Nöqtədən nöqtəyə olan məsafə, düsturlar, nümunələr, həllər. İki nöqtə arasındakı məsafə Koordinat müstəvisində nöqtələr arasındakı məsafə

Düzbucaqlı koordinat sistemi verilsin.

Teorem 1.1. Müstəvinin hər hansı iki M 1 (x 1;y 1) və M 2 (x 2;y 2) nöqtələri üçün onların arasındakı d məsafəsi düsturla ifadə edilir.

Sübut. M 1 və M 2 nöqtələrindən müvafiq olaraq M 1 B və M 2 A perpendikulyarlarını ataq.

Oy və Ox oxunda və M 1 B və M 2 A xətlərinin kəsişmə nöqtəsini K ilə işarələyin (şək. 1.4). Aşağıdakı hallar mümkündür:

1) M 1, M 2 və K nöqtələri fərqlidir. Aydındır ki, K nöqtəsinin koordinatları var (x 2;y 1). M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô olduğunu görmək asandır. Çünki ∆M 1 KM 2 düzbucaqlıdır, onda Pifaqor teoremi ilə d = M 1 M 2 = = .

2) K nöqtəsi M 2 nöqtəsi ilə üst-üstə düşür, lakin M 1 nöqtəsindən fərqlidir (şək. 1.5). Bu halda y 2 = y 1

və d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) K nöqtəsi M 1 nöqtəsi ilə üst-üstə düşür, lakin M 2 nöqtəsindən fərqlidir. Bu halda x 2 = x 1 və d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) M 2 nöqtəsi M 1 nöqtəsi ilə üst-üstə düşür. Sonra x 1 = x 2, y 1 = y 2 və

d = M 1 M 2 = O =.

Bu baxımdan bir seqmentin bölünməsi.

Müstəvidə ixtiyari M 1 M 2 seqmenti verilsin və M ─ bunun istənilən nöqtəsi olsun.

M 2 nöqtəsindən fərqli seqment (Şəkil 1.6). l = bərabərliyi ilə müəyyən edilən l ədədi , çağırdı münasibət, bu nöqtədə M M 1 M 2 seqmentini bölür.

Teorem 1.2. M(x;y) nöqtəsi M 1 M 2 seqmentini l-ə nisbətdə bölürsə, bu nöqtənin koordinatları düsturlarla müəyyən edilir.

x = , y = , (4)

burada (x 1;y 1) ─ M 1 nöqtəsinin koordinatları, (x 2;y 2) ─ M 2 nöqtəsinin koordinatları.

Sübut.(4) düsturlarından birincisini sübut edək. İkinci düstur oxşar şəkildə sübut edilmişdir. İki mümkün hal var.

x = x 1 = = = .

2) M 1 M 2 düz xətti Ox oxuna perpendikulyar deyil (şəkil 1.6). M 1, M, M 2 nöqtələrindən Ox oxuna perpendikulyar endirək və onların Ox oxu ilə kəsişmə nöqtələrini müvafiq olaraq P 1, P, P 2 kimi təyin edək. Mütənasib seqmentlər teoremi ilə = l.

Çünki P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô və (x – x 1) və (x 2 – x) ədədləri eyni işarəyə malikdir (x 1-də< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 mənfidir), onda

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Nəticə 1.2.1.Əgər M 1 (x 1;y 1) və M 2 (x 2;y 2) iki ixtiyari nöqtədirsə və M(x;y) nöqtəsi M 1 M 2 seqmentinin ortasıdırsa, onda

x = , y = (5)

Sübut. M 1 M = M 2 M olduğundan, onda l = 1 və düsturlardan (4) istifadə edərək (5) düsturları alırıq.

Üçbucağın sahəsi.

Teorem 1.3. Eyni üzərində olmayan hər hansı A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) və C(x 3;y 3) nöqtələri üçün

düz xətt, ABC üçbucağının S sahəsi düsturla ifadə edilir

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Sübut. Sahə ∆ ABC şəkildə göstərilmişdir. 1.7, aşağıdakı kimi hesablayırıq

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Trapezoidlərin sahəsini hesablayırıq:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

İndi bizdə

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Başqa bir yer üçün ∆ ABC, düstur (6) oxşar şəkildə sübut edilmişdir, lakin "-" işarəsi ilə çıxa bilər. Buna görə də (6) düsturunda modul işarəsini qoyurlar.

Mühazirə 2.

Müstəvidə düz xəttin tənliyi: baş əmsallı düz xəttin tənliyi, düz xəttin ümumi tənliyi, düz xəttin seqmentlərdə tənliyi, iki nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi. Düz xətlər arasındakı bucaq, müstəvidə düz xətlərin paralellik və perpendikulyarlıq şərtləri.

2.1. Müstəvidə düzbucaqlı koordinat sistemi və bəzi L xətti verilsin.

Tərif 2.1. x və y dəyişənlərini birləşdirən F(x;y) = 0 formalı tənlik adlanır. xətt tənliyi L(verilmiş koordinat sistemində), əgər bu tənlik bu xətt üzərində olmayan hər hansı bir nöqtənin koordinatları ilə deyil, L xəttində yerləşən hər hansı nöqtənin koordinatları ilə ödənilirsə.

Müstəvidə xətlərin tənliklərinə nümunələr.

1) Düzbucaqlı koordinat sisteminin Oy oxuna paralel düz xətti nəzərdən keçirək (şək. 2.1). Bu xəttin Ox oxu ilə kəsişmə nöqtəsini A hərfi ilə işarə edək, (a;o) ─ onun və ya-

dinat. x = a tənliyi verilmiş xəttin tənliyidir. Həqiqətən də, bu tənlik bu xəttin hər hansı M(a;y) nöqtəsinin koordinatları ilə ödənilir və xətt üzərində olmayan heç bir nöqtənin koordinatları ilə təmin edilmir. Əgər a = 0 olarsa, onda düz xətt x = 0 tənliyinə malik olan Oy oxu ilə üst-üstə düşür.

2) x - y = 0 tənliyi müstəvinin I və III koordinat bucaqlarının bissektrisalarını təşkil edən nöqtələr çoxluğunu müəyyən edir.

3) x 2 - y 2 = 0 ─ tənliyi koordinat bucaqlarının iki bissektrisasının tənliyidir.

4) x 2 + y 2 = 0 tənliyi müstəvidə tək O(0;0) nöqtəsini təyin edir.

5) x 2 + y 2 = 25 tənliyi ─ radiusu 5 olan dairənin başlanğıcında mərkəzi olan tənliyi.

Bir müstəvidə iki nöqtə arasındakı məsafə.
Koordinat sistemləri

Müstəvinin hər bir A nöqtəsi onun koordinatları (x, y) ilə xarakterizə olunur. Onlar koordinatların başlanğıcı - 0 nöqtəsindən çıxan 0A vektorunun koordinatları ilə üst-üstə düşür.

A və B koordinatları (x 1 y 1) və (x 2, y 2) olan müstəvinin ixtiyari nöqtələri olsun.

Onda AB vektorunun açıq-aydın koordinatları var (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Məlumdur ki, vektorun uzunluğunun kvadratı onun koordinatlarının kvadratlarının cəminə bərabərdir. Buna görə də A və B nöqtələri arasındakı d məsafəsi və ya eyni olan AB vektorunun uzunluğu şərtdən müəyyən edilir.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Alınan düstur, yalnız bu nöqtələrin koordinatları məlum olduqda, müstəvidə hər hansı iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmağa imkan verir.

Hər dəfə müstəvidə müəyyən bir nöqtənin koordinatları haqqında danışarkən biz dəqiq müəyyən edilmiş x0y koordinat sistemini nəzərdə tuturuq. Ümumiyyətlə, müstəvidə koordinat sistemi müxtəlif yollarla seçilə bilər. Beləliklə, x0y koordinat sistemi əvəzinə köhnə koordinat oxlarının başlanğıc nöqtəsi 0 ətrafında fırlanması ilə əldə edilən x"0y" koordinat sistemini nəzərdən keçirə bilərsiniz. saat yönünün əksinə küncdəki oxlar α .

Əgər x0y koordinat sistemində müstəvinin müəyyən nöqtəsinin koordinatları (x, y) idisə, yeni x"0y" koordinat sistemində onun müxtəlif koordinatları (x, y") olacaqdır.

Nümunə olaraq, 0x oxunda yerləşən və 0 nöqtəsindən 1 məsafədə ayrılmış M nöqtəsini nəzərdən keçirək.

Aydındır ki, x0y koordinat sistemində bu nöqtənin koordinatları (cos α ,günah α ), x"0y" koordinat sistemində isə koordinatlar (1,0) olur.

A və B müstəvisində hər hansı iki nöqtənin koordinatları bu müstəvidə koordinat sisteminin necə təyin olunduğundan asılıdır. Lakin bu nöqtələr arasındakı məsafə koordinat sisteminin dəqiqləşdirilməsi metodundan asılı deyil. Növbəti paraqrafda bu mühüm vəziyyətdən əhəmiyyətli dərəcədə istifadə edəcəyik.

Məşqlər

I. Koordinatları olan təyyarənin nöqtələri arasındakı məsafələri tapın:

1) (3.5) və (3.4); 3) (0,5) və (5, 0); 5) (-3,4) və (9, -17);

2) (2, 1) və (- 5, 1); 4) (0, 7) və (3,3); 6) (8, 21) və (1, -3).

II. Tərəfləri tənliklərlə verilmiş üçbucağın perimetrini tapın:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 və y = 1.

III. x0y koordinat sistemində M və N nöqtələrinin müvafiq olaraq (1, 0) və (0,1) koordinatları vardır. Köhnə oxları başlanğıc nöqtəsi ətrafında saat əqrəbinin əksinə 30° bucaqla fırlatmaqla əldə edilən yeni koordinat sistemində bu nöqtələrin koordinatlarını tapın.

IV. x0y koordinat sistemində M və N nöqtələrinin (2, 0) və (\) koordinatları var. / müvafiq olaraq 3/2, - 1/2). Köhnə oxları başlanğıc nöqtəsi ətrafında saat əqrəbi istiqamətində 30° bucaqla fırlatmaqla əldə edilən yeni koordinat sistemində bu nöqtələrin koordinatlarını tapın.

Bu yazıda nəzəri olaraq və konkret tapşırıqların nümunəsindən istifadə edərək nöqtədən nöqtəyə məsafəni təyin etməyin yollarına baxacağıq. Başlamaq üçün bəzi tərifləri təqdim edək.

Tərif 1

Nöqtələr arasındakı məsafə mövcud miqyasda onları birləşdirən seqmentin uzunluğudur. Ölçmə üçün uzunluq vahidinə sahib olmaq üçün şkala təyin etmək lazımdır. Buna görə də, əsasən nöqtələr arasındakı məsafənin tapılması məsələsi onların koordinatlarından koordinat xəttində, koordinat müstəvisində və ya üçölçülü fəzada istifadə etməklə həll edilir.

İlkin verilənlər: O x koordinat xətti və onun üzərində uzanan ixtiyari A nöqtəsi Xəttin istənilən nöqtəsi bir real ədədə malikdir: A nöqtəsi üçün müəyyən ədəd olsun. x A, həm də A nöqtəsinin koordinatıdır.

Ümumilikdə deyə bilərik ki, müəyyən seqmentin uzunluğu verilmiş miqyasda uzunluq vahidi kimi götürülmüş seqmentlə müqayisədə qiymətləndirilir.

A nöqtəsi tam ədədə uyğundursa, O nöqtəsindən düz xətt boyunca O A seqmentləri - uzunluq vahidləri boyunca ardıcıl olaraq kəsilməklə, kənara qoyulmuş vahid seqmentlərin ümumi sayından O A seqmentinin uzunluğunu müəyyən edə bilərik.

Məsələn, A nöqtəsi 3 rəqəminə uyğundur - O nöqtəsindən ona çatmaq üçün üç bölmə seqmentini kəsmək lazımdır. A nöqtəsinin koordinatı - 4 olarsa, vahid seqmentlər oxşar şəkildə, lakin fərqli, mənfi istiqamətdə yerləşdirilir. Beləliklə, birinci halda O A məsafəsi 3-ə bərabərdir; ikinci halda O A = 4.

Əgər A nöqtəsi koordinat kimi rasional ədədə malikdirsə, o zaman mənbədən (O nöqtəsi) vahid seqmentlərin tam sayını, sonra isə onun zəruri hissəsini çəkirik. Ancaq həndəsi olaraq ölçmə aparmaq həmişə mümkün deyil. Məsələn, 4 111 kəsrini koordinat xəttinə çəkmək çətin görünür.

Yuxarıdakı üsuldan istifadə edərək düz xətt üzərində irrasional ədədi çəkmək tamamilə qeyri-mümkündür. Məsələn, A nöqtəsinin koordinatı 11 olduqda. Bu zaman abstraksiyaya müraciət etmək olar: A nöqtəsinin verilmiş koordinatı sıfırdan böyükdürsə, O A = x A (ədəd məsafə kimi qəbul edilir); koordinat sıfırdan kiçikdirsə, O A = - x A . Ümumiyyətlə, bu ifadələr istənilən həqiqi x A ədədi üçün doğrudur.

Xülasə etmək üçün: başlanğıcdan koordinat xəttindəki həqiqi ədədə uyğun gələn nöqtəyə qədər olan məsafə bərabərdir:

• 0 nöqtə başlanğıc ilə üst-üstə düşürsə;

• x A, əgər x A > 0;

• - x A əgər x A< 0 .

Bu vəziyyətdə, seqmentin uzunluğunun özü mənfi ola bilməyəcəyi aydındır, buna görə də modul işarəsindən istifadə edərək, O nöqtəsindən A nöqtəsinə qədər olan məsafəni koordinatla yazırıq. xA: O A = x A

Aşağıdakı ifadə doğru olacaq: bir nöqtədən digərinə olan məsafə koordinat fərqinin moduluna bərabər olacaqdır. Bunlar. hər hansı bir yer üçün eyni koordinat xəttində yerləşən və uyğun koordinatları olan A və B nöqtələri üçün xA Və x B: A B = x B - x A .

İlkin məlumatlar: koordinatları verilmiş O x y düzbucaqlı koordinat sistemində müstəvidə uzanan A və B nöqtələri: A (x A, y A) və B (x B, y B).

A və B nöqtələri vasitəsilə O x və O y koordinat oxlarına perpendikulyarlar çəkək və nəticədə proyeksiya nöqtələrini alaq: A x, A y, B x, B y. A və B nöqtələrinin yerindən asılı olaraq, aşağıdakı variantlar mümkündür:

A və B nöqtələri üst-üstə düşürsə, onların arasındakı məsafə sıfırdır;

A və B nöqtələri O x oxuna perpendikulyar düz xətt üzərində yerləşirsə (absis oxu), onda nöqtələr üst-üstə düşür və | A B | = | A y B y | . Nöqtələr arasındakı məsafə onların koordinatlarının fərqinin moduluna bərabər olduğundan, A y B y = y B - y A və deməli, A B = A y B y = y B - y A olur.

Əgər A və B nöqtələri O y oxuna perpendikulyar düz xətt üzərində yerləşirsə (ordinat oxu) - əvvəlki abzasla analoji olaraq: A B = A x B x = x B - x A

Əgər A və B nöqtələri koordinat oxlarından birinə perpendikulyar düz xətt üzərində deyilsə, hesablama düsturunu çıxararaq onlar arasındakı məsafəni tapacağıq:

A B C üçbucağının quruluşca düzbucaqlı olduğunu görürük. Bu halda A C = A x B x və B C = A y B y olur. Pifaqor teoremindən istifadə edərək bərabərliyi yaradırıq: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 və sonra onu çevirin: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Əldə edilən nəticədən bir nəticə çıxaraq: müstəvidə A nöqtəsindən B nöqtəsinə qədər olan məsafə bu nöqtələrin koordinatlarından istifadə edərək düsturdan istifadə etməklə hesablama yolu ilə müəyyən edilir.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Əldə edilən düstur həmçinin nöqtələrin oxlara perpendikulyar düz xətlər üzərində yerləşdiyi nöqtələrin və ya vəziyyətlərin üst-üstə düşməsi halları üçün əvvəllər formalaşmış ifadələri təsdiqləyir. Beləliklə, A və B nöqtələri üst-üstə düşürsə, aşağıdakı bərabərlik doğru olacaq: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

A və B nöqtələrinin x oxuna perpendikulyar düz xətt üzərində yerləşdiyi vəziyyət üçün:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

A və B nöqtələri ordinat oxuna perpendikulyar düz xətt üzərində yerləşdiyi halda:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

İlkin məlumatlar: A (x A, y A, z A) və B (x B, y B, z B) koordinatları verilmiş, ixtiyari nöqtələri olan O x y z düzbucaqlı koordinat sistemi. Bu nöqtələr arasındakı məsafəni müəyyən etmək lazımdır.

A və B nöqtələrinin koordinat müstəvilərindən birinə paralel müstəvidə yerləşmədiyi ümumi halı nəzərdən keçirək. A və B nöqtələri vasitəsilə koordinat oxlarına perpendikulyar müstəvilər çəkək və müvafiq proyeksiya nöqtələrini alaq: A x , A y , A z , B x , B y , B z

A və B nöqtələri arasındakı məsafə yaranan paralelepipedin diaqonalıdır. Bu paralelepipedin ölçülərinin qurulmasına görə: A x B x , A y B y və A z B z

Həndəsə kursundan bilirik ki, paralelepipedin diaqonalının kvadratı onun ölçülərinin kvadratlarının cəminə bərabərdir. Bu ifadəyə əsasən bərabərliyi əldə edirik: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Daha əvvəl əldə edilən nəticələrdən istifadə edərək, aşağıdakıları yazırıq:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

İfadəni çevirək:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final fəzada nöqtələr arasındakı məsafəni təyin etmək üçün düstur belə görünəcək:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Nəticə düstur həmçinin aşağıdakı hallarda etibarlıdır:

Nöqtələr üst-üstə düşür;

Onlar bir koordinat oxunda və ya koordinat oxlarından birinə paralel düz xətt üzərində uzanırlar.

Nöqtələr arasındakı məsafənin tapılmasına dair məsələlərin həlli nümunələri

Misal 1

İlkin məlumatlar: verilmiş A (1 - 2) və B (11 + 2) koordinatları ilə koordinat xətti və onun üzərində uzanan nöqtələr verilir. O başlanğıc nöqtəsindən A nöqtəsinə qədər və A və B nöqtələri arasındakı məsafəni tapmaq lazımdır.

Həll

1. İstinad nöqtəsindən nöqtəyə qədər olan məsafə bu nöqtənin koordinatının moduluna bərabərdir, müvafiq olaraq O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. A və B nöqtələri arasındakı məsafəni bu nöqtələrin koordinatları arasındakı fərqin modulu kimi təyin edirik: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Cavab: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Misal 2

İlkin məlumatlar: düzbucaqlı koordinat sistemi və onun üzərində yerləşən iki nöqtə A (1, - 1) və B (λ + 1, 3) verilir. λ bəzi real ədəddir. A B məsafəsinin 5-ə bərabər olacağı bu ədədin bütün dəyərlərini tapmaq lazımdır.

Həll

A və B nöqtələri arasındakı məsafəni tapmaq üçün A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 düsturundan istifadə etməlisiniz.

Həqiqi koordinat qiymətlərini əvəz edərək, alırıq: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Mövcud şərtdən də istifadə edirik ki, A B = 5 və sonra bərabərlik doğru olacaq:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Cavab: λ = ± 3 olarsa, A B = 5.

Misal 3

İlkin məlumatlar: O x y z düzbucaqlı koordinat sistemində üçölçülü fəza göstərilib və orada yerləşən A (1, 2, 3) və B - 7, - 2, 4 nöqtələri.

Həll

Məsələni həll etmək üçün A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 düsturundan istifadə edirik.

Həqiqi dəyərləri əvəz edərək, alırıq: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Cavab: | A B | = 9

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın

Burada kalkulyator olacaq

Xəttin iki nöqtəsi arasındakı məsafə

2 nöqtənin işarələndiyi bir koordinat xəttini nəzərdən keçirin: A A A Və B B B. Bu nöqtələr arasındakı məsafəni tapmaq üçün seqmentin uzunluğunu tapmaq lazımdır A B AB A B. Bu, aşağıdakı düsturdan istifadə etməklə edilir:

Xəttin iki nöqtəsi arasındakı məsafə

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

Harada a, b a, b a, b- düz xətt üzrə bu nöqtələrin koordinatları (koordinat xətti).

Düstur modulu ehtiva etdiyinə görə, onu həll edərkən hansı koordinatdan hansı koordinatı çıxarmaq vacib deyildir (çünki bu fərqin mütləq qiyməti alınır).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b −a∣

Bu cür problemlərin həllini daha yaxşı başa düşmək üçün bir nümunəyə baxaq.

Misal 1

Koordinat xəttində nöqtələr qeyd olunur A A A, koordinatı bərabər olan 9 9 9 və dövr B B B koordinatı ilə − 1 -1 − 1 . Bu iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmaq lazımdır.

Həll

Budur a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Düsturdan istifadə edirik və dəyərləri əvəz edirik:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Cavab verin

Təyyarənin iki nöqtəsi arasındakı məsafə

Təyyarədə verilmiş iki nöqtəni nəzərdən keçirin. Təyyarədə qeyd olunan hər bir nöqtədən iki perpendikulyar endirmək lazımdır: Oxa O X OX O X və oxda O Y OY OY. Sonra üçbucaq nəzərə alınır A B C ABC A B C. düzbucaqlı olduğundan ( B C BC B C perpendikulyar A C AC A C), sonra seqmenti tapın A B AB A B, bu da nöqtələr arasındakı məsafədir, Pifaqor teoremindən istifadə etməklə edilə bilər. Bizdə:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Ancaq uzunluğuna əsaslanaraq A C AC A C bərabərdir x B − x A x_B-x_A x B​ − x A​ , və uzunluq B C BC B C bərabərdir y B − y A y_B-y_A y B​ − y A​ , bu düstur aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

Təyyarənin iki nöqtəsi arasındakı məsafə

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Harada x A , y A x_A, y_A x A​ , y A​ Və x B , y B x_B, y_B x B​ , y B​ - nöqtələrin koordinatları A A A Və B B B müvafiq olaraq.

Misal 2

Nöqtələr arasındakı məsafəni tapmaq lazımdır C C C Və F F F, əgər birincinin koordinatları (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) və ikinci - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Həll

X C = 8 x_C=8 x C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Cavab verin

Kosmosda iki nöqtə arasındakı məsafə

Bu vəziyyətdə iki nöqtə arasındakı məsafənin tapılması əvvəlkinə bənzəyir, ancaq fəzadakı nöqtənin koordinatları üç rəqəmlə müəyyən edilir; müvafiq olaraq, tətbiq oxun koordinatı da düstura əlavə edilməlidir. Formula belə görünəcək:

Kosmosda iki nöqtə arasındakı məsafə

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Misal 3

Seqmentin uzunluğunu tapın FK FKFK fəzada onun uclarında olan nöqtələrin koordinatları aşağıdakı kimi olarsa: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Və (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Cavabı ən yaxın tam ədədə yuvarlaqlaşdırın.

Həll

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Məsələnin şərtlərinə görə cavabı tam ədədə yuvarlaqlaşdırmalıyıq.

Nöqtələr arasındakı məsafələrin müstəvidə koordinatlarına əsasən hesablanması elementardır, Yer səthində isə bu bir az daha mürəkkəbdir: nöqtələr arasındakı məsafəni və ilkin azimutu proyeksiya çevrilmələri olmadan ölçməyi nəzərdən keçirəcəyik. Əvvəlcə terminologiyanı anlayaq.

Giriş

Böyük dairə qövs uzunluğu- kürənin səthində yerləşən, bu iki nöqtəni birləşdirən (belə bir xətt ortodromiya adlanır) və kürənin səthi və ya digər fırlanma səthi boyunca keçən xətt boyunca ölçülən hər hansı iki nöqtə arasındakı ən qısa məsafə. Sferik həndəsə normal Evklid həndəsəsindən fərqlidir və məsafə tənlikləri də fərqli forma alır. Evklid həndəsəsində iki nöqtə arasındakı ən qısa məsafə düz xəttdir. Sferada düz xətlər yoxdur. Kürə üzərindəki bu xətlər böyük dairələrin bir hissəsidir - mərkəzləri kürənin mərkəzi ilə üst-üstə düşən dairələr. İlkin azimut- A nöqtəsindən B nöqtəsinə qədər ən qısa məsafədə böyük dairədən sonra hərəkət etməyə başlayanda son nöqtə B nöqtəsi olacaq azimut. Böyük dairə xətti boyunca A nöqtəsindən B nöqtəsinə hərəkət edərkən, azimut Mövcud vəziyyət son nöqtəyə qədər sabit olan B dəyişir. İlkin azimut sabitdən fərqlidir, ondan sonra cari nöqtədən son nöqtəyə qədər azimut dəyişmir, lakin izlənilən marşrut iki nöqtə arasında ən qısa məsafə deyil.

Bir kürənin səthindəki hər hansı iki nöqtə vasitəsilə, əgər onlar bir-birinə birbaşa əks deyilsə (yəni antipod deyillər), unikal böyük dairə çəkilə bilər. İki nöqtə böyük bir dairəni iki qövsə ayırır. Qısa qövsün uzunluğu iki nöqtə arasındakı ən qısa məsafədir. İki antipodal nöqtə arasında sonsuz sayda böyük dairələr çəkilə bilər, lakin onların arasındakı məsafə istənilən çevrədə eyni olacaq və çevrənin çevrəsinin yarısına bərabər olacaq və ya π*R, burada R kürənin radiusudur.

Bir müstəvidə (düzbucaqlı koordinat sistemində) böyük dairələr və onların fraqmentləri, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, böyük dairələrin düz xətlər olduğu gnomonicdən başqa bütün proyeksiyalarda qövsləri təmsil edir. Təcrübədə bu o deməkdir ki, təyyarələr və digər hava nəqliyyatı yanacağa qənaət etmək üçün həmişə nöqtələr arasında minimum məsafənin marşrutundan istifadə edir, yəni uçuş böyük bir dairə məsafəsi boyunca həyata keçirilir, bir təyyarədə qövs kimi görünür.

Yerin formasını kürə kimi təsvir etmək olar, ona görə də böyük dairə məsafəsi tənlikləri Yer səthindəki nöqtələr arasında ən qısa məsafəni hesablamaq üçün vacibdir və tez-tez naviqasiyada istifadə olunur. Bu üsulla məsafənin hesablanması onu proqnozlaşdırılan koordinatlar üçün (düzbucaqlı koordinat sistemlərində) hesablamaqdan daha səmərəli və bir çox hallarda daha dəqiqdir, çünki, birincisi, coğrafi koordinatları düzbucaqlı koordinat sisteminə çevirməyi (proyeksiya çevrilmələrini həyata keçirmək) tələb etmir və , ikincisi, bir çox proyeksiyalar, yanlış seçildikdə, proyeksiya təhriflərinin təbiətinə görə əhəmiyyətli uzunluq təhriflərinə səbəb ola bilər. Məlumdur ki, bu, kürə deyil, Yerin formasını daha dəqiq təsvir edən ellipsoiddir, lakin bu məqalədə xüsusi olaraq kürə üzərindəki məsafələrin hesablanması müzakirə edilir, hesablamalar üçün radiusu 6,372,795 metr olan kürədən istifadə olunur. , bu, 0,5% nisbətində məsafələrin hesablanmasında səhvə səbəb ola bilər.

Formulalar

Böyük dairənin sferik məsafəsini hesablamaq üçün üç yol var. 1. Sferik kosinus teoremi Kiçik məsafələr və kiçik hesablama dərinliyi (onluq yerlərin sayı) vəziyyətində düsturdan istifadə əhəmiyyətli yuvarlaqlaşdırma səhvlərinə səbəb ola bilər. φ1, λ1; φ2, λ2 - iki nöqtənin eni və uzunluğu radyanla Δλ - uzunluqda koordinatlar fərqi Δδ - bucaq fərqi Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Metriki çevirmək üçün, bucaq fərqini Yerin radiusuna (6372795 metr) vurun, son məsafənin vahidləri radiusun ifadə olunduğu vahidlərə bərabər olacaq (bu halda, metr). 2. Haversine düsturu Qısa məsafələrdə problemlərin qarşısını almaq üçün istifadə olunur. 3. Antipodlar üçün modifikasiyaƏvvəlki düstur antipodal nöqtələr probleminə də məruz qalır, onu həll etmək üçün aşağıdakı modifikasiyadan istifadə olunur.

PHP-də tətbiqim

// Yerin radiusu müəyyən ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * İki nöqtə arasındakı məsafə * $φA, $λA - 1-ci nöqtənin eni, uzunluğu, * $φB, $λB - 2-ci nöqtənin eni, uzunluğu * http://gis-lab.info/ əsasında yazılmışdır qa/great-circles.html * Mixail Kobzarev< >* */ funksiyası TheDistance hesablanır ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // koordinatları radana çevirin $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // enlik və uzunluq fərqlərinin kosinusları və sinusları $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1) ); $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // böyük dairə uzunluğu hesablamaları $y = sqrt(pow) ( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; / / $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Funksiya çağırışına misal: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo hesablayınDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metr"; // Qayıdış "17166029 metr"

Məqalə saytdan götürülüb