punkter som ligger på det A (1, - 1) og B (λ + 1, 3) er gitt. λ er et reelt tall. Det er nødvendig å finne alle verdiene til dette tallet der avstanden A B vil være lik 5.

Løsning

For å finne avstanden mellom punktene A og B må du bruke formelen A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Ved å erstatte de reelle koordinatverdiene får vi: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Vi bruker også den eksisterende betingelsen at A B = 5 og da vil likheten være sann:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Svar: A B = 5 hvis λ = ± 3.

Eksempel 3

Innledende data: et tredimensjonalt rom er spesifisert i det rektangulære koordinatsystemet O x y z og punktene A (1, 2, 3) og B - 7, - 2, 4 som ligger i det.

Løsning

For å løse oppgaven bruker vi formelen A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Ved å erstatte reelle verdier får vi: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Svar: | A B | = 9

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Det vil være en kalkulator her

Avstand mellom to punkter på en linje

Tenk på en koordinatlinje der 2 punkter er merket: A A EN Og B B B. For å finne avstanden mellom disse punktene, må du finne lengden på segmentet A B AB A B. Dette gjøres ved å bruke følgende formel:

Avstand mellom to punkter på en linje

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

Hvor a, b a, b a, b- koordinater til disse punktene på en rett linje (koordinatlinje).

På grunn av det faktum at formelen inneholder en modul, når du løser den, er det ikke viktig hvilken koordinat som skal trekkes fra (siden den absolutte verdien av denne forskjellen er tatt).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b −a∣

La oss se på et eksempel for bedre å forstå løsningen på slike problemer.

Eksempel 1

Punkter er markert på koordinatlinjen A A EN, hvis koordinat er lik 9 9 9 og periode B B B med koordinat − 1 -1 − 1 . Vi må finne avstanden mellom disse to punktene.

Løsning

Her a = 9, b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Vi bruker formelen og erstatter verdiene:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Svar

Avstand mellom to punkter på et plan

Tenk på to punkter gitt på et fly. Fra hvert punkt som er merket på planet, må du senke to perpendikulære: Til aksen O X OX O X og på akselen Å Å Å OY. Da vurderes trekanten A B C ABC A B C. Siden den er rektangulær ( B C BC B C vinkelrett A C AC A C), og finn deretter segmentet A B AB A B, som også er avstanden mellom punktene, kan gjøres ved hjelp av Pythagoras setning. Vi har:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2EN B 2 = EN C 2 + B C 2

Men, basert på det faktum at lengden A C AC A C lik x B − x A x_B-x_A x B​ − x EN​ , og lengden B C BC B C lik y B − y A y_B-y_A y B​ − y EN​ , kan denne formelen skrives om som følger:

Avstand mellom to punkter på et plan

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x EN​ ) 2 + (y B​ − y EN​ ) 2 ​ ,

Hvor x A , y A x_A, y_A x EN​ , y EN​ Og x B , y B x_B, y_B x B​ , y B​ - koordinater av punkter A A EN Og B B B hhv.

Eksempel 2

Det er nødvendig å finne avstanden mellom punktene C C C Og F F F, hvis koordinatene til den første (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , og andre - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Løsning

X C = 8 x_C = 8 x C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Svar

Avstand mellom to punkter i rommet

Å finne avstanden mellom to punkter i dette tilfellet er lik det forrige, bortsett fra at koordinatene til punktet i rommet er spesifisert med tre tall tilsvarende, må koordinaten til den aktuelle aksen også legges til formelen. Formelen vil se slik ut:

Avstand mellom to punkter i rommet

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x EN​ ) 2 + (y B​ − y EN​ ) 2 + (z B​ − zEN​ ) 2 ​

Eksempel 3

Finn lengden på segmentet FK FKFK i rommet hvis koordinatene til punktene i endene er som følger: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Og (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Avrund svaret til nærmeste hele tall.

Løsning

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3;\; 6;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

I henhold til betingelsene for problemet, må vi runde svaret til et helt tall.

Å beregne avstander mellom punkter basert på deres koordinater på et plan er elementært på jordoverflaten, det er litt mer komplisert: vi vil vurdere å måle avstanden og innledende asimut mellom punkter uten projeksjonstransformasjoner. Først, la oss forstå terminologien.

