புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கு தூரம், சூத்திரங்கள், எடுத்துக்காட்டுகள், தீர்வுகள். இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு விமான சூத்திரத்தில் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு கொடுக்கப்பட வேண்டும்.

தேற்றம் 1.1.விமானத்தின் M 1 (x 1;y 1) மற்றும் M 2 (x 2;y 2) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளுக்கும், அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் d என்பது சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

ஆதாரம். M 1 மற்றும் M 2 புள்ளிகளிலிருந்து முறையே M 1 B மற்றும் M 2 A செங்குத்தாக கைவிடுவோம்

Oy மற்றும் Ox அச்சில் மற்றும் M 1 B மற்றும் M 2 A (படம் 1.4) கோடுகளின் வெட்டும் புள்ளியை K ஆல் குறிக்கவும். பின்வரும் வழக்குகள் சாத்தியமாகும்:

1) புள்ளிகள் M 1, M 2 மற்றும் K ஆகியவை வேறுபட்டவை. வெளிப்படையாக, புள்ளி K ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது (x 2;y 1). M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô என்று பார்ப்பது எளிது. ஏனெனில் ∆M 1 KM 2 செவ்வகமானது, பின்னர் பித்தகோரியன் தேற்றத்தால் d = M 1 M 2 = = .

2) புள்ளி K புள்ளி M 2 உடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் புள்ளி M 1 இலிருந்து வேறுபட்டது (படம் 1.5). இந்த வழக்கில் y 2 = y 1

மற்றும் d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) புள்ளி K புள்ளி M 1 உடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் புள்ளி M 2 இலிருந்து வேறுபட்டது. இந்த வழக்கில் x 2 = x 1 மற்றும் d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) புள்ளி M 2 புள்ளி M 1 உடன் ஒத்துப்போகிறது. பின்னர் x 1 = x 2, y 1 = y 2 மற்றும்

d = M 1 M 2 = O = .

இந்த வகையில் ஒரு பிரிவின் பிரிவு.

விமானத்தில் ஒரு தன்னிச்சையான பிரிவு M 1 M 2 கொடுக்கப்பட்டு, M─ இதில் ஏதேனும் ஒரு புள்ளியை அனுமதிக்கவும்.

புள்ளி M 2 இலிருந்து வேறுபட்ட பிரிவு (படம் 1.6). எண் l, சமத்துவத்தால் வரையறுக்கப்படுகிறது l = , அழைக்கப்பட்டது அணுகுமுறை,இந்த கட்டத்தில் M பிரிவை M 1 M 2 பிரிக்கிறது.

தேற்றம் 1.2.ஒரு புள்ளி M(x;y) L உடன் தொடர்புடைய M 1 M 2 பகுதியைப் பிரித்தால், இந்த புள்ளியின் ஆயங்கள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன.

x = , y = , (4)

எங்கே (x 1;y 1) ─ புள்ளி M 1 இன் ஆயத்தொலைவுகள், (x 2;y 2) ─ புள்ளி M 2 இன் ஆயத்தொலைவுகள்.

ஆதாரம்.சூத்திரங்களில் முதலாவதாக (4) நிரூபிப்போம். இரண்டாவது சூத்திரம் இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இரண்டு சாத்தியமான வழக்குகள் உள்ளன.

x = x 1 = = = .

2) நேர்கோடு M 1 M 2 ஆக்ஸ் அச்சுக்கு செங்குத்தாக இல்லை (படம் 1.6). எம் 1, எம், எம் 2 புள்ளிகளிலிருந்து செங்குத்துகளை ஆக்ஸ் அச்சுக்குக் குறைத்து, அவற்றின் குறுக்குவெட்டு புள்ளிகளை ஆக்ஸ் அச்சுடன் முறையே பி 1, பி, பி 2 எனக் குறிப்பிடுவோம். விகிதாசார பிரிவுகளின் தேற்றத்தால் = எல்.

ஏனெனில் P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô மற்றும் எண்கள் (x – x 1) மற்றும் (x 2 – x) ஒரே குறி (x 1 இல்)< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 எதிர்மறையானது), பின்னர்

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

முடிவு 1.2.1. M 1 (x 1;y 1) மற்றும் M 2 (x 2;y 2) இரண்டு தன்னிச்சையான புள்ளிகளாகவும், புள்ளி M(x;y) M 1 M 2 பிரிவின் நடுவாகவும் இருந்தால்

x = , y = (5)

ஆதாரம். M 1 M = M 2 M, பின்னர் l = 1 மற்றும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (4) சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம் (5).

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு.

தேற்றம் 1.3.எந்தப் புள்ளிகளுக்கும் A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) மற்றும் C(x 3;y 3) ஆகியவை ஒரே நிலையில் இல்லை

நேர்கோடு, ABC முக்கோணத்தின் S பகுதி சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

ஆதாரம்.பகுதி ∆ ABC படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. 1.7, நாம் பின்வருமாறு கணக்கிடுகிறோம்

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

ட்ரெப்சாய்டுகளின் பகுதியை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

S ADEC =
,

S BCEF =

எஸ் ஏபிஎஃப்டி =

இப்போது எங்களிடம் உள்ளது

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

மற்றொரு இடம் ∆ ஏபிசிக்கு, சூத்திரம் (6) இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் அது “-” அடையாளத்துடன் மாறக்கூடும். எனவே, சூத்திரத்தில் (6) அவர்கள் மாடுலஸ் அடையாளத்தை வைக்கிறார்கள்.

விரிவுரை 2.

ஒரு விமானத்தில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு: ஒரு முதன்மை குணகம் கொண்ட ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு, ஒரு நேர் கோட்டின் பொது சமன்பாடு, பிரிவுகளில் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு, இரண்டு புள்ளிகள் வழியாக செல்லும் ஒரு நேர் கோட்டின் சமன்பாடு. நேர் கோடுகளுக்கு இடையே உள்ள கோணம், ஒரு விமானத்தில் நேர் கோடுகளின் இணையான நிலை மற்றும் செங்குத்தாக இருக்கும்.

2.1. விமானத்தில் ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு மற்றும் சில வரி L கொடுக்கப்பட வேண்டும்.

வரையறை 2.1. F(x;y) = 0 என்ற வடிவத்தின் சமன்பாடு, x மற்றும் y மாறிகளை இணைக்கிறது. வரி சமன்பாடு எல்(ஒரு கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்), இந்த சமன்பாடு L கோட்டில் இருக்கும் எந்தப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளால் திருப்திப்படுத்தப்பட்டால், இந்த வரியில் இல்லாத எந்தப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளால் அல்ல.

ஒரு விமானத்தில் உள்ள கோடுகளின் சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்.

1) செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் Oy அச்சுக்கு இணையான ஒரு நேர்கோட்டைக் கவனியுங்கள் (படம் 2.1). எருது அச்சுடன் இந்தக் கோட்டின் குறுக்குவெட்டு புள்ளியை A என்ற எழுத்தால் குறிப்போம், (a;o) ─ அதன் அல்லது-

டினாட்ஸ். சமன்பாடு x = a என்பது கொடுக்கப்பட்ட கோட்டின் சமன்பாடு. உண்மையில், இந்தச் சமன்பாடு இந்தக் கோட்டின் எந்தப் புள்ளியின் M(a;y) ஆயத்தொலைவுகளாலும் திருப்தி அடையும், மேலும் கோட்டில் இல்லாத எந்தப் புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளாலும் திருப்தி அடையாது. a = 0 எனில், நேர்கோடு Oy அச்சுடன் ஒத்துப்போகிறது, இதில் x = 0 சமன்பாடு இருக்கும்.

2) சமன்பாடு x - y = 0 என்பது I மற்றும் III ஒருங்கிணைப்பு கோணங்களின் இருபிரிவுகளை உருவாக்கும் விமானத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பை வரையறுக்கிறது.

3) சமன்பாடு x 2 - y 2 = 0 ─ என்பது ஆயக் கோணங்களின் இரண்டு இருபிரிவுகளின் சமன்பாடாகும்.

4) சமன்பாடு x 2 + y 2 = 0 விமானத்தில் ஒரு ஒற்றை புள்ளி O(0;0) வரையறுக்கிறது.

5) சமன்பாடு x 2 + y 2 = 25 ─ ஆரம் 5 இன் வட்டத்தின் சமன்பாடு தோற்றத்தில் மையம் கொண்டது.

ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்.
ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகள்

விமானத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் A அதன் ஆயத்தொகுப்புகளால் (x, y) வகைப்படுத்தப்படுகிறது. அவை புள்ளி 0 இலிருந்து வெளிவரும் திசையன் 0A இன் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒத்துப்போகின்றன - ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம்.

A மற்றும் B ஆகியவை முறையே ஆய (x 1 y 1) மற்றும் (x 2, y 2) கொண்ட விமானத்தின் தன்னிச்சையான புள்ளிகளாக இருக்கட்டும்.

பின்னர் திசையன் AB வெளிப்படையாக ஆயத்தொகுதிகளைக் கொண்டுள்ளது (x 2 - x 1, y 2 - y 1). ஒரு திசையன் நீளத்தின் சதுரம் அதன் ஆயங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது. எனவே, புள்ளிகள் A மற்றும் B இடையே உள்ள தூரம், அல்லது, AB இன் திசையன் நீளம், நிபந்தனையிலிருந்து தீர்மானிக்கப்படுகிறது

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம், இந்த புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் மட்டுமே தெரிந்தால், விமானத்தில் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது.

ஒவ்வொரு முறையும் நாம் விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைப் பற்றி பேசும்போது, ​​நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு x0y என்று அர்த்தம். பொதுவாக, ஒரு விமானத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை வெவ்வேறு வழிகளில் தேர்வு செய்யலாம். எனவே, x0y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புக்கு பதிலாக, நீங்கள் x"0y" ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் கருத்தில் கொள்ளலாம், இது தொடக்கப் புள்ளி 0 ஐச் சுற்றி பழைய ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. எதிரெதிர் திசையில்மூலையில் அம்புகள் α .

x0y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் உள்ள விமானத்தின் ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் ஆயத்தொலைவுகள் (x, y) இருந்தால், புதிய ஆய அமைப்பில் x"0y" வெவ்வேறு ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும் (x, y").

எடுத்துக்காட்டாக, 0x அச்சில் அமைந்துள்ள புள்ளி M ஐக் கருதுங்கள் மற்றும் புள்ளி 0 இலிருந்து 1 தூரத்தில் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது.

வெளிப்படையாக, x0y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் இந்த புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது (cos α ,பாவம் α ), மற்றும் x"0y" ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஆயத்தொகுப்புகள் (1,0) ஆகும்.

விமானம் A மற்றும் B இல் உள்ள ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் இந்த விமானத்தில் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு எவ்வாறு குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது என்பதைப் பொறுத்தது. ஆனால் இந்த புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பைக் குறிப்பிடும் முறையைப் பொறுத்தது அல்ல. இந்த முக்கியமான சூழ்நிலையை அடுத்த பத்தியில் குறிப்பிடத்தக்க வகையில் பயன்படுத்துவோம்.

பயிற்சிகள்

I. ஆயத்தொலைவுