Distanța de la punct la punct, formule, exemple, soluții. Distanța dintre două puncte Distanța dintre punctele dintr-o formulă de plan de coordonate

Să fie dat un sistem de coordonate dreptunghiular.

Teorema 1.1. Pentru oricare două puncte M 1 (x 1;y 1) și M 2 (x 2;y 2) ale planului, distanța d dintre ele este exprimată prin formula

Dovada. Să aruncăm perpendicularele M 1 B și M 2 A din punctele M 1 și, respectiv, M 2

pe axa Oy și Ox și notăm cu K punctul de intersecție al dreptelor M 1 B și M 2 A (Fig. 1.4). Sunt posibile următoarele cazuri:

1) Punctele M 1, M 2 și K sunt diferite. Evident, punctul K are coordonate (x 2;y 1). Este ușor de observat că M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Deoarece ∆M 1 KM 2 este dreptunghiular, apoi după teorema lui Pitagora d = M 1 M 2 = = .

2) Punctul K coincide cu punctul M 2, dar este diferit de punctul M 1 (Fig. 1.5). În acest caz, y 2 = y 1

și d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Punctul K coincide cu punctul M 1, dar este diferit de punctul M 2. În acest caz x 2 = x 1 și d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Punctul M 2 coincide cu punctul M 1. Atunci x 1 = x 2, y 1 = y 2 și

d = M 1 M 2 = O = .

Împărțirea unui segment în acest sens.

Fie dat un segment arbitrar M 1 M 2 pe plan și fie M ─ orice punct al acestui

segment diferit de punctul M 2 (Fig. 1.6). Numărul l, definit de egalitatea l = , numit atitudine, moment în care M împarte segmentul M 1 M 2.

Teorema 1.2. Dacă un punct M(x;y) împarte segmentul M 1 M 2 în raport cu l, atunci coordonatele acestui punct sunt determinate de formulele

x = , y = , (4)

unde (x 1;y 1) ─ coordonatele punctului M 1, (x 2;y 2) ─ coordonatele punctului M 2.

Dovada. Să demonstrăm prima dintre formulele (4). A doua formulă este dovedită în mod similar. Există două cazuri posibile.

x = x 1 = = = .

2) Linia dreaptă M 1 M 2 nu este perpendiculară pe axa Ox (Fig. 1.6). Să coborâm perpendicularele de la punctele M 1, M, M 2 la axa Ox și să desemnăm punctele de intersecție a acestora cu axa Ox ca P 1, P, P 2, respectiv. Prin teorema segmentelor proporţionale = l.

Deoarece P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô și numerele (x – x 1) și (x 2 – x) au același semn (la x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 sunt negative), atunci

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Corolarul 1.2.1. Dacă M 1 (x 1;y 1) și M 2 (x 2;y 2) sunt două puncte arbitrare și punctul M(x;y) este mijlocul segmentului M 1 M 2, atunci

x = , y = (5)

Dovada. Deoarece M 1 M = M 2 M, atunci l = 1 și folosind formulele (4) obținem formulele (5).

Aria unui triunghi.

Teorema 1.3. Pentru orice puncte A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) și C(x 3;y 3) care nu se află pe același

linie dreaptă, aria S a triunghiului ABC este exprimată prin formula

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Dovada. Zona ∆ ABC prezentată în Fig. 1.7, calculăm după cum urmează

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Calculăm aria trapezelor:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Acum avem

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Pentru o altă locație ∆ ABC, formula (6) este demonstrată într-un mod similar, dar se poate dovedi cu semnul „-”. Prin urmare, în formula (6) au pus semnul modulului.

Cursul 2.

Ecuația unei drepte pe un plan: ecuația unei drepte cu coeficient principal, ecuația generală a unei drepte, ecuația unei drepte în segmente, ecuația unei drepte care trece prin două puncte. Unghiul dintre drepte, condițiile de paralelism și perpendicularitate ale dreptelor pe un plan.

2.1. Fie un sistem de coordonate dreptunghiular și o dreaptă L pe plan.

Definiție 2.1. O ecuație de forma F(x;y) = 0, care conectează variabilele x și y, se numește ecuația dreaptă L(într-un sistem de coordonate dat), dacă această ecuație este îndeplinită de coordonatele oricărui punct situat pe dreapta L și nu de coordonatele oricărui punct care nu se află pe această dreaptă.

Exemple de ecuații de drepte pe un plan.

1) Se consideră o linie dreaptă paralelă cu axa Oy a sistemului de coordonate dreptunghiulare (Fig. 2.1). Să notăm cu litera A punctul de intersecție al acestei drepte cu axa Ox, (a;o) ─ or-

dinats. Ecuația x = a este ecuația dreptei date. Într-adevăr, această ecuație este îndeplinită de coordonatele oricărui punct M(a;y) al acestei drepte și nu este îndeplinită de coordonatele oricărui punct care nu se află pe linie. Dacă a = 0, atunci linia dreaptă coincide cu axa Oy, care are ecuația x = 0.

2) Ecuația x - y = 0 definește mulțimea de puncte ale planului care alcătuiesc bisectoarele unghiurilor de coordonate I și III.

3) Ecuația x 2 - y 2 = 0 ─ este ecuația a două bisectoare ale unghiurilor de coordonate.

4) Ecuația x 2 + y 2 = 0 definește un singur punct O(0;0) pe plan.

5) Ecuația x 2 + y 2 = 25 ─ ecuația unui cerc cu raza 5 cu centrul la origine.

Distanța dintre două puncte dintr-un plan.
Sisteme de coordonate

Fiecare punct A al planului este caracterizat de coordonatele sale (x, y). Ele coincid cu coordonatele vectorului 0A care iese din punctul 0 - originea coordonatelor.

Fie A și B puncte arbitrare ale planului cu coordonatele (x 1 y 1) și respectiv (x 2, y 2).

Atunci vectorul AB are în mod evident coordonate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Se știe că pătratul lungimii unui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor acestuia. Prin urmare, distanța d dintre punctele A și B, sau, ceea ce este același, lungimea vectorului AB, este determinată din condiția

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Formula rezultată vă permite să găsiți distanța dintre oricare două puncte din plan, dacă numai coordonatele acestor puncte sunt cunoscute

De fiecare dată când vorbim despre coordonatele unui anumit punct din plan, ne referim la un sistem de coordonate bine definit x0y. În general, sistemul de coordonate dintr-un plan poate fi ales în diferite moduri. Deci, în loc de sistemul de coordonate x0y, puteți lua în considerare sistemul de coordonate x"0y", care se obține prin rotirea vechilor axe de coordonate în jurul punctului de plecare 0 în sens invers acelor de ceasornic săgeți pe colț α .

Dacă un anumit punct al planului din sistemul de coordonate x0y avea coordonate (x, y), atunci în noul sistem de coordonate x"0y" va avea coordonate diferite (x, y").

Ca exemplu, luați în considerare punctul M, situat pe axa 0x și separat de punctul 0 la o distanță de 1.

Evident, în sistemul de coordonate x0y acest punct are coordonate (cos α , păcat α ), iar în sistemul de coordonate x"0y" coordonatele sunt (1,0).

Coordonatele oricăror două puncte din planul A și B depind de modul în care este specificat sistemul de coordonate în acest plan. Dar distanța dintre aceste puncte nu depinde de metoda de specificare a sistemului de coordonate. Vom folosi în mod semnificativ această circumstanță importantă în paragraful următor.

Exerciții

I. Aflați distanțele dintre punctele planului cu coordonate:

1) (3,5) și (3,4); 3) (0,5) și (5, 0); 5) (-3,4) și (9, -17);

2) (2, 1) și (- 5, 1); 4) (0, 7) și (3,3); 6) (8, 21) și (1, -3).

II. Aflați perimetrul unui triunghi ale cărui laturi sunt date de ecuațiile:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 și y = 1.

III. În sistemul de coordonate x0y, punctele M și N au coordonatele (1, 0) și respectiv (0,1). Găsiți coordonatele acestor puncte în noul sistem de coordonate, care se obține prin rotirea axelor vechi în jurul punctului de plecare cu un unghi de 30° în sens invers acelor de ceasornic.

IV. În sistemul de coordonate x0y, punctele M și N au coordonatele (2, 0) și (\ / 3/2, respectiv - 1/2). Găsiți coordonatele acestor puncte în noul sistem de coordonate, care se obține prin rotirea axelor vechi în jurul punctului de plecare cu un unghi de 30° în sensul acelor de ceasornic.

În acest articol vom analiza modalități de a determina distanța de la un punct la altul teoretic și folosind exemplul unor sarcini specifice. Pentru început, să introducem câteva definiții.

Definiția 1

Distanța dintre puncte este lungimea segmentului care le leagă, pe scara existentă. Este necesar să setați o scară pentru a avea o unitate de lungime pentru măsură. Prin urmare, practic problema găsirii distanței dintre puncte se rezolvă folosind coordonatele acestora pe o linie de coordonate, într-un plan de coordonate sau spațiu tridimensional.

Date inițiale: linia de coordonate O x și un punct arbitrar A aflat pe ea. Orice punct de pe linie are un număr real: să fie un anumit număr pentru punctul A x A, este, de asemenea, coordonata punctului A.

În general, putem spune că lungimea unui anumit segment este evaluată în comparație cu un segment luat ca unitate de lungime pe o scară dată.

Dacă punctului A corespunde unui număr real întreg, prin așezarea succesivă de la punctul O la punct de-a lungul liniei drepte segmente O A - unități de lungime, putem determina lungimea segmentului O A din numărul total de segmente unitare puse deoparte.

De exemplu, punctul A corespunde numărului 3 - pentru a ajunge la el din punctul O, va trebui să concediați trei segmente de unitate. Dacă punctul A are coordonata - 4, segmentele de unitate sunt așezate într-un mod similar, dar într-o direcție diferită, negativă. Astfel, în primul caz, distanța O A este egală cu 3; în al doilea caz O A = 4.

Dacă punctul A are un număr rațional ca coordonată, atunci de la origine (punctul O) trasăm un număr întreg de segmente de unitate și apoi partea necesară. Dar din punct de vedere geometric nu este întotdeauna posibil să se facă o măsurătoare. De exemplu, pare dificil să reprezentați fracția 4 111 pe linia de coordonate.

Folosind metoda de mai sus, este complet imposibil să trasezi un număr irațional pe o linie dreaptă. De exemplu, când coordonata punctului A este 11. În acest caz, se poate trece la abstractizare: dacă coordonata dată a punctului A este mai mare decât zero, atunci O A = x A (numărul este luat ca distanță); dacă coordonata este mai mică decât zero, atunci O A = - x A . În general, aceste afirmații sunt adevărate pentru orice număr real x A.

Pentru a rezuma: distanța de la origine până la punctul care corespunde unui număr real de pe linia de coordonate este egală cu:

• 0 dacă punctul coincide cu originea;

• x A, dacă x A > 0;

• - x A dacă x A< 0 .

În acest caz, este evident că lungimea segmentului în sine nu poate fi negativă, prin urmare, folosind semnul modulului, scriem distanța de la punctul O la punctul A cu coordonatele x A: O A = x A

Următoarea afirmație va fi adevărată: distanța de la un punct la altul va fi egală cu modulul diferenței de coordonate. Acestea. pentru punctele A și B situate pe aceeași linie de coordonate pentru orice locație și având coordonatele corespunzătoare x AȘi x B: A B = x B - x A .

Date inițiale: punctele A și B situate pe un plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular O x y cu coordonatele date: A (x A, y A) și B (x B, y B).

Să trasăm perpendiculare prin punctele A și B pe axele de coordonate O x și O y și să obținem ca rezultat punctele de proiecție: A x, A y, B x, B y. Pe baza locației punctelor A și B, sunt posibile următoarele opțiuni:

Dacă punctele A și B coincid, atunci distanța dintre ele este zero;

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa O x (axa absciselor), atunci punctele coincid și | A B | = | A y B y | . Deoarece distanța dintre puncte este egală cu modulul diferenței coordonatelor lor, atunci A y B y = y B - y A și, prin urmare, A B = A y B y = y B - y A.