Introduksjon

Stor sirkelbuelengde– den korteste avstanden mellom to punkter som befinner seg på overflaten av en kule, målt langs linjen som forbinder disse to punktene (en slik linje kalles ortodromi) og passerer langs overflaten av kulen eller annen omdreiningsflate. Sfærisk geometri er forskjellig fra normal euklidisk geometri og avstandsligningene har også en annen form. I euklidisk geometri er den korteste avstanden mellom to punkter en rett linje. På en kule er det ingen rette linjer. Disse linjene på sfæren er en del av store sirkler - sirkler hvis senter sammenfaller med sfærens sentrum. Innledende asimut- asimut, tar som når man begynner å bevege seg fra punkt A, etter storsirkelen for den korteste avstanden til punkt B, vil endepunktet være punkt B. Når man beveger seg fra punkt A til punkt B langs storsirkellinjen, vil asimuten fra den nåværende posisjonen til endepunktet B er konstant, endres. Den innledende asimuten er forskjellig fra en konstant, hvoretter asimuten fra det nåværende punktet til det siste punktet ikke endres, men ruten som følges er ikke den korteste avstanden mellom to punkter.

Gjennom to punkter på overflaten av en kule, hvis de ikke er direkte motsatte av hverandre (det vil si at de ikke er antipoder), kan en unik storsirkel tegnes. To punkter deler en stor sirkel i to buer. Lengden på en kort bue er den korteste avstanden mellom to punkter. Et uendelig antall store sirkler kan tegnes mellom to antipodale punkter, men avstanden mellom dem vil være den samme på en hvilken som helst sirkel og lik halve omkretsen av sirkelen, eller π*R, der R er radiusen til kulen.

På et plan (i et rektangulært koordinatsystem) representerer store sirkler og deres fragmenter, som nevnt ovenfor, buer i alle projeksjoner bortsett fra den gnomoniske, der store sirkler er rette linjer. I praksis betyr dette at fly og annen lufttransport alltid bruker ruten til minimumsavstanden mellom punktene for å spare drivstoff, det vil si at flyturen gjennomføres langs en stor sirkelavstand, på et fly ser det ut som en bue.

Jordens form kan beskrives som en kule, så storsirkelavstandsligninger er viktige for å beregne korteste avstand mellom punkter på jordoverflaten og brukes ofte i navigasjon. Å beregne avstand med denne metoden er mer effektiv og i mange tilfeller mer nøyaktig enn å beregne den for projiserte koordinater (i rektangulære koordinatsystemer), siden det for det første ikke krever konvertering av geografiske koordinater til et rektangulært koordinatsystem (utfør projeksjonstransformasjoner) og For det andre kan mange projeksjoner, hvis de er valgt feil, føre til betydelige lengdeforvrengninger på grunn av arten av projeksjonsforvrengninger. Det er kjent at det ikke er en kule, men en ellipsoide som beskriver jordens form mer nøyaktig, men denne artikkelen diskuterer beregningen av avstander spesifikt på en kule, en kule med en radius på 6.372.795 meter , noe som kan føre til en feil ved beregning av avstander i størrelsesorden 0,5 %.

Formler

Det er tre måter å beregne storsirkelens sfæriske avstand på. 1. Sfærisk cosinus-teorem Ved små avstander og liten beregningsdybde (antall desimaler) kan bruk av formelen føre til betydelige avrundingsfeil. φ1, λ1; φ2, λ2 - breddegrad og lengdegrad av to punkter i radianer Δλ - forskjell i koordinater i lengdegrad Δδ - vinkelforskjell Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) For å konvertere vinkelavstanden må du konvertere vinkelavstanden multipliser vinkelforskjellen med jordens radius (6372795 meter), vil enhetene for den endelige avstanden være lik enhetene som radiusen er uttrykt i (i dette tilfellet meter). 2. Haversine formel Brukes for å unngå problemer med korte avstander. 3. Modifikasjon for antipodene Den forrige formelen er også underlagt problemet med antipodale punkter for å løse det, følgende modifikasjon brukes.

Min implementering på PHP

// Jordradius define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Avstand mellom to punkter * $φA, $λA - breddegrad, lengdegrad av 1. punkt, * $φB, $λB - breddegrad, lengdegrad av 2. punkt * Skrevet basert på http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Mikhail Kobzarev< >* */ funksjon calculateTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // konverter koordinater til radianer $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // cosinus og lengdegrader $cl1 = $sl2 = sin($lat2); long1; $cdelta = cos($sdelta = sin($delta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cdelta; = 77,1539; $lang1 = -139.398; $lat2 = -77,1804; $lang2 = -139,55; echo calculateTheDistance($lat1, $lang1, $lat2, $lang2) . "meter"; // Returner "17166029 meter"

Artikkel hentet fra siden