Y under roten. X-roten av x er lik. Graf for funksjonen y=√x
Kvadratrot som en elementær funksjon.
Kvadratrot er en elementær funksjon og et spesialtilfelle av en potensfunksjon for . Den aritmetiske kvadratroten er jevn ved , og ved null er den rett kontinuerlig, men ikke differensierbar.
Som en funksjon er en kompleks variabelrot en funksjon med to verdier hvis blader konvergerer til null.
Tegne kvadratrotfunksjonen.
- Fylle ut datatabellen:
|
X |
||||
|
på |
2. Vi plotter punktene som vi fikk på koordinatplanet.
3. Koble disse punktene og få en graf av kvadratrotfunksjonen:
Transformere grafen til en kvadratrotfunksjon.
La oss bestemme hvilke funksjonstransformasjoner som må gjøres for å konstruere funksjonsgrafer. La oss definere typer transformasjoner.
|
Konverteringstype |
Omdannelse |
|
|
Overføre en funksjon langs en akse OY for 4 enheter opp. |
||
|
innvendig |
Overføre en funksjon langs en akse OKSE for 1 enhet til høyre. |
|
|
innvendig |
Grafen nærmer seg aksen OY 3 ganger og komprimerer langs aksen ÅH. |
|
|
Grafen beveger seg bort fra aksen OKSE OY. |
||
|
innvendig |
Grafen beveger seg bort fra aksen OY 2 ganger og strukket langs aksen ÅH. |
Ofte kombineres funksjonstransformasjoner.
For eksempel, må du plotte funksjonen 
. Dette er en kvadratrotgraf som må flyttes én enhet nedover aksen OY og en enhet til høyre langs aksen ÅH og samtidig strekke den 3 ganger langs aksen OY.
Det hender at rett før du konstruerer en graf av en funksjon, er det nødvendig med foreløpige identitetstransformasjoner eller forenklinger av funksjoner.
Leksjon og presentasjon om temaet: "Graf av kvadratrotfunksjonen. Definisjonsdomene og grafens konstruksjon"
Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.
Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 8. klasse
Elektronisk lærebok for læreboken av Mordkovich A.G.
Elektronisk algebra arbeidsbok for 8. klasse
Graf av kvadratrotfunksjonen
Gutter, vi har allerede møtt med å konstruere grafer over funksjoner, og mer enn en gang. Vi konstruerte mange lineære funksjoner og parabler. Generelt er det praktisk å skrive hvilken som helst funksjon som $y=f(x)$. Dette er en ligning med to variabler - for hver verdi av x får vi y. Etter å ha utført en gitt operasjon f, kartlegger vi settet av alle mulige x til settet y. Vi kan skrive nesten hvilken som helst matematisk operasjon som en funksjon f.Vanligvis, når vi plotter funksjoner, bruker vi en tabell der vi registrerer verdiene til x og y. For eksempel, for funksjonen $y=5x^2$ er det praktisk å bruke følgende tabell: Merk de resulterende punktene på det kartesiske koordinatsystemet og koble dem forsiktig med en jevn kurve. Vår funksjon er ikke begrenset. Bare med disse punktene kan vi erstatte absolutt hvilken som helst verdi x fra det gitte definisjonsdomenet, det vil si de x som uttrykket gir mening for.
I en av de forrige leksjonene lærte vi en ny operasjon for å trekke ut kvadratroten. Spørsmålet oppstår: kan vi, ved å bruke denne operasjonen, definere en funksjon og bygge dens graf? La oss bruke den generelle formen for funksjonen $y=f(x)$. La oss la y og x stå på plass, og i stedet for f introduserer vi kvadratrotoperasjonen: $y=\sqrt(x)$.
Når vi kjenner den matematiske operasjonen, var vi i stand til å definere funksjonen.
Tegne kvadratrotfunksjonen
La oss tegne grafen for denne funksjonen. Basert på definisjonen av kvadratroten, kan vi beregne den bare fra ikke-negative tall, det vil si $x≥0$.La oss lage en tabell:
La oss markere punktene våre på koordinatplanet.
Alt vi trenger å gjøre er å nøye koble de resulterende prikkene.
Gutter, vær oppmerksom: hvis grafen til funksjonen vår er snudd på siden, får vi venstre gren av en parabel. Faktisk, hvis linjene i verditabellen byttes (topplinjen med bunnen), får vi verdier bare for parabelen.
Domene til funksjonen $y=\sqrt(x)$
Ved å bruke grafen til en funksjon er det ganske enkelt å beskrive egenskapene.1. Definisjonsomfang: $$.
b) $$.
Løsning.
Vi kan løse vårt eksempel på to måter. I hvert brev vil vi beskrive ulike metoder.
A) La oss gå tilbake til grafen for funksjonen konstruert ovenfor og markere de nødvendige punktene til segmentet. Det er tydelig at for $x=9$ er funksjonen større enn alle andre verdier. Dette betyr at den når sin største verdi på dette tidspunktet. Når $x=4$ er verdien av funksjonen lavere enn alle andre punkter, noe som betyr at dette er den minste verdien.
$y_(most)=\sqrt(9)=3$, $y_(most)=\sqrt(4)=2$.
B) Vi vet at funksjonen vår øker. Dette betyr at hver større argumentverdi tilsvarer en større funksjonsverdi. De høyeste og laveste verdiene oppnås i enden av segmentet:
$y_(most)=\sqrt(11)$, $y_(most)=\sqrt(2)$.
Eksempel 2.
Løs ligningen:
$\sqrt(x)=12-x$.
Løsning.
Den enkleste måten er å konstruere to grafer for en funksjon og finne deres skjæringspunkt.
Skjæringspunktet med koordinatene $(9;3)$ er godt synlig på grafen. Dette betyr at $x=9$ er løsningen på ligningen vår.
Svar: $x=9$.
Gutter, kan vi være sikre på at dette eksemplet ikke har flere løsninger? En av funksjonene øker, den andre reduseres. Generelt har de enten ikke felles punkter eller krysser bare ved ett.
Eksempel 3.
Konstruer og les grafen til funksjonen:
$\begin (cases) -x, x 9. \end (cases)$
Vi må konstruere tre delgrafer av funksjonen, hver på sitt eget intervall.
La oss beskrive egenskapene til funksjonen vår:
1. Definisjonsdomene: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ for $x=0$ og $x=12$; $у>0$ for $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Funksjonen avtar på intervallene $(-∞;0)U(9;+∞)$. Funksjonen øker med intervallet $(0;9)$.
4. Funksjonen er kontinuerlig over hele definisjonsdomenet.
5. Det er ingen maksimums- eller minimumsverdi.
6. Verdiområde: $(-∞;+∞)$.
Problemer å løse selvstendig
1. Finn den største og minste verdien av kvadratrotfunksjonen på segmentet:a) $$;
b) $$.
2. Løs ligningen: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Konstruer og les grafen til funksjonen: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Konstruer og les grafen til funksjonen: $y=\sqrt(-x)$.
Grunnleggende mål:
1) danne en idé om gjennomførbarheten av en generalisert studie av avhengighetene til reelle mengder ved å bruke eksemplet på mengder relatert til forholdet y=
2) å utvikle evnen til å konstruere en graf y= og dens egenskaper;
3) gjenta og konsolidere teknikkene for muntlige og skriftlige beregninger, kvadrere, trekke ut kvadratrøtter.
Utstyr, demonstrasjonsmateriell: utdelingsark.
1. Algoritme:
2. Eksempel for å fullføre oppgaven i grupper:
3. Prøve for selvtest av selvstendig arbeid:
4. Kort for refleksjonsstadiet:
1) Jeg forsto hvordan jeg skulle tegne funksjonen y=.
2) Jeg kan liste opp egenskapene ved hjelp av en graf.
3) Jeg gjorde ikke feil i selvstendig arbeid.
4) Jeg gjorde feil i mitt selvstendige arbeid (liste disse feilene og angi årsaken).
I løpet av timene
1. Selvbestemmelse for pedagogisk virksomhet
Hensikten med scenen:
1) inkludere studenter i pedagogiske aktiviteter;
2) bestemme innholdet i leksjonen: vi fortsetter å jobbe med reelle tall.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 1:
– Hva studerte vi i forrige leksjon? (Vi studerte settet med reelle tall, operasjoner med dem, bygde en algoritme for å beskrive egenskapene til en funksjon, gjentatte funksjoner studert i 7. klasse).
– I dag skal vi fortsette å jobbe med et sett med reelle tall, en funksjon.
2. Oppdatering av kunnskap og registrering av vansker i aktiviteter
Hensikten med scenen:
1) oppdatere pedagogisk innhold som er nødvendig og tilstrekkelig for oppfatningen av nytt materiale: funksjon, uavhengig variabel, avhengig variabel, grafer
y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,
2) oppdatere mentale operasjoner nødvendig og tilstrekkelig for oppfatningen av nytt materiale: sammenligning, analyse, generalisering;
3) registrere alle gjentatte konsepter og algoritmer i form av diagrammer og symboler;
4) registrere en individuell aktivitetsvanskelighet, og demonstrere på et personlig betydelig nivå mangelen på eksisterende kunnskap.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 2:
1. La oss huske hvordan du kan sette avhengigheter mellom mengder? (Bruk tekst, formel, tabell, graf)
2. Hva kalles en funksjon? (Et forhold mellom to størrelser, der hver verdi av en variabel tilsvarer en enkelt verdi av en annen variabel y = f(x)).
Hva er navnet på x? (Uavhengig variabel - argument)
Hva er navnet på y? (Avhengig variabel).
3. I 7. klasse studerte vi funksjoner? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,).
Individuell oppgave:
Hva er grafen til funksjonene y = kx + m, y =x 2, y =?
3. Identifisere årsaker til vanskeligheter og sette mål for aktiviteter
Hensikten med scenen:
1) organisere kommunikativ interaksjon, der den særegne egenskapen til oppgaven som forårsaket vanskeligheter med læringsaktiviteter identifiseres og registreres;
2) bli enige om formålet og temaet for timen.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 3:
-Hva er spesielt med denne oppgaven? (Avhengigheten er gitt av formelen y = som vi ennå ikke har møtt.)
– Hva er hensikten med leksjonen? (Gjør deg kjent med funksjonen y =, dens egenskaper og graf. Bruk funksjonen i tabellen for å bestemme typen avhengighet, bygg en formel og graf.)
– Kan du formulere temaet for leksjonen? (Funksjonen y=, dens egenskaper og graf).
– Skriv emnet i notatboken.
4. Konstruksjon av et prosjekt for å komme ut av en vanskelighet
Hensikten med scenen:
1) organisere kommunikativ interaksjon for å bygge en ny handlingsmetode som eliminerer årsaken til den identifiserte vanskeligheten;
2) fikse en ny handlingsmetode i symbolsk, verbal form og ved hjelp av en standard.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 4:
Arbeidet på dette stadiet kan organiseres i grupper, og be gruppene om å konstruere en graf y =, og deretter analysere resultatene. Grupper kan også bli bedt om å beskrive egenskapene til en gitt funksjon ved hjelp av en algoritme.
5. Primær konsolidering i ytre tale
Hensikten med scenen: å registrere det studerte pedagogiske innholdet i ekstern tale.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 5:
Konstruer en graf av y= - og beskriv dens egenskaper.
Egenskaper y= - .
1. Definisjonsdomene for en funksjon.
2. Verdiområde for funksjonen.
3. y = 0, y> 0, y<0.
y = 0 hvis x = 0.
y<0, если х(0;+)
4. Økende, reduserende funksjoner.
Funksjonen reduseres som x.
La oss bygge en graf av y=.
La oss velge dens del på segmentet. Merk at vi har = 1 for x = 1, og y maks. =3 ved x = 9.
Svar: på vårt navn. = 1, ved maks. =3
6. Selvstendig arbeid med selvtest etter standarden
Hensikten med etappen: å teste din evne til å anvende nytt pedagogisk innhold i standardforhold basert på å sammenligne løsningen din med en standard for selvtest.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 6:
Elevene fullfører oppgaven selvstendig, gjennomfører en selvtest mot standarden, analyserer og retter feil.
La oss bygge en graf av y=.
Bruk en graf, finn de minste og største verdiene av funksjonen på segmentet.
7. Inkludering i kunnskapssystemet og repetisjon
Hensikten med scenen: å trene ferdighetene til å bruke nytt innhold sammen med tidligere studert: 2) gjenta det pedagogiske innholdet som vil kreves i de neste leksjonene.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 7:
Løs ligningen grafisk: = x – 6.
En elev er ved tavlen, resten er i notatbøker.
8. Refleksjon av aktivitet
Hensikten med scenen:
1) registrere nytt innhold lært i leksjonen;
2) evaluer dine egne aktiviteter i leksjonen;
3) takke klassekamerater som hjalp til med å få resultatet av leksjonen;
4) registrere uløste vanskeligheter som retninger for fremtidige pedagogiske aktiviteter;
5) diskuter og skriv ned leksene dine.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 8:
– Gutter, hva var målet vårt i dag? (Studer funksjonen y=, dens egenskaper og graf).
– Hvilken kunnskap hjalp oss med å nå målet? (Mulighet til å se etter mønstre, evne til å lese grafer.)
– Analyser aktivitetene dine i klassen. (Kort med refleksjon)
Hjemmelekser
avsnitt 13 (før eksempel 2) № 13.3, 13.4
Løs ligningen grafisk.
Så du etter x-roten av x er lik? . En detaljert løsning med beskrivelse og forklaringer vil hjelpe deg med å håndtere selv det mest komplekse problemet, og x er roten til y, intet unntak. Vi hjelper deg med å forberede deg til lekser, prøver, olympiader, samt for å gå inn på et universitet. Og uansett hvilket eksempel, uansett hvilket matematikkspørsmål du skriver inn, har vi allerede en løsning. For eksempel, "x er roten av x lik."
Bruken av ulike matematiske problemer, kalkulatorer, ligninger og funksjoner er utbredt i våre liv. De brukes i mange beregninger, konstruksjon av strukturer og til og med sport. Mennesket har brukt matematikk siden antikken og siden har bruken bare økt. Men nå står ikke vitenskapen stille, og vi kan nyte fruktene av aktiviteten, for eksempel en online kalkulator som kan løse problemer som x roten av x er lik, x roten av y, roten av x, roten av x er lik x, roten av x er lik x, roten av x er lik x, funksjon y er roten av minus x, funksjon y minus roten av x, x er roten av y, x er roten av x er lik. På denne siden finner du en kalkulator som hjelper deg med å løse ethvert spørsmål, inkludert x roten av x er lik. (for eksempel roten av x).
Hvor kan du løse ethvert problem i matematikk, så vel som x roten av x er lik Online?
Du kan løse problemet x roten av x er lik på vår nettside. Den gratis online-løseren lar deg løse et online-problem av enhver kompleksitet i løpet av sekunder. Alt du trenger å gjøre er å legge inn dataene dine i løseren. Du kan også se videoinstruksjonene og lære hvordan du legger inn oppgaven på riktig måte på nettstedet vårt. Og har du fortsatt spørsmål, kan du stille dem i chatten nederst til venstre på kalkulatorsiden.
Grunnleggende mål:
1) danne en idé om gjennomførbarheten av en generalisert studie av avhengighetene til reelle mengder ved å bruke eksemplet på mengder relatert til forholdet y=
2) å utvikle evnen til å konstruere en graf y= og dens egenskaper;
3) gjenta og konsolidere teknikkene for muntlige og skriftlige beregninger, kvadrere, trekke ut kvadratrøtter.
Utstyr, demonstrasjonsmateriell: utdelingsark.
1. Algoritme:
2. Eksempel for å fullføre oppgaven i grupper:
3. Prøve for selvtest av selvstendig arbeid:
4. Kort for refleksjonsstadiet:
1) Jeg forsto hvordan jeg skulle tegne funksjonen y=.
2) Jeg kan liste opp egenskapene ved hjelp av en graf.
3) Jeg gjorde ikke feil i selvstendig arbeid.
4) Jeg gjorde feil i mitt selvstendige arbeid (liste disse feilene og angi årsaken).
I løpet av timene
1. Selvbestemmelse for pedagogisk virksomhet
Hensikten med scenen:
1) inkludere studenter i pedagogiske aktiviteter;
2) bestemme innholdet i leksjonen: vi fortsetter å jobbe med reelle tall.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 1:
– Hva studerte vi i forrige leksjon? (Vi studerte settet med reelle tall, operasjoner med dem, bygde en algoritme for å beskrive egenskapene til en funksjon, gjentatte funksjoner studert i 7. klasse).
– I dag skal vi fortsette å jobbe med et sett med reelle tall, en funksjon.
2. Oppdatering av kunnskap og registrering av vansker i aktiviteter
Hensikten med scenen:
1) oppdatere pedagogisk innhold som er nødvendig og tilstrekkelig for oppfatningen av nytt materiale: funksjon, uavhengig variabel, avhengig variabel, grafer
y = kx + m, y = kx, y =c, y =x 2, y = - x 2,
2) oppdatere mentale operasjoner nødvendig og tilstrekkelig for oppfatningen av nytt materiale: sammenligning, analyse, generalisering;
3) registrere alle gjentatte konsepter og algoritmer i form av diagrammer og symboler;
4) registrere en individuell aktivitetsvanskelighet, og demonstrere på et personlig betydelig nivå mangelen på eksisterende kunnskap.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 2:
1. La oss huske hvordan du kan sette avhengigheter mellom mengder? (Bruk tekst, formel, tabell, graf)
2. Hva kalles en funksjon? (Et forhold mellom to størrelser, der hver verdi av en variabel tilsvarer en enkelt verdi av en annen variabel y = f(x)).
Hva er navnet på x? (Uavhengig variabel - argument)
Hva er navnet på y? (Avhengig variabel).
3. I 7. klasse studerte vi funksjoner? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,).
Individuell oppgave:
Hva er grafen til funksjonene y = kx + m, y =x 2, y =?
3. Identifisere årsaker til vanskeligheter og sette mål for aktiviteter
Hensikten med scenen:
1) organisere kommunikativ interaksjon, der den særegne egenskapen til oppgaven som forårsaket vanskeligheter med læringsaktiviteter identifiseres og registreres;
2) bli enige om formålet og temaet for timen.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 3:
-Hva er spesielt med denne oppgaven? (Avhengigheten er gitt av formelen y = som vi ennå ikke har møtt.)
– Hva er hensikten med leksjonen? (Gjør deg kjent med funksjonen y =, dens egenskaper og graf. Bruk funksjonen i tabellen for å bestemme typen avhengighet, bygg en formel og graf.)
– Kan du formulere temaet for leksjonen? (Funksjonen y=, dens egenskaper og graf).
– Skriv emnet i notatboken.
4. Konstruksjon av et prosjekt for å komme ut av en vanskelighet
Hensikten med scenen:
1) organisere kommunikativ interaksjon for å bygge en ny handlingsmetode som eliminerer årsaken til den identifiserte vanskeligheten;
2) fikse en ny handlingsmetode i symbolsk, verbal form og ved hjelp av en standard.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 4:
Arbeidet på dette stadiet kan organiseres i grupper, og be gruppene om å konstruere en graf y =, og deretter analysere resultatene. Grupper kan også bli bedt om å beskrive egenskapene til en gitt funksjon ved hjelp av en algoritme.
5. Primær konsolidering i ytre tale
Hensikten med scenen: å registrere det studerte pedagogiske innholdet i ekstern tale.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 5:
Konstruer en graf av y= - og beskriv dens egenskaper.
Egenskaper y= - .
1. Definisjonsdomene for en funksjon.
2. Verdiområde for funksjonen.
3. y = 0, y> 0, y<0.
y = 0 hvis x = 0.
y<0, если х(0;+)
4. Økende, reduserende funksjoner.
Funksjonen reduseres som x.
La oss bygge en graf av y=.
La oss velge dens del på segmentet. Merk at vi har = 1 for x = 1, og y maks. =3 ved x = 9.
Svar: på vårt navn. = 1, ved maks. =3
6. Selvstendig arbeid med selvtest etter standarden
Hensikten med etappen: å teste din evne til å anvende nytt pedagogisk innhold i standardforhold basert på å sammenligne løsningen din med en standard for selvtest.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 6:
Elevene fullfører oppgaven selvstendig, gjennomfører en selvtest mot standarden, analyserer og retter feil.
La oss bygge en graf av y=.
Bruk en graf, finn de minste og største verdiene av funksjonen på segmentet.
7. Inkludering i kunnskapssystemet og repetisjon
Hensikten med scenen: å trene ferdighetene til å bruke nytt innhold sammen med tidligere studert: 2) gjenta det pedagogiske innholdet som vil kreves i de neste leksjonene.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 7:
Løs ligningen grafisk: = x – 6.
En elev er ved tavlen, resten er i notatbøker.
8. Refleksjon av aktivitet
Hensikten med scenen:
1) registrere nytt innhold lært i leksjonen;
2) evaluer dine egne aktiviteter i leksjonen;
3) takke klassekamerater som hjalp til med å få resultatet av leksjonen;
4) registrere uløste vanskeligheter som retninger for fremtidige pedagogiske aktiviteter;
5) diskuter og skriv ned leksene dine.
Organisering av utdanningsprosessen på trinn 8:
– Gutter, hva var målet vårt i dag? (Studer funksjonen y=, dens egenskaper og graf).
– Hvilken kunnskap hjalp oss med å nå målet? (Mulighet til å se etter mønstre, evne til å lese grafer.)
– Analyser aktivitetene dine i klassen. (Kort med refleksjon)
Hjemmelekser
avsnitt 13 (før eksempel 2) № 13.3, 13.4
Løs ligningen grafisk.