Dacă punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa O y (axa ordonatelor) - prin analogie cu paragraful anterior: A B = A x B x = x B - x A

Dacă punctele A și B nu se află pe o dreaptă perpendiculară pe una dintre axele de coordonate, vom găsi distanța dintre ele derivând formula de calcul:

Vedem că triunghiul A B C este dreptunghiular în construcție. În acest caz, A C = A x B x și B C = A y B y. Folosind teorema lui Pitagora, creăm egalitatea: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , iar apoi o transformăm: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Să tragem o concluzie din rezultatul obținut: distanța de la punctul A la punctul B din plan se determină prin calcul folosind formula folosind coordonatele acestor puncte

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Formula rezultată confirmă, de asemenea, afirmațiile formate anterior pentru cazurile de coincidență a punctelor sau situații în care punctele se află pe linii drepte perpendiculare pe axe. Deci, dacă punctele A și B coincid, următoarea egalitate va fi adevărată: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Pentru o situație în care punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Pentru cazul în care punctele A și B se află pe o dreaptă perpendiculară pe axa ordonatelor:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Date inițiale: un sistem de coordonate dreptunghiular O x y z cu puncte arbitrare situate pe el cu coordonatele date A (x A, y A, z A) și B (x B, y B, z B). Este necesar să se determine distanța dintre aceste puncte.

Să luăm în considerare cazul general când punctele A și B nu se află într-un plan paralel cu unul dintre planurile de coordonate. Să desenăm plane perpendiculare pe axele de coordonate prin punctele A și B și să obținem punctele de proiecție corespunzătoare: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Distanța dintre punctele A și B este diagonala paralelipipedului rezultat. Conform construcției măsurătorilor acestui paralelipiped: A x B x , A y B y și A z B z

Din cursul geometriei știm că pătratul diagonalei unui paralelipiped este egal cu suma pătratelor dimensiunilor acestuia. Pe baza acestei afirmații, obținem egalitatea: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Folosind concluziile obținute mai devreme, scriem următoarele:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Să transformăm expresia:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final formula pentru determinarea distantei dintre punctele din spatiu va arata asa:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Formula rezultată este valabilă și pentru cazurile în care:

Punctele coincid;

Ele se află pe o axă de coordonate sau pe o linie dreaptă paralelă cu una dintre axele de coordonate.

Exemple de rezolvare a problemelor privind găsirea distanței dintre puncte

Exemplul 1

Date inițiale: sunt date o linie de coordonate și puncte care se află pe ea cu coordonatele date A (1 - 2) și B (11 + 2). Este necesar să se găsească distanța de la punctul de origine O la punctul A și dintre punctele A și B.

Soluţie

1. Distanța de la punctul de referință la punct este egală cu modulul coordonatei acestui punct, respectiv O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Definim distanta dintre punctele A si B ca fiind modulul diferentei dintre coordonatele acestor puncte: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Răspuns: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Exemplul 2

Date inițiale: un sistem de coordonate dreptunghiular și două puncte situate pe el sunt date A (1, - 1) și B (λ + 1, 3). λ este un număr real. Este necesar să găsiți toate valorile acestui număr la care distanța A B va fi egală cu 5.

Soluţie

Pentru a afla distanța dintre punctele A și B, trebuie să utilizați formula A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Înlocuind valorile coordonatelor reale, obținem: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

De asemenea, folosim condiția existentă ca A B = 5 și atunci egalitatea va fi adevărată:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Răspuns: A B = 5 dacă λ = ± 3.

Exemplul 3

Date inițiale: un spațiu tridimensional este specificat în sistemul de coordonate dreptunghiular O x y z și punctele A (1, 2, 3) și B - 7, - 2, 4 aflate în el.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, folosim formula A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Înlocuind valorile reale, obținem: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Raspuns: | A B | = 9

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Aici va fi un calculator

Distanța dintre două puncte de pe o dreaptă

Luați în considerare o linie de coordonate pe care sunt marcate 2 puncte: A A AȘi B B B. Pentru a afla distanța dintre aceste puncte, trebuie să găsiți lungimea segmentului A B AB A B. Acest lucru se face folosind următoarea formulă:

Distanța dintre două puncte de pe o dreaptă

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b∣,

Unde a, b a, b a, b- coordonatele acestor puncte pe o dreaptă (linia de coordonate).

Datorită faptului că formula conține un modul, la rezolvarea acestuia nu este important ce coordonată să scadă din care (deoarece se ia valoarea absolută a acestei diferențe).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣ b −a∣

Să ne uităm la un exemplu pentru a înțelege mai bine soluția la astfel de probleme.

Exemplul 1

Punctele sunt marcate pe linia de coordonate A A A, a cărui coordonată este egală cu 9 9 9 și punct B B B cu coordonata − 1 -1 − 1 . Trebuie să găsim distanța dintre aceste două puncte.

Soluţie

Aici a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Folosim formula și înlocuim valorile:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Răspuns

Distanța dintre două puncte dintr-un plan

Luați în considerare două puncte date pe un plan. Din fiecare punct marcat pe plan, trebuie să coborâți două perpendiculare: Pe axă O X OX O X iar pe axă O Y OY O Y. Apoi se ia în considerare triunghiul A B C ABC A B C. Deoarece este dreptunghiular ( B C BC B C perpendicular A C AC A C), apoi găsiți segmentul A B AB A B, care este și distanța dintre puncte, se poate face folosind teorema lui Pitagora. Avem:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Dar, pe baza faptului că lungimea A C AC A C egal cu x B − x A x_B-x_A X B​ − X A​ , și lungimea B C BC B C egal cu y B − y A y_B-y_A y B​ − y A​ , această formulă poate fi rescrisă după cum urmează:

Distanța dintre două puncte dintr-un plan

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(X B​ − X A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Unde x A , y A x_A, y_A X A​ , y A​ Și x B , y B x_B, y_B X B​ , y B​ - coordonatele punctelor A A AȘi B B B respectiv.

Exemplul 2

Este necesar să găsiți distanța dintre puncte C C CȘi F F F, dacă coordonatele primului (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) și al doilea - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Soluţie

X C = 8 x_C=8 X C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 X F​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(X F​ − X C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Răspuns

Distanța dintre două puncte din spațiu

Găsirea distanței dintre două puncte în acest caz este similară cu cea precedentă, cu excepția faptului că coordonatele punctului din spațiu sunt specificate prin trei numere, coordonatele axei aplicate trebuie adăugate și la formulă; Formula va arăta astfel:

Distanța dintre două puncte din spațiu

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(X B​ − X A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Exemplul 3

Aflați lungimea segmentului FK FKFKîn spațiu dacă coordonatele punctelor de la capetele sale sunt după cum urmează: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Și (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Rotunjiți răspunsul la cel mai apropiat număr întreg.

Soluţie

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(X^{K-X^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

În funcție de condițiile problemei, trebuie să rotunjim răspunsul la un număr întreg.

Calcularea distanțelor dintre puncte pe baza coordonatelor lor pe un plan este elementară pe suprafața Pământului este puțin mai complicat: vom lua în considerare măsurarea distanței și a azimutului inițial dintre puncte fără transformări de proiecție. În primul rând, să înțelegem terminologia.

Introducere

Lungimea arcului de cerc mare– cea mai scurtă distanță dintre oricare două puncte situate pe suprafața unei sfere, măsurată de-a lungul liniei care leagă aceste două puncte (o astfel de linie se numește ortodormie) și care trece de-a lungul suprafeței sferei sau a altei suprafețe de revoluție. Geometria sferică este diferită de geometria euclidiană normală și ecuațiile de distanță iau, de asemenea, o formă diferită. În geometria euclidiană, cea mai scurtă distanță dintre două puncte este o linie dreaptă. Pe o sferă, nu există linii drepte. Aceste linii de pe sferă fac parte din cercuri mari - cercuri ale căror centre coincid cu centrul sferei. Azimut inițial- azimut, luând care la începerea deplasării din punctul A, urmând cercul mare pe cea mai scurtă distanță până la punctul B, punctul final va fi punctul B. La trecerea din punctul A în punctul B de-a lungul liniei cercului mare, azimutul de la punctul B. poziția curentă până la punctul final B este constantă se schimbă. Azimutul inițial este diferit de unul constant, în urma căruia azimutul de la punctul curent până la punctul final nu se modifică, dar traseul urmat nu este distanța cea mai scurtă dintre două puncte.

Prin oricare două puncte de pe suprafața unei sfere, dacă nu sunt direct opuse unul față de celălalt (adică nu sunt antipozi), poate fi trasat un cerc mare unic. Două puncte împart un cerc mare în două arce. Lungimea unui arc scurt este cea mai scurtă distanță dintre două puncte. Între două puncte antipode pot fi desenate un număr infinit de cercuri mari, dar distanța dintre ele va fi aceeași pe orice cerc și egală cu jumătate din circumferința cercului, sau π*R, unde R este raza sferei.

Pe un plan (într-un sistem de coordonate dreptunghiular), cercurile mari și fragmentele lor, așa cum am menționat mai sus, reprezintă arce în toate proiecțiile, cu excepția celei gnomonice, unde cercurile mari sunt linii drepte. În practică, aceasta înseamnă că avioanele și alte transporturi aeriene folosesc întotdeauna traseul distanței minime dintre puncte pentru a economisi combustibil, adică zborul se efectuează pe o distanță de cerc mare, pe un avion arată ca un arc.

Forma Pământului poate fi descrisă ca o sferă, astfel încât ecuațiile de distanță cerc mare sunt importante pentru calcularea distanței celei mai scurte dintre punctele de pe suprafața Pământului și sunt adesea folosite în navigație. Calcularea distanței prin această metodă este mai eficientă și în multe cazuri mai precisă decât calcularea acesteia pentru coordonatele proiectate (în sistemele de coordonate dreptunghiulare), deoarece, în primul rând, nu necesită conversia coordonatelor geografice într-un sistem de coordonate dreptunghiulare (efectuați transformări de proiecție) și , în al doilea rând, multe proiecții, dacă sunt selectate incorect, pot duce la distorsiuni semnificative de lungime datorită naturii distorsiunilor de proiecție. Se știe că nu este o sferă, ci un elipsoid care descrie mai precis forma Pământului, totuși, acest articol discută despre calculul distanțelor în mod specific pe o sferă, se folosește o sferă cu o rază de 6.372.795 de metri; , ceea ce poate duce la o eroare în calcularea distanțelor de ordinul a 0,5%.

Formule

Există trei moduri de a calcula distanța sferică a cercului mare. 1. Teorema cosinusului sfericÎn cazul distanțelor mici și adâncimii mici de calcul (număr de zecimale), utilizarea formulei poate duce la erori semnificative de rotunjire. φ1, λ1; φ2, λ2 - latitudinea și longitudinea a două puncte în radiani Δλ - diferența de coordonate în longitudine Δδ - diferența unghiulară Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Pentru a converti distanța unghiulară în metrică, trebuie să înmulțiți diferența unghiulară cu raza Pământului (6372795 metri), unitățile distanței finale vor fi egale cu unitățile în care se exprimă raza (în acest caz, metri). 2. Formula Havesine Folosit pentru a evita problemele la distanțe scurte. 3. Modificare pentru antipozi Formula anterioară este, de asemenea, supusă problemei punctelor antipode pentru a o rezolva, se utilizează următoarea modificare.

Implementarea mea pe PHP

// Raza pământului define("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Distanța dintre două puncte * $φA, $λA - latitudinea, longitudinea primului punct, * $φB, $λB - latitudinea, longitudinea celui de-al doilea punct * Scris pe baza http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Mihail Kobzarev< >* */ funcția calculateTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // convertiți coordonatele în radiani $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180 $long2 = $λB * M_PI // cosinus de latitudini și longitudini $cl1 = $sl2 = $long2 ; long1; $cdelta = cos($delta = sin($delta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $ad = atan2($y, $x = $ad * EARTH_RADIUS) Exemplu de apel de functie: $lat1; = 77,1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $lung2 = -139,55; echo calculateTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . „metri”; // Returnează „17166029 metri”

Articol preluat de pe site