მანძილი წერტილიდან წერტილამდე, ფორმულები, მაგალითები, ამონახსნები. მანძილი ორ წერტილს შორის მანძილი წერტილებს შორის კოორდინატთა სიბრტყის ფორმულაზე

მიეცით მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა.

თეორემა 1.1.სიბრტყის ნებისმიერი ორი წერტილისთვის M 1 (x 1;y 1) და M 2 (x 2;y 2) მათ შორის მანძილი d გამოიხატება ფორმულით.

მტკიცებულება.მოდით ჩამოვთვალოთ M 1 B და M 2 A პერპენდიკულარები M 1 და M 2 წერტილებიდან, შესაბამისად.

Oy და Ox ღერძზე და K-ით აღვნიშნოთ M 1 B და M 2 A წრფეების გადაკვეთის წერტილი (სურ. 1.4). შესაძლებელია შემდეგი შემთხვევები:

1) წერტილები M 1, M 2 და K განსხვავებულია. ცხადია, K წერტილს აქვს კოორდინატები (x 2;y 1). ადვილი დასანახია, რომ M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. იმიტომ რომ ∆M 1 KM 2 არის მართკუთხა, შემდეგ პითაგორას თეორემით d = M 1 M 2 = = .

2) წერტილი K ემთხვევა M 2 წერტილს, მაგრამ განსხვავდება M 1 წერტილისგან (ნახ. 1.5). ამ შემთხვევაში, y 2 = y 1

და d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) წერტილი K ემთხვევა M 1 წერტილს, მაგრამ განსხვავდება M 2 წერტილისგან. ამ შემთხვევაში x 2 = x 1 და d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) წერტილი M 2 ემთხვევა M 1 წერტილს. შემდეგ x 1 = x 2, y 1 = y 2 და

d = M 1 M 2 = O = .

სეგმენტის დაყოფა ამ მხრივ.

დაე, სიბრტყეზე მიცემული იყოს თვითნებური სეგმენტი M 1 M 2 და M ─ ამის ნებისმიერი წერტილი

M 2 წერტილისგან განსხვავებული სეგმენტი (ნახ. 1.6). რიცხვი l, განისაზღვრება ტოლობით l = , დაურეკა დამოკიდებულება,რა დროსაც M ყოფს სეგმენტს M 1 M 2.

თეორემა 1.2.თუ წერტილი M(x;y) ყოფს M 1 M 2 მონაკვეთს l-თან მიმართებაში, მაშინ ამ წერტილის კოორდინატები განისაზღვრება ფორმულებით.

x = , y = , (4)

სადაც (x 1;y 1) ─ M 1 წერტილის კოორდინატები, (x 2;y 2) ─ M 2 წერტილის კოორდინატები.

მტკიცებულება.მოდით დავამტკიცოთ ფორმულებიდან პირველი (4). მეორე ფორმულა დადასტურებულია ანალოგიურად. არსებობს ორი შესაძლო შემთხვევა.

x = x 1 = = = .

2) სწორი ხაზი M 1 M 2 არ არის Ox ღერძის პერპენდიკულარული (ნახ. 1.6). მოდით ჩამოვწიოთ პერპენდიკულარები M 1, M, M 2 წერტილებიდან Ox ღერძამდე და დავნიშნოთ მათი გადაკვეთის წერტილები Ox ღერძთან შესაბამისად P 1, P, P 2. პროპორციული სეგმენტების თეორემით = ლ.

იმიტომ რომ P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô და რიცხვებს (x – x 1) და (x 2 – x) აქვთ იგივე ნიშანი (x 1–ზე< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 უარყოფითია), მაშინ

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

დასკვნა 1.2.1.თუ M 1 (x 1;y 1) და M 2 (x 2;y 2) არის ორი თვითნებური წერტილი და წერტილი M(x;y) არის M 1 M 2 სეგმენტის შუა, მაშინ

x = , y = (5)

მტკიცებულება.ვინაიდან M 1 M = M 2 M, მაშინ l = 1 და (4) ფორმულების გამოყენებით ვიღებთ ფორმულებს (5).

სამკუთხედის ფართობი.

თეორემა 1.3.ნებისმიერი წერტილისთვის A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) და C(x 3;y 3), რომლებიც არ დევს ერთსა და იმავეზე

სწორი ხაზი, ABC სამკუთხედის S ფართობი გამოიხატება ფორმულით

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

მტკიცებულება.ფართობი ∆ ABC ნაჩვენებია ნახ. 1.7, ჩვენ ვიანგარიშებთ შემდეგნაირად

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

ჩვენ ვიანგარიშებთ ტრაპეციის ფართობს:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

ახლა გვაქვს

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

სხვა ადგილისთვის ∆ ABC, ფორმულა (6) დადასტურებულია ანალოგიურად, მაგრამ შეიძლება აღმოჩნდეს „-“ ნიშნით. მაშასადამე, ფორმულაში (6) ჩასვეს მოდულის ნიშანი.

ლექცია 2.

სწორი ხაზის განტოლება სიბრტყეზე: სწორი ხაზის განტოლება ძირითადი კოეფიციენტით, სწორი ხაზის ზოგადი განტოლება, სწორი ხაზის განტოლება სეგმენტებში, სწორი ხაზის განტოლება, რომელიც გადის ორ წერტილში. სწორ ხაზებს შორის კუთხე, სიბრტყეზე სწორი ხაზების პარალელურობის და პერპენდიკულარულობის პირობები.

2.1. სიბრტყეზე მოყვანილი იყოს მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და გარკვეული ხაზი L.

განმარტება 2.1. F(x;y) = 0 ფორმის განტოლება, რომელიც აკავშირებს x და y ცვლადებს, ე.წ. ხაზის განტოლება L(მოცემულ კოორდინატულ სისტემაში), თუ ეს განტოლება კმაყოფილდება L წრფეზე მდებარე რომელიმე წერტილის კოორდინატებით და არა ამ წრფეზე არ მყოფი წერტილის კოორდინატებით.

სიბრტყეზე ხაზების განტოლების მაგალითები.

1) განვიხილოთ სწორი ხაზი მართკუთხა კოორდინატთა სისტემის Oy ღერძის პარალელურად (ნახ. 2.1). A ასოთი ავღნიშნოთ ამ წრფის გადაკვეთის წერტილი Ox ღერძთან, (a;o) ─ მისი ან-

დინატს. განტოლება x = a არის მოცემული წრფის განტოლება. მართლაც, ეს განტოლება კმაყოფილდება ამ წრფის ნებისმიერი წერტილის M(a;y) კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება არცერთი წერტილის კოორდინატებით, რომელიც არ დევს წრფეზე. თუ a = 0, მაშინ სწორი ხაზი ემთხვევა Oy ღერძს, რომელსაც აქვს განტოლება x = 0.

2) განტოლება x - y = 0 განსაზღვრავს სიბრტყის წერტილთა სიმრავლეს, რომლებიც ქმნიან I და III კოორდინატთა კუთხეების ბისექტორებს.

3) განტოლება x 2 - y 2 = 0 ─ არის კოორდინატთა კუთხეების ორი ბისექტრის განტოლება.

4) განტოლება x 2 + y 2 = 0 განსაზღვრავს ერთ წერტილს O(0;0) სიბრტყეზე.

5) განტოლება x 2 + y 2 = 25 ─ 5 რადიუსის წრის განტოლება საწყისთან ცენტრით.

მანძილი სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის.
საკოორდინაციო სისტემები

სიბრტყის თითოეული A წერტილი ხასიათდება მისი კოორდინატებით (x, y). ისინი ემთხვევა 0-დან გამომავალი ვექტორის 0A კოორდინატებს - კოორდინატების საწყისი.

მოდით A და B იყოს სიბრტყის თვითნებური წერტილები კოორდინატებით (x 1 y 1) და (x 2, y 2), შესაბამისად.

მაშინ ვექტორს AB აშკარად აქვს კოორდინატები (x 2 - x 1, y 2 - y 1). ცნობილია, რომ ვექტორის სიგრძის კვადრატი მისი კოორდინატების კვადრატების ჯამის ტოლია. მაშასადამე, მანძილი d A და B წერტილებს შორის, ან, რაც იგივეა, ვექტორის AB სიგრძე, განისაზღვრება პირობით.

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

შედეგად მიღებული ფორმულა საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ მანძილი სიბრტყის ნებისმიერ ორ წერტილს შორის, თუ ცნობილია მხოლოდ ამ წერტილების კოორდინატები.

ყოველთვის, როცა სიბრტყეზე კონკრეტული წერტილის კოორდინატებზე ვსაუბრობთ, ვგულისხმობთ კარგად განსაზღვრულ კოორდინატულ სისტემას x0y. ზოგადად, თვითმფრინავზე კოორდინატთა სისტემა შეიძლება შეირჩეს სხვადასხვა გზით. ასე რომ, x0y კოორდინატთა სისტემის ნაცვლად, შეგიძლიათ განიხილოთ x"0y" კოორდინატთა სისტემა, რომელიც მიიღება ძველი კოორდინატთა ღერძების შემობრუნებით საწყისი წერტილის გარშემო 0. საათის ისრის საწინააღმდეგოდისრები კუთხეში α .

თუ სიბრტყის გარკვეულ წერტილს კოორდინატთა სისტემაში x0y ჰქონდა კოორდინატები (x, y), მაშინ ახალ კოორდინატულ სისტემაში x"0y" ექნება სხვადასხვა კოორდინატები (x, y").

მაგალითად, განვიხილოთ წერტილი M, რომელიც მდებარეობს 0x-ღერძზე და გამოყოფილია 0 წერტილიდან 1-ის მანძილზე.

ცხადია, x0y კოორდინატთა სისტემაში ამ წერტილს აქვს კოორდინატები (cos α , ცოდვა α ), ხოლო x"0y" კოორდინატთა სისტემაში კოორდინატებია (1,0).

A და B სიბრტყეზე ნებისმიერი ორი წერტილის კოორდინატები დამოკიდებულია იმაზე, თუ როგორ არის მითითებული კოორდინატთა სისტემა ამ სიბრტყეში. მაგრამ ამ წერტილებს შორის მანძილი არ არის დამოკიდებული კოორდინატთა სისტემის მითითების მეთოდზე. ამ მნიშვნელოვან გარემოებას საგრძნობლად გამოვიყენებთ მომდევნო აბზაცში.

სავარჯიშოები

I. იპოვეთ მანძილი სიბრტყის წერტილებს შორის კოორდინატებით:

1) (3.5) და (3.4); 3) (0.5) და (5, 0); 5) (-3,4) და (9, -17);

2) (2, 1) და (- 5, 1); 4) (0, 7) და (3,3); 6) (8, 21) და (1, -3).

II. იპოვეთ სამკუთხედის პერიმეტრი, რომლის გვერდები მოცემულია განტოლებებით:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 და y = 1.

III. x0y კოორდინატთა სისტემაში M და N წერტილებს აქვთ კოორდინატები (1, 0) და (0,1), შესაბამისად. იპოვეთ ამ წერტილების კოორდინატები ახალ კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც მიიღება ძველი ღერძების სასტარტო წერტილის გარშემო 30°-იანი კუთხით საათის ისრის საწინააღმდეგოდ ბრუნვით.

IV. x0y კოორდინატთა სისტემაში M და N წერტილებს აქვთ კოორდინატები (2, 0) და (\ / 3/2, - 1/2) შესაბამისად. იპოვეთ ამ წერტილების კოორდინატები ახალ კოორდინატთა სისტემაში, რომელიც მიიღება ძველი ღერძების ამოსავალი წერტილის გარშემო 30°-იანი კუთხით საათის ისრის მიმართულებით.

ამ სტატიაში განვიხილავთ გზებს წერტილიდან წერტილამდე მანძილის დასადგენად და კონკრეტული პრობლემების მაგალითის გამოყენებით. დასაწყისისთვის, მოდით შემოვიტანოთ რამდენიმე განმარტება.

განმარტება 1

მანძილი წერტილებს შორისარის მათი დამაკავშირებელი სეგმენტის სიგრძე არსებული მასშტაბით. აუცილებელია სასწორის დაყენება, რათა გქონდეთ გაზომვის სიგრძის ერთეული. ამიტომ, ძირითადად, წერტილებს შორის მანძილის პოვნის პრობლემა წყდება მათი კოორდინატების გამოყენებით კოორდინატულ ხაზზე, კოორდინატულ სიბრტყეში ან სამგანზომილებიან სივრცეში.

საწყისი მონაცემები: კოორდინატთა წრფე O x და მასზე დევს თვითნებური წერტილი წრფის ნებისმიერ წერტილს აქვს ერთი რეალური რიცხვი: ეს იყოს გარკვეული რიცხვი A წერტილისთვის x A,ის ასევე არის A წერტილის კოორდინატი.

ზოგადად, შეგვიძლია ვთქვათ, რომ გარკვეული სეგმენტის სიგრძე ფასდება მოცემულ შკალაზე სიგრძის ერთეულად აღებულ სეგმენტთან შედარებით.

თუ წერტილი A შეესაბამება მთელ რიცხვს რეალურ რიცხვს, O წერტილიდან წერტილამდე O A სეგმენტების - სიგრძის ერთეულების თანმიმდევრობით განლაგებით, შეგვიძლია განვსაზღვროთ O A სეგმენტის სიგრძე გამოყოფილი ერთეული სეგმენტების მთლიანი რაოდენობის მიხედვით.

მაგალითად, წერტილი A შეესაბამება რიცხვს 3 - O წერტილიდან მასზე მისასვლელად, თქვენ უნდა გამორთოთ სამი ერთეული სეგმენტი. თუ A წერტილს აქვს კოორდინატი - 4, ერთეული სეგმენტები განლაგებულია ანალოგიურად, მაგრამ განსხვავებული, უარყოფითი მიმართულებით. ამრიგად, პირველ შემთხვევაში მანძილი O A უდრის 3-ს; მეორე შემთხვევაში O A = 4.

თუ A წერტილს აქვს რაციონალური რიცხვი კოორდინატად, მაშინ საწყისიდან (O წერტილი) გამოვსახავთ ერთეულების სეგმენტების მთელ რიცხვს, შემდეგ კი მის აუცილებელ ნაწილს. მაგრამ გეომეტრიულად ყოველთვის არ არის შესაძლებელი გაზომვის გაკეთება. მაგალითად, ძნელია წილადის 4 111 გამოსახვა კოორდინატთა წრფეზე.

ზემოაღნიშნული მეთოდის გამოყენებით სრულიად შეუძლებელია ირაციონალური რიცხვის სწორ ხაზზე გამოსახვა. მაგალითად, როდესაც A წერტილის კოორდინატი არის 11. ამ შემთხვევაში შესაძლებელია აბსტრაქციაზე გადასვლა: თუ A წერტილის მოცემული კოორდინატი ნულზე მეტია, მაშინ O A = x A (რიცხვი მიიღება მანძილად); თუ კოორდინატი ნულზე ნაკლებია, მაშინ O A = - x A . ზოგადად, ეს განცხადებები მართალია ნებისმიერი რეალური რიცხვისთვის x A.

შეჯამება: მანძილი საწყისიდან იმ წერტილამდე, რომელიც შეესაბამება ნამდვილ რიცხვს კოორდინატთა წრფეზე უდრის:

• 0 თუ წერტილი ემთხვევა საწყისს;

• x A, თუ x A > 0;

• - x A თუ x A< 0 .

ამ შემთხვევაში აშკარაა, რომ თავად სეგმენტის სიგრძე არ შეიძლება იყოს უარყოფითი, ამიტომ მოდულის ნიშნის გამოყენებით ვწერთ მანძილს O წერტილიდან A წერტილამდე კოორდინატით. x A: O A = x A

შემდეგი განცხადება იქნება ჭეშმარიტი: მანძილი ერთი წერტილიდან მეორემდე იქნება კოორდინატთა სხვაობის მოდულის ტოლი.იმათ. A და B წერტილებისთვის, რომლებიც დევს ერთსა და იმავე კოორდინატულ ხაზზე ნებისმიერი მდებარეობისთვის და აქვთ შესაბამისი კოორდინატები x Aდა x B: A B = x B - x A.

საწყისი მონაცემები: A და B წერტილები, რომლებიც დევს სიბრტყეზე მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y მოცემული კოორდინატებით: A (x A, y A) და B (x B, y B).

მოდით დავხატოთ პერპენდიკულარები A და B წერტილების გავლით კოორდინატთა ღერძებზე O x და O y და შედეგად მივიღოთ პროექციის წერტილები: A x, A y, B x, B y. A და B წერტილების მდებარეობიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი ვარიანტები:

თუ A და B წერტილები ერთმანეთს ემთხვევა, მაშინ მათ შორის მანძილი არის ნული;

თუ A და B წერტილები დევს O x ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე (აბსცისების ღერძი), მაშინ წერტილები ემთხვევა და | A B | = | A y B y | . ვინაიდან წერტილებს შორის მანძილი უდრის მათი კოორდინატების სხვაობის მოდულს, მაშინ A y B y = y B - y A და, შესაბამისად, A B = A y B y = y B - y A.

თუ A და B წერტილები დევს O y ღერძის (ორდინატთა ღერძი) პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე - წინა აბზაცის ანალოგიით: A B = A x B x = x B - x A.

თუ წერტილები A და B არ დევს სწორ ხაზზე ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძის პერპენდიკულარულად, ჩვენ ვიპოვით მათ შორის მანძილს გამოთვლის ფორმულის გამოყვანით:

ჩვენ ვხედავთ, რომ სამკუთხედი A B C არის მართკუთხა სტრუქტურა. ამ შემთხვევაში, A C = A x B x და B C = A y B y. პითაგორას თეორემის გამოყენებით ვქმნით ტოლობას: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 და შემდეგ გარდაქმნის მას: A B = A x B x 2 + A y B. y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

გამოვიტანოთ დასკვნა მიღებული შედეგიდან: მანძილი A წერტილიდან B წერტილამდე სიბრტყეზე განისაზღვრება გაანგარიშებით ფორმულის გამოყენებით ამ წერტილების კოორდინატების გამოყენებით.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

შედეგად მიღებული ფორმულა ასევე ადასტურებს ადრე ჩამოყალიბებულ განცხადებებს წერტილების დამთხვევის შემთხვევებისთვის ან სიტუაციებისთვის, როდესაც წერტილები მდებარეობს ღერძების პერპენდიკულარულ სწორ ხაზებზე. ასე რომ, თუ A და B წერტილები ერთმანეთს ემთხვევა, შემდეგი ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

იმ სიტუაციისთვის, როდესაც A და B წერტილები მდებარეობს x ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

იმ შემთხვევისთვის, როდესაც A და B წერტილები დევს ორდინატთა ღერძის პერპენდიკულარულ სწორ ხაზზე:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

საწყისი მონაცემები: მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა O x y z, რომელზეც დევს თვითნებური წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (x A, y A, z A) და B (x B, y B, z B). აუცილებელია ამ წერტილებს შორის მანძილის დადგენა.

განვიხილოთ ზოგადი შემთხვევა, როდესაც A და B წერტილები არ დევს ერთ-ერთი საკოორდინატო სიბრტყის პარალელურ სიბრტყეში. დავხაზოთ სიბრტყეები კოორდინატთა ღერძებზე პერპენდიკულარული A და B წერტილების გავლით და მივიღოთ შესაბამისი პროექციის წერტილები: A x , A y , A z , B x , B y , B z.

A და B წერტილებს შორის მანძილი არის მიღებული პარალელეპიპედის დიაგონალი. ამ პარალელეპიპედის გაზომვების კონსტრუქციის მიხედვით: A x B x , A y B y და A z B z

გეომეტრიის კურსიდან ვიცით, რომ პარალელეპიპედის დიაგონალის კვადრატი უდრის მისი ზომების კვადრატების ჯამს. ამ განცხადების საფუძველზე ვიღებთ ტოლობას: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

ადრე მიღებული დასკვნების გამოყენებით, ჩვენ ვწერთ შემდეგს:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

მოდით გადავცვალოთ გამოთქმა:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

საბოლოო სივრცეში წერტილებს შორის მანძილის განსაზღვრის ფორმულაასე გამოიყურება:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

მიღებული ფორმულა ასევე მოქმედებს იმ შემთხვევებში, როდესაც:

პუნქტები ერთმანეთს ემთხვევა;

ისინი დევს ერთ კოორდინატულ ღერძზე ან სწორ ხაზზე, რომელიც პარალელურად არის ერთ-ერთი საკოორდინატო ღერძი.

ამოცანების ამოხსნის მაგალითები წერტილებს შორის მანძილის პოვნაზე

მაგალითი 1

საწყისი მონაცემები: მოცემულია კოორდინატთა ხაზი და მასზე მდებარე წერტილები მოცემული კოორდინატებით A (1 - 2) და B (11 + 2). აუცილებელია ვიპოვოთ მანძილი საწყისი წერტილიდან O-დან A წერტილამდე და A და B წერტილებს შორის.

გამოსავალი

1. მანძილი საცნობარო წერტილიდან წერტილამდე უდრის ამ წერტილის კოორდინატის მოდულს, შესაბამისად O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. A და B წერტილებს შორის მანძილს განვსაზღვრავთ, როგორც ამ წერტილების კოორდინატებს შორის სხვაობის მოდულს: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

პასუხი: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

მაგალითი 2

საწყისი მონაცემები: მოცემულია მართკუთხა კოორდინატთა სისტემა და მასზე მდებარე ორი წერტილი A (1, - 1) და B (λ + 1, 3). λ არის რეალური რიცხვი. აუცილებელია ამ რიცხვის ყველა მნიშვნელობის პოვნა, რომლებზეც მანძილი A B იქნება 5-ის ტოლი.

გამოსავალი

A და B წერტილებს შორის მანძილის დასადგენად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულა A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

რეალური კოორდინატების მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

ჩვენ ასევე ვიყენებთ არსებულ პირობას, რომ A B = 5 და მაშინ ტოლობა იქნება ჭეშმარიტი:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

პასუხი: A B = 5, თუ λ = ± 3.

მაგალითი 3

საწყისი მონაცემები: სამგანზომილებიანი სივრცე მითითებულია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში O x y z და მასში მდებარე წერტილები A (1, 2, 3) და B - 7, - 2, 4.

გამოსავალი

პრობლემის გადასაჭრელად ვიყენებთ ფორმულას A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

რეალური მნიშვნელობების ჩანაცვლებით მივიღებთ: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

პასუხი: | A B | = 9

თუ ტექსტში შენიშნეთ შეცდომა, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

აქ იქნება კალკულატორი

მანძილი ხაზზე ორ წერტილს შორის

განვიხილოთ კოორდინატთა ხაზი, რომელზეც აღინიშნება 2 წერტილი: ა ა ადა B B ბ. ამ წერტილებს შორის მანძილის დასადგენად, თქვენ უნდა იპოვოთ სეგმენტის სიგრძე A B AB A B. ეს კეთდება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

მანძილი ხაზზე ორ წერტილს შორის

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−ბ∣,

სად ა, ბ ა, ბ ა, ბ- ამ წერტილების კოორდინატები სწორ ხაზზე (კოორდინატთა ხაზი).

გამომდინარე იქიდან, რომ ფორმულა შეიცავს მოდულს, მისი ამოხსნისას არ აქვს მნიშვნელობა რომელი კოორდინატი გამოვაკლოთ (რადგან ამ სხვაობის აბსოლუტური მნიშვნელობა აღებულია).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ ბ −ა∣

მოდით შევხედოთ მაგალითს, რომ უკეთ გავიგოთ ასეთი პრობლემების გადაწყვეტა.

მაგალითი 1

ქულები აღინიშნება კოორდინატთა ხაზზე ა ა ა, რომლის კოორდინატი უდრის 9 9 9 და პერიოდი B B ბკოორდინატთან ერთად − 1 -1 − 1 . ჩვენ უნდა ვიპოვოთ მანძილი ამ ორ წერტილს შორის.

გამოსავალი

აქ a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

ჩვენ ვიყენებთ ფორმულას და ვცვლით მნიშვნელობებს:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

უპასუხე

მანძილი სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის

განვიხილოთ სიბრტყეზე მოცემული ორი წერტილი. თვითმფრინავზე მონიშნული თითოეული წერტილიდან, თქვენ უნდა ჩამოწიოთ ორი პერპენდიკულარი: ღერძამდე O X OX O Xდა ღერძზე OY OY OY. შემდეგ განიხილება სამკუთხედი A B C ABC A B C. რადგან ის მართკუთხაა ( B C ძვ.წ B Cპერპენდიკულარული A C AC A C), შემდეგ იპოვნეთ სეგმენტი A B AB A B, რომელიც ასევე არის მანძილი წერტილებს შორის, შეიძლება გაკეთდეს პითაგორას თეორემის გამოყენებით. ჩვენ გვაქვს:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2ა ბ 2 = ა C 2 + ბ C 2

მაგრამ, გამომდინარე იქიდან, რომ სიგრძე A C AC A Cტოლია x B − x A x_B-x_A x ბ​ − x ა​ და სიგრძე B C ძვ.წ B Cტოლია y B − y A y_B-y_A წ ბ​ − წ ა​ , ეს ფორმულა შეიძლება გადაიწეროს შემდეგნაირად:

მანძილი სიბრტყეზე ორ წერტილს შორის

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x ბ​ − x ა​ ) 2 + (წ ბ​ − წ ა​ ) 2 ​ ,

სად x A , y A x_A, y_A x ა​ , წ ა​ და x B, y B x_B, y_B x ბ​ , წ ბ​ - წერტილების კოორდინატები ა ა ადა B B ბშესაბამისად.

მაგალითი 2

აუცილებელია პუნქტებს შორის მანძილის პოვნა C C Cდა ფ ფ ფ, თუ პირველის კოორდინატები (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) და მეორე - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

გამოსავალი

X C = 8 x_C=8 x C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 წ C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x ფ​ = 4
y F = 2 y_F=2 წ ფ​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x ფ​ − x C​ ) 2 + (წ ფ​ − წ C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

უპასუხე

მანძილი ორ წერტილს შორის სივრცეში

ორ წერტილს შორის მანძილის პოვნა ამ შემთხვევაში წინას მსგავსია, გარდა იმისა, რომ წერტილის კოორდინატები მითითებულია სამი ნომრით, შესაბამისად, აპლიკაციის ღერძის კოორდინატიც უნდა დაემატოს ფორმულას. ფორმულა ასე გამოიყურება:

მანძილი ორ წერტილს შორის სივრცეში

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x ბ​ − x ა​ ) 2 + (წ ბ​ − წ ა​ ) 2 + (ზ ბ​ − ზა​ ) 2 ​

მაგალითი 3

იპოვეთ სეგმენტის სიგრძე FK FKფკსივრცეში, თუ მის ბოლოებზე წერტილების კოორდინატები ასეთია: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) და (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . დამრგვალეთ პასუხი უახლოეს მთელ რიცხვამდე.

გამოსავალი

$ფ=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3;\; 6;\; 0)\; K=(-3;6;0)კ=(-3;6;0)$

$ფკ=\sqrt{(x^{კ-x^{ფ{)}^{2+({წ}^{კ-{წ}^{ფ{)}^{2+({ზ}^{კ-{ზ}^{ფ{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

პრობლემის პირობების მიხედვით, პასუხი უნდა დავამრგვალოთ მთელ რიცხვზე.

წერტილებს შორის მანძილის გამოთვლა სიბრტყეზე მათი კოორდინატებით არის ელემენტარული, ეს ცოტა უფრო რთულია: ჩვენ განვიხილავთ წერტილებს შორის მანძილისა და საწყისი აზიმუტის გაზომვას პროექციის გარდაქმნების გარეშე. პირველ რიგში, მოდით გავიგოთ ტერმინოლოგია.

შესავალი

დიდი წრის რკალის სიგრძე– უმოკლესი მანძილი სფეროს ზედაპირზე მდებარე ნებისმიერ ორ წერტილს შორის, რომელიც იზომება ამ ორი წერტილის დამაკავშირებელი ხაზის გასწვრივ (ასეთ ხაზს ეწოდება ორთოდრომია) და გადის სფეროს ზედაპირის ან ბრუნვის სხვა ზედაპირის გასწვრივ. სფერული გეომეტრია განსხვავდება ჩვეულებრივი ევკლიდური გეომეტრიისაგან და მანძილის განტოლებებიც განსხვავებულ ფორმას იღებს. ევკლიდეს გეომეტრიაში ორ წერტილს შორის ყველაზე მოკლე მანძილი არის სწორი ხაზი. სფეროზე არ არის სწორი ხაზები. სფეროზე ეს ხაზები დიდი წრეების ნაწილია - წრეები, რომელთა ცენტრები ემთხვევა სფეროს ცენტრს. საწყისი აზიმუტი- აზიმუტი, რომლის აღება A წერტილიდან გადაადგილებისას, B წერტილამდე უმოკლეს მანძილის გავლისას დიდი წრის მიყოლებით, ბოლო წერტილი იქნება B წერტილი. A წერტილიდან B წერტილამდე დიდი წრის ხაზის გასწვრივ გადაადგილებისას აზიმუტი მიმდინარე პოზიცია ბოლო წერტილამდე B არის მუდმივი, იცვლება. საწყისი აზიმუტი განსხვავდება მუდმივისაგან, რომლის შემდეგაც აზიმუტი მიმდინარე წერტილიდან ბოლო წერტილამდე არ იცვლება, მაგრამ გავლილი მარშრუტი არ არის უმოკლესი მანძილი ორ წერტილს შორის.

სფეროს ზედაპირის ნებისმიერი ორი წერტილის მეშვეობით, თუ ისინი ერთმანეთის პირდაპირ საპირისპირო არ არიან (ანუ ისინი არ არიან ანტიპოდები), შეიძლება დაიხაზოს უნიკალური დიდი წრე. ორი წერტილი დიდ წრეს ორ რკალად ყოფს. მოკლე რკალის სიგრძე არის უმოკლეს მანძილი ორ წერტილს შორის. უსასრულო რაოდენობის დიდი წრე შეიძლება დაიხაზოს ორ ანტიპოდურ წერტილს შორის, მაგრამ მათ შორის მანძილი იქნება იგივე ნებისმიერ წრეზე და ტოლი იქნება წრის წრეწირის ნახევარი, ან π*R, სადაც R არის სფეროს რადიუსი.

სიბრტყეზე (მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში), დიდი წრეები და მათი ფრაგმენტები, როგორც ზემოთ აღინიშნა, წარმოადგენს რკალებს ყველა პროექციაში, გარდა გნომონურისა, სადაც დიდი წრეები სწორი ხაზებია. პრაქტიკაში, ეს ნიშნავს, რომ თვითმფრინავები და სხვა საჰაერო ტრანსპორტი ყოველთვის იყენებენ წერტილებს შორის მინიმალური მანძილის მარშრუტს საწვავის დაზოგვის მიზნით, ანუ ფრენა ხორციელდება დიდი წრის მანძილზე, თვითმფრინავში ის რკალს ჰგავს.

დედამიწის ფორმა შეიძლება შეფასდეს, როგორც სფერო, ამიტომ დიდი წრის მანძილის განტოლებები მნიშვნელოვანია დედამიწის ზედაპირზე წერტილებს შორის უმოკლეს მანძილის გამოსათვლელად და ხშირად გამოიყენება ნავიგაციაში. ამ მეთოდით მანძილის გამოთვლა უფრო ეფექტური და ხშირ შემთხვევაში უფრო ზუსტია, ვიდრე პროგნოზირებული კოორდინატებისთვის (მართკუთხა კოორდინატულ სისტემებში), რადგან, პირველ რიგში, იგი არ საჭიროებს გეოგრაფიული კოორდინატების მართკუთხა კოორდინატულ სისტემად გადაქცევას (პროექციული გარდაქმნების განხორციელება) და მეორეც, ბევრმა პროექციამ, თუ არასწორად არის შერჩეული, შეიძლება გამოიწვიოს სიგრძის მნიშვნელოვანი დამახინჯება პროექციის დამახინჯების ბუნების გამო. ცნობილია, რომ ეს არ არის სფერო, არამედ ელიფსოიდი, რომელიც უფრო ზუსტად აღწერს დედამიწის ფორმას, თუმცა, ამ სტატიაში განხილულია მანძილების გამოთვლა კონკრეტულად სფეროზე, გამოთვლებისთვის გამოყენებულია სფერო 6,372,795 მეტრით , რამაც შეიძლება გამოიწვიოს შეცდომა 0,5% მანძილების გამოთვლაში.

ფორმულები

დიდი წრის სფერული მანძილის გამოსათვლელად სამი გზა არსებობს. 1. სფერული კოსინუსების თეორემამცირე მანძილების და მცირე გამოთვლის სიღრმის შემთხვევაში (ათწილადების რაოდენობა), ფორმულის გამოყენებამ შეიძლება გამოიწვიოს მნიშვნელოვანი დამრგვალების შეცდომები. φ1, λ1; φ2, λ2 - ორი წერტილის გრძედი და გრძედი რადიანებში Δλ - კოორდინატთა სხვაობა გრძედში Δδ - კუთხური სხვაობა Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) კუთხური მანძილის მეტრულზე გადასაყვანად საჭიროა გავამრავლოთ კუთხური სხვაობა დედამიწის რადიუსზე (6372795 მეტრი), საბოლოო მანძილის ერთეულები ტოლი იქნება იმ ერთეულების, რომლებშიც გამოიხატება რადიუსი (ამ შემთხვევაში მეტრი). 2. ჰავერსინის ფორმულაგამოიყენება მოკლე დისტანციებზე პრობლემების თავიდან ასაცილებლად. 3. მოდიფიკაცია ანტიპოდებისთვისწინა ფორმულა ასევე ექვემდებარება ანტიპოდური წერტილების პრობლემას მის გადასაჭრელად, გამოიყენება შემდეგი მოდიფიკაცია.

ჩემი განხორციელება PHP-ზე

// დედამიწის რადიუსის განსაზღვრა ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * მანძილი ორ წერტილს შორის * $φA, $λA - გრძედი, 1-ლი წერტილის გრძედი, * $φB, $λB - გრძედი, მე-2 წერტილის განედი * დაწერილია http://gis-lab.info/-ზე დაყრდნობით qa/great-circles.html * მიხაილ კობზარევი< >* */ ფუნქცია გამოთვალეთ მანძილი ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // კოორდინატების გადაქცევა რადიანებად $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180 $ λB * M_PI / 180 // გრძედი და გრძედი $cl1 = $sl2 ; long1; $x = $sl1 * $cl2 * $cdelta = $dist = $dist * EARTH_RADIUS ფუნქციის გამოძახების მაგალითი; = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; ექო გამოთვალეთ მანძილი ($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "მეტრი"; // დაბრუნება "17166029 მეტრი"

სტატია აღებულია საიტიდან