Nuqtadan nuqtaga masofa, formulalar, misollar, yechimlar. Ikki nuqta orasidagi masofa Koordinata tekisligi formulasidagi nuqtalar orasidagi masofa

To'g'ri to'rtburchak koordinatalar tizimi berilgan bo'lsin.

1.1 teorema. Tekislikning har qanday ikkita M 1 (x 1;y 1) va M 2 (x 2;y 2) nuqtalari uchun ular orasidagi d masofa formula bilan ifodalanadi.

Isbot. M 1 va M 2 nuqtalardan mos ravishda M 1 B va M 2 A perpendikulyarlarni tushiramiz.

Oy va Ox o'qida va M 1 B va M 2 A chiziqlarning kesishish nuqtasini K bilan belgilaymiz (1.4-rasm). Quyidagi holatlar mumkin:

1) M 1, M 2 va K nuqtalari boshqacha. Shubhasiz, K nuqta koordinatalariga ega (x 2;y 1). M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôu 2 – y 1 ô ekanligini ko‘rish oson. Chunki ∆M 1 KM 2 to'rtburchak, u holda Pifagor teoremasi bo'yicha d = M 1 M 2 = = .

2) K nuqta M 2 nuqtaga to'g'ri keladi, lekin M 1 nuqtadan farq qiladi (1.5-rasm). Bu holda y 2 = y 1

va d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) K nuqta M 1 nuqtaga to'g'ri keladi, lekin M 2 nuqtadan farq qiladi. Bu holda x 2 = x 1 va d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôu 2 - y 1 ô= = .

4) M 2 nuqta M 1 nuqtaga to‘g‘ri keladi. Keyin x 1 = x 2, y 1 = y 2 va

d = M 1 M 2 = O =.

Shu munosabat bilan segmentning bo'linishi.

Tekislikda ixtiyoriy M 1 M 2 kesma berilsin va uning istalgan nuqtasi M ─ bo'lsin.

M 2 nuqtadan farqli bo'lgan segment (1.6-rasm). l = tengligi bilan aniqlangan l soni , chaqirildi munosabat, bu nuqtada M M 1 M 2 segmentni ajratadi.

1.2 teorema. Agar M(x;y) nuqta M 1 M 2 segmentni l ga nisbatan ajratsa, bu nuqtaning koordinatalari formulalar bilan aniqlanadi.

x = , y = , (4)

Bu yerda (x 1;y 1) ─ M 1 nuqtaning koordinatalari, (x 2;y 2) ─ M 2 nuqtaning koordinatalari.

Isbot.(4) formulalarning birinchisini isbotlaymiz. Ikkinchi formula ham xuddi shunday tarzda isbotlangan. Ikkita mumkin bo'lgan holatlar mavjud.

x = x 1 = = = .

2) M 1 M 2 to'g'ri chiziq Ox o'qiga perpendikulyar emas (1.6-rasm). M 1, M, M 2 nuqtalardan Ox o'qiga perpendikulyarlarni tushiramiz va ularning Ox o'qi bilan kesishish nuqtalarini mos ravishda P 1, P, P 2 deb belgilaymiz. Proportsional segmentlar teoremasi bo'yicha = l.

Chunki P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô va (x – x 1) va (x 2 – x) raqamlari bir xil belgiga ega (x 1 da)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 manfiy), keyin

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Xulosa 1.2.1. Agar M 1 (x 1;y 1) va M 2 (x 2;y 2) ikkita ixtiyoriy nuqta va M(x;y) nuqta M 1 M 2 kesmaning o‘rtasi bo‘lsa, u holda

x = , y = (5)

Isbot. M 1 M = M 2 M bo'lgani uchun l = 1 va formulalar (4) yordamida biz (5) formulalarni olamiz.

Uchburchakning maydoni.

1.3 teorema. Bir xilda yotmaydigan har qanday A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) va C(x 3;y 3) nuqtalar uchun

to'g'ri chiziq, ABC uchburchakning S maydoni formula bilan ifodalanadi

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Isbot. Maydon ∆ ABC rasmda ko'rsatilgan. 1.7, biz quyidagi tarzda hisoblaymiz

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD.

Biz trapezoidlarning maydonini hisoblaymiz:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Endi bizda bor

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Boshqa ∆ ABC joylashuvi uchun formula (6) xuddi shunday tarzda isbotlangan, ammo u “-” belgisi bilan chiqishi mumkin. Shuning uchun (6) formulada ular modul belgisini qo'yadilar.

2-ma'ruza.

Tekislikdagi toʻgʻri chiziq tenglamasi: bosh koeffitsientli toʻgʻri chiziq tenglamasi, toʻgʻri chiziqning umumiy tenglamasi, segmentlardagi toʻgʻri chiziq tenglamasi, ikki nuqtadan oʻtuvchi toʻgʻri chiziq tenglamasi. To'g'ri chiziqlar orasidagi burchak, tekislikdagi to'g'ri chiziqlarning parallellik va perpendikulyarlik shartlari.

2.1. To'g'ri to'rtburchak koordinatalar sistemasi va tekislikda qandaydir L chiziq berilgan bo'lsin.

Ta'rif 2.1. X va y o‘zgaruvchilarni bog‘lovchi F(x;y) = 0 ko‘rinishdagi tenglama deyiladi. chiziqli tenglama L(ma'lum koordinatalar sistemasida) agar bu tenglama L to'g'rida yotgan har qanday nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlansa, bu to'g'rida yotmagan nuqtaning koordinatalari bilan emas.

Tekislikdagi chiziqlar tenglamalariga misollar.

1) To'rtburchaklar koordinatalar sistemasining Oy o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziqni ko'rib chiqaylik (2.1-rasm). Bu chiziqning Ok o'qi bilan kesishgan nuqtasini A harfi bilan belgilaymiz, (a;o) ─ uning yoki-

dinat. x = a tenglama berilgan chiziq tenglamasidir. Haqiqatan ham, bu tenglama ushbu chiziqning istalgan M(a;y) nuqtasining koordinatalari bilan qanoatlantiriladi va chiziqda yotmagan biron bir nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlanmaydi. Agar a = 0 bo'lsa, to'g'ri chiziq x = 0 tenglamaga ega bo'lgan Oy o'qiga to'g'ri keladi.

2) x - y = 0 tenglama tekislikning I va III koordinata burchaklarining bissektrissalarini tashkil etuvchi nuqtalar to'plamini aniqlaydi.

3) x 2 - y 2 = 0 ─ tenglama koordinata burchaklarining ikkita bissektrisa tenglamasi.

4) x 2 + y 2 = 0 tenglama tekislikdagi yagona O(0;0) nuqtani aniqlaydi.

5) Tenglama x 2 + y 2 = 25 ─ radiusi 5 bo'lgan aylana tenglamasi markazi koordinatali.

Tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofa.
Koordinata tizimlari

Tekislikning har bir A nuqtasi uning koordinatalari (x, y) bilan tavsiflanadi. Ular 0 nuqtadan chiqadigan 0A vektorining koordinatalari bilan mos keladi - koordinatalarning kelib chiqishi.

A va B koordinatalari (x 1 y 1) va (x 2, y 2) bo‘lgan tekislikning ixtiyoriy nuqtalari bo‘lsin.

Keyin AB vektori aniq koordinatalarga ega (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Ma'lumki, vektor uzunligi kvadrati uning koordinatalari kvadratlari yig'indisiga teng. Shuning uchun A va B nuqtalar orasidagi d masofa yoki bir xil bo'lgan AB vektorining uzunligi shart bo'yicha aniqlanadi.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Olingan formula, agar bu nuqtalarning koordinatalari ma'lum bo'lsa, tekislikdagi istalgan ikkita nuqta orasidagi masofani topishga imkon beradi.

Har safar tekislikdagi muayyan nuqtaning koordinatalari haqida gapirganda, biz aniq belgilangan x0y koordinata tizimini nazarda tutamiz. Umuman olganda, tekislikdagi koordinatalar tizimini turli usullar bilan tanlash mumkin. Shunday qilib, x0y koordinata tizimi o'rniga eski koordinata o'qlarini 0 boshlang'ich nuqtasi atrofida aylantirish orqali olingan x "0y" koordinata tizimini ko'rib chiqishingiz mumkin. soat miliga teskari burchakdagi o'qlar α .

Agar x0y koordinata tizimidagi tekislikning ma'lum bir nuqtasi (x, y) koordinatalariga ega bo'lsa, yangi x"0y" koordinata tizimida u turli koordinatalarga (x, y") ega bo'ladi.

Misol tariqasida, 0x o'qida joylashgan va 0 nuqtadan 1 masofada ajratilgan M nuqtani ko'rib chiqing.

Shubhasiz, x0y koordinatalar tizimida bu nuqta koordinatalariga ega (cos α ,gunoh α ) va x"0y" koordinatalar tizimida koordinatalar (1,0) ga teng.

A va B tekislikdagi istalgan ikkita nuqtaning koordinatalari ushbu tekislikda koordinatalar sistemasi qanday ko'rsatilganiga bog'liq. Ammo bu nuqtalar orasidagi masofa koordinata tizimini ko'rsatish usuliga bog'liq emas. Biz keyingi xatboshida ushbu muhim vaziyatdan jiddiy foydalanamiz.

Mashqlar

I. Koordinatali tekislik nuqtalari orasidagi masofalarni toping:

1) (3.5) va (3.4); 3) (0,5) va (5, 0); 5) (-3,4) va (9, -17);

2) (2, 1) va (- 5, 1); 4) (0, 7) va (3,3); 6) (8, 21) va (1, -3).

II. Tomonlari tenglamalar bilan berilgan uchburchakning perimetrini toping:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 va y = 1.

III. X0y koordinatalar sistemasida M va N nuqtalar mos ravishda (1, 0) va (0,1) koordinatalariga ega. Eski o'qlarni boshlang'ich nuqta atrofida soat miliga teskari 30 ° burchak bilan aylantirish natijasida olingan yangi koordinatalar tizimidagi ushbu nuqtalarning koordinatalarini toping.

IV. X0y koordinatalar tizimida M va N nuqtalar (2, 0) va (\) koordinatalariga ega. / 3/2, - 1/2) mos ravishda. Eski o'qlarni boshlang'ich nuqta atrofida soat yo'nalishi bo'yicha 30 ° burchak bilan aylantirish natijasida olingan yangi koordinatalar tizimida ushbu nuqtalarning koordinatalarini toping.

Ushbu maqolada biz nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofani nazariy jihatdan va aniq vazifalar misolidan foydalanib aniqlash usullarini ko'rib chiqamiz. Boshlash uchun keling, ba'zi ta'riflarni kiritaylik.

Ta'rif 1

Nuqtalar orasidagi masofa mavjud shkala bo'yicha ularni bog'laydigan segmentning uzunligi. O'lchov uchun uzunlik birligiga ega bo'lish uchun o'lchovni o'rnatish kerak. Shuning uchun, asosan, nuqtalar orasidagi masofani topish masalasi ularning koordinatalarini koordinata chizig'ida, koordinata tekisligida yoki uch o'lchovli fazoda qo'llash orqali hal qilinadi.

Boshlang'ich ma'lumotlar: O x koordinatali chiziq va uning ustida yotgan ixtiyoriy A nuqta.To'g'rining istalgan nuqtasi bitta haqiqiy songa ega: u A nuqta uchun ma'lum son bo'lsin. x A, u ham A nuqtaning koordinatasidir.

Umuman olganda, ma'lum bir segmentning uzunligi ma'lum miqyosda uzunlik birligi sifatida olingan segmentga nisbatan baholanadi, deb aytishimiz mumkin.

Agar A nuqta butun son haqiqiy songa to'g'ri kelsa, to'g'ri chiziq bo'ylab O nuqtadan nuqtaga ketma-ket O A segmentlarini - uzunlik birliklarini qo'yib, chetga qo'yilgan birlik segmentlarining umumiy sonidan O A segmentining uzunligini aniqlashimiz mumkin.

Masalan, A nuqtasi 3 raqamiga to'g'ri keladi - O nuqtadan unga o'tish uchun siz uchta birlik segmentini ajratishingiz kerak bo'ladi. Agar A nuqtasi koordinatasiga ega bo'lsa - 4, birlik segmentlari shunga o'xshash tarzda, lekin boshqacha, salbiy yo'nalishda joylashtiriladi. Shunday qilib, birinchi holda, O A masofasi 3 ga teng; ikkinchi holatda O A = 4.

Agar A nuqta koordinata sifatida ratsional songa ega bo'lsa, u holda koordinata boshidan (O nuqta) biz birlik segmentlarining butun sonini, keyin esa uning zarur qismini chizamiz. Ammo geometrik jihatdan har doim ham o'lchov qilish mumkin emas. Masalan, 4 111 kasrni koordinata chizig'iga solish qiyin ko'rinadi.

Yuqoridagi usuldan foydalanib, irratsional sonni to'g'ri chiziqqa chizish mutlaqo mumkin emas. Masalan, A nuqtaning koordinatasi 11 bo'lganda. Bunda abstraksiyaga o'tish mumkin: agar A nuqtaning berilgan koordinatasi noldan katta bo'lsa, O A = x A (son masofa sifatida qabul qilinadi); agar koordinata noldan kichik bo'lsa, u holda O A = - x A . Umuman olganda, bu gaplar har qanday haqiqiy x A soni uchun to'g'ri.

Xulosa qilib aytadigan bo'lsak: koordinata chizig'idagi haqiqiy songa to'g'ri keladigan nuqtadan boshlang'ich nuqtagacha bo'lgan masofa quyidagilarga teng:

• 0, agar nuqta koordinatali nuqtaga to'g'ri kelsa;

• x A, agar x A > 0 bo'lsa;

• - x A, agar x A< 0 .

Bunday holda, segment uzunligining o'zi salbiy bo'lishi mumkin emasligi aniq, shuning uchun modul belgisidan foydalanib, biz O nuqtadan A nuqtagacha bo'lgan masofani koordinata bilan yozamiz. xA: O A = x A

Quyidagi bayonot to'g'ri bo'ladi: bir nuqtadan ikkinchisiga masofa koordinatalar farqining moduliga teng bo'ladi. Bular. har qanday joylashuv uchun bir xil koordinata chizig'ida yotgan va mos keladigan koordinatalarga ega bo'lgan A va B nuqtalari uchun xA Va x B: A B = x B - x A.

Dastlabki ma'lumotlar: O x y to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi tekislikda yotgan A va B nuqtalar koordinatalari berilgan: A (x A, y A) va B (x B, y B).

A va B nuqtalar orqali O x va O y koordinata o'qlariga perpendikulyar o'tkazamiz va natijada proyeksiya nuqtalarini olamiz: A x, A y, B x, B y. A va B nuqtalarining joylashuviga qarab, quyidagi variantlar mumkin:

Agar A va B nuqtalari mos tushsa, ular orasidagi masofa nolga teng;

Agar A va B nuqtalar O x o'qiga (abscissa o'qi) perpendikulyar to'g'ri chiziqda yotsa, nuqtalar bir-biriga to'g'ri keladi va | A B | = | A y B y | . Nuqtalar orasidagi masofa ularning koordinatalari farqining moduliga teng bo lganligi uchun A y B y = y B - y A, demak, A B = A y B y = y B - y A bo ladi.

Agar A va B nuqtalar O y o'qiga (ordinata o'qi) perpendikulyar to'g'ri chiziqda yotsa - oldingi paragrafga o'xshash: A B = A x B x = x B - x A

Agar A va B nuqtalar koordinata o‘qlaridan biriga perpendikulyar bo‘lgan to‘g‘ri chiziqda yotmasa, ular orasidagi masofani hisoblash formulasini keltirib topamiz:

Biz A B C uchburchakning konstruktsiyasi to'rtburchak ekanligini ko'ramiz. Bunda A C = A x B x va B C = A y B y. Pifagor teoremasidan foydalanib, biz tenglikni yaratamiz: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 va keyin uni o'zgartiramiz: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Olingan natijadan xulosa chiqaramiz: tekislikdagi A nuqtadan B nuqtagacha bo'lgan masofa ushbu nuqtalarning koordinatalari yordamida formuladan foydalangan holda hisoblash yo'li bilan aniqlanadi.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Olingan formula, shuningdek, nuqtalarning mos kelishi holatlari yoki nuqtalar o'qlarga perpendikulyar to'g'ri chiziqlarda yotgan holatlar uchun ilgari tuzilgan bayonotlarni tasdiqlaydi. Demak, agar A va B nuqtalari mos kelsa, quyidagi tenglik to'g'ri bo'ladi: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

A va B nuqtalari x o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziqda joylashgan vaziyat uchun:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

A va B nuqtalar ordinata o'qiga perpendikulyar to'g'ri chiziqda yotsa:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Dastlabki ma'lumotlar: A (x A, y A, z A) va B (x B, y B, z B) koordinatalari berilgan, ixtiyoriy nuqtalari bo'lgan O x y z to'rtburchaklar koordinatalar tizimi. Bu nuqtalar orasidagi masofani aniqlash kerak.

A va B nuqtalar koordinata tekisliklaridan biriga parallel tekislikda yotmagan umumiy holatni ko'rib chiqamiz. A va B nuqtalar orqali koordinata o‘qlariga perpendikulyar tekisliklarni o‘tkazamiz va tegishli proyeksiya nuqtalarini olamiz: A x, A y, A z, B x, B y, B z.

A va B nuqtalari orasidagi masofa hosil bo'lgan parallelepipedning diagonalidir. Ushbu parallelepipedning o'lchovlari qurilishiga ko'ra: A x B x, A y B y va A z B z.

Geometriya kursidan bilamizki, parallelepiped diagonalining kvadrati uning o'lchamlari kvadratlari yig'indisiga teng. Ushbu bayonotga asoslanib, biz tenglikni olamiz: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Oldin olingan xulosalardan foydalanib, biz quyidagilarni yozamiz:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A.

Keling, ifodani o'zgartiramiz:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final fazodagi nuqtalar orasidagi masofani aniqlash formulasi quyidagicha ko'rinadi:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Olingan formula quyidagi hollarda ham amal qiladi:

Nuqtalar mos keladi;

Ular bir koordinata o'qida yoki koordinata o'qlaridan biriga parallel to'g'ri chiziqda yotadi.

Nuqtalar orasidagi masofani topishga oid masalalar yechishga misollar

1-misol

Dastlabki ma'lumotlar: A (1 - 2) va B (11 + 2) koordinatalari berilgan koordinatali chiziq va uning ustida joylashgan nuqtalar berilgan. Boshlanish nuqtasi O dan A nuqtagacha va A va B nuqtalar orasidagi masofani topish kerak.

Yechim

1. Yo'naltiruvchi nuqtadan nuqtagacha bo'lgan masofa bu nuqta koordinatasi moduliga teng, mos ravishda O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. A va B nuqtalari orasidagi masofani ushbu nuqtalarning koordinatalari orasidagi farq moduli sifatida aniqlaymiz: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Javob: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

2-misol

Dastlabki ma'lumotlar: to'rtburchaklar koordinatalar tizimi va uning ustida joylashgan ikkita nuqta A (1, - 1) va B (l + 1, 3) berilgan. l - qandaydir haqiqiy son. Bu raqamning A B masofasi 5 ga teng bo'lgan barcha qiymatlarini topish kerak.

Yechim

A va B nuqtalari orasidagi masofani topish uchun A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 formulasidan foydalanish kerak.

Haqiqiy koordinatalar qiymatlarini almashtirib, biz quyidagilarga erishamiz: A B = (l + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = l 2 + 16

Biz A B = 5 bo'lgan mavjud shartdan ham foydalanamiz va keyin tenglik to'g'ri bo'ladi:

l 2 + 16 = 5 l 2 + 16 = 25 l = ± 3

Javob: A B = 5, agar l = ± 3 bo'lsa.

3-misol

Dastlabki ma'lumotlar: O x y z to'rtburchaklar koordinata tizimida uch o'lchovli fazo ko'rsatilgan va unda yotgan A (1, 2, 3) va B - 7, - 2, 4 nuqtalari.

Yechim

Masalani yechish uchun A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 formulasidan foydalanamiz.

Haqiqiy qiymatlarni almashtirib, biz quyidagilarni olamiz: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Javob: | A B | = 9

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Bu erda kalkulyator bo'ladi

Chiziqdagi ikki nuqta orasidagi masofa

2 nuqta belgilangan koordinata chizig'ini ko'rib chiqing: A A A Va B B B. Ushbu nuqtalar orasidagi masofani topish uchun siz segmentning uzunligini topishingiz kerak A B AB A B. Bu quyidagi formula yordamida amalga oshiriladi:

Chiziqdagi ikki nuqta orasidagi masofa

A B = ∣ a - b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

Qayerda a, b a, b a, b- bu nuqtalarning to'g'ri chiziqdagi koordinatalari (koordinatali chiziq).

Formula modulni o'z ichiga olganligi sababli, uni echishda qaysi koordinatadan ayirish muhim emas (chunki bu farqning mutlaq qiymati olinadi).

∣ a - b ∣ = ∣ b - a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b -a∣

Bunday muammolarni hal qilishni yaxshiroq tushunish uchun misolni ko'rib chiqaylik.

1-misol

Koordinata chizig'ida nuqtalar belgilanadi A A A, uning koordinatasi teng 9 9 9 va davr B B B koordinata bilan − 1 -1 − 1 . Biz bu ikki nuqta orasidagi masofani topishimiz kerak.

Yechim

Bu yerga a = 9 , b = - 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Biz formuladan foydalanamiz va qiymatlarni almashtiramiz:

A B = ∣ a - b ∣ = ∣ 9 - (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Javob

Tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofa

Samolyotda berilgan ikkita nuqtani ko'rib chiqing. Samolyotda belgilangan har bir nuqtadan ikkita perpendikulyarni tushirish kerak: o'qga O X OX O X va o'qda O Y OY O Y. Keyin uchburchak ko'rib chiqiladi A B C ABC A B C. To'rtburchak bo'lgani uchun ( Miloddan avvalgi B C B C perpendikulyar A C AC A C), keyin segmentni toping A B AB A B, bu ham nuqtalar orasidagi masofa, Pifagor teoremasi yordamida amalga oshirilishi mumkin. Bizda ... bor:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Ammo, uzunligiga asoslanib A C AC A C ga teng x B - x A x_B-x_A x B​ − x A​ , va uzunligi Miloddan avvalgi B C B C ga teng y B - y A y_B-y_A y B​ − y A​ , bu formulani quyidagicha qayta yozish mumkin:

Tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofa

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Qayerda x A , y A x_A, y_A x A​ , y A​ Va x B , y B x_B, y_B x B​ , y B​ - nuqtalarning koordinatalari A A A Va B B B mos ravishda.

2-misol

Nuqtalar orasidagi masofani topish kerak C C C Va F F F, agar birinchisining koordinatalari bo'lsa (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , va ikkinchi - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Yechim

X C = 8 x_C=8 x C​ = 8
y C = - 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F​ = 2

C F = (x F - x C) 2 + (y F - y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Javob

Kosmosdagi ikki nuqta orasidagi masofa

Bu holda ikkita nuqta orasidagi masofani topish avvalgisiga o'xshaydi, faqat kosmosdagi nuqtaning koordinatalari uchta raqam bilan belgilanadi; shunga ko'ra, formulaga qo'llaniladigan o'qning koordinatasi ham qo'shilishi kerak. Formula quyidagicha ko'rinadi:

Kosmosdagi ikki nuqta orasidagi masofa

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + (z B - z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

3-misol

Segment uzunligini toping FK FKFK fazoda, agar uning uchlaridagi nuqtalarning koordinatalari quyidagicha bo'lsa: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Va (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Javobni eng yaqin butun songa yaxlitlang.

Yechim

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Muammoning shartlariga ko'ra, biz javobni butun songa yaxlitlashimiz kerak.

Nuqtalar orasidagi masofani tekislikdagi koordinatalari asosida hisoblash oddiy, er yuzasida esa bu biroz murakkabroq: nuqtalar orasidagi masofa va boshlang‘ich azimutni proyeksiya o‘zgarishlarisiz o‘lchashni ko‘rib chiqamiz. Birinchidan, terminologiyani tushunaylik.

Kirish

Katta aylana yoyi uzunligi- shar yuzasida joylashgan har qanday ikkita nuqta orasidagi eng qisqa masofa, bu ikki nuqtani bog'laydigan chiziq bo'ylab o'lchanadi (bunday chiziq ortodromiya deb ataladi) va shar yuzasi yoki boshqa aylanish yuzasi bo'ylab o'tadi. Sferik geometriya oddiy Evklid geometriyasidan farq qiladi va masofa tenglamalari ham boshqa shaklga ega. Evklid geometriyasida ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofa to'g'ri chiziqdir. Sferada to'g'ri chiziqlar yo'q. Sferadagi bu chiziqlar katta doiralarning bir qismidir - markazlari sharning markaziga to'g'ri keladigan doiralar. Dastlabki azimut- azimut, A nuqtadan harakatni boshlaganda, B nuqtaga eng qisqa masofada katta aylana bo'ylab harakatlanayotganda, oxirgi nuqta B nuqta bo'ladi. A nuqtadan B nuqtaga katta aylana chizig'i bo'ylab harakatlanayotganda, so'nggi B nuqtasiga hozirgi holati doimiy o'zgarib turadi. Boshlang'ich azimut doimiydan farq qiladi, undan keyin joriy nuqtadan oxirgi nuqtagacha bo'lgan azimut o'zgarmaydi, lekin kuzatilgan marshrut ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofa emas.

Sfera yuzasidagi har qanday ikkita nuqta orqali, agar ular bir-biriga to'g'ridan-to'g'ri qarama-qarshi bo'lmasa (ya'ni, ular antipod bo'lmasa), noyob katta doira chizish mumkin. Ikki nuqta katta doirani ikkita yoyga ajratadi. Qisqa yoyning uzunligi ikki nuqta orasidagi eng qisqa masofadir. Ikki antipodal nuqta orasiga cheksiz miqdordagi katta doiralar chizish mumkin, lekin ular orasidagi masofa har qanday aylanada bir xil bo'ladi va aylananing yarmiga teng bo'ladi yoki p*R, bu erda R - sharning radiusi.

Tekislikda (to'rtburchaklar koordinatalar tizimida) katta doiralar va ularning bo'laklari, yuqorida aytib o'tilganidek, gnomonikdan tashqari barcha proyeksiyalarda yoylarni ifodalaydi, bu erda katta doiralar to'g'ri chiziqlardir. Amalda bu shuni anglatadiki, samolyotlar va boshqa havo transporti yoqilg'ini tejash uchun doimo nuqtalar orasidagi minimal masofa marshrutidan foydalanadi, ya'ni parvoz katta doira masofasi bo'ylab amalga oshiriladi, samolyotda u yoyga o'xshaydi.

Yerning shakli shar sifatida tasvirlanishi mumkin, shuning uchun katta doira masofasi tenglamalari Yer yuzasidagi nuqtalar orasidagi eng qisqa masofani hisoblash uchun muhimdir va ko'pincha navigatsiyada qo'llaniladi. Ushbu usul bilan masofani hisoblash prognoz qilingan koordinatalar uchun (to'rtburchaklar koordinata tizimlarida) hisoblashdan ko'ra samaraliroq va ko'p hollarda aniqroqdir, chunki birinchidan, geografik koordinatalarni to'rtburchaklar koordinatalar tizimiga aylantirishni talab qilmaydi (proyeksiyani o'zgartirishni amalga oshirish) va , ikkinchidan, ko'pgina proektsiyalar, agar noto'g'ri tanlangan bo'lsa, proektsion buzilishlarning tabiati tufayli sezilarli uzunlikdagi buzilishlarga olib kelishi mumkin. Ma'lumki, bu shar emas, balki Yerning shaklini aniqroq tasvirlaydigan ellipsoid, ammo bu maqolada sfera bo'yicha masofalarni hisoblash muhokama qilinadi, hisob-kitoblar uchun radiusi 6,372,795 metr bo'lgan shar ishlatiladi. , bu 0,5% tartibdagi masofalarni hisoblashda xatolikka olib kelishi mumkin.

Formulalar

Katta doira sharsimon masofani hisoblashning uchta usuli mavjud. 1. Sferik kosinus teoremasi Kichik masofalar va kichik hisoblash chuqurligi (o'nlik kasrlar soni) bo'lsa, formuladan foydalanish muhim yaxlitlash xatolariga olib kelishi mumkin. ph1, l1; ph2, l2 - radiandagi ikki nuqtaning kengligi va uzunligi DD - uzunlikdagi koordinatalar farqi DD - burchak farqi DD = arccos (sin ph1 sin ph2 + cos ph1 cos ph2 cos DL) Metrikni aylantirish uchun, burchak farqini Yer radiusi (6372795 metr) bilan ko'paytiring, yakuniy masofaning birliklari radius ifodalangan birliklarga teng bo'ladi (bu holda, metr). 2. Haversin formulasi Qisqa masofalar bilan bog'liq muammolarni oldini olish uchun foydalaniladi. 3. Antipodlar uchun modifikatsiya Oldingi formula antipodal nuqtalar muammosiga ham tegishli, uni hal qilish uchun quyidagi modifikatsiya qo'llaniladi.

PHP da mening amaliyotim

// Yer radiusini aniqlash("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Ikki nuqta orasidagi masofa * $phA, $lA - 1-nuqtaning kengligi, uzunligi, * $phB, $lB - 2-nuqtaning kengligi, uzunligi * http://gis-lab.info/ asosida yozilgan qa/great-circles.html * Mixail Kobzarev< >* */ funksiyasi TheDistance hisoblash ($phA, $lA, $phB, $lB) ( // koordinatalarni radianga aylantirish $lat1 = $phA * M_PI / 180; $lat2 = $phB * M_PI / 180; $long1 = $lA * M_PI / 180; $long2 = $lB * M_PI / 180; // kenglik va uzunlik farqlarining kosinuslari va sinuslari $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1) ); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // katta doira uzunligini hisoblash $y = sqrt(pow) ( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; / / $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Funktsiya chaqiruviga misol: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo accountTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metr"; // Qaytish "17166029 metr"

Maqola saytdan olindi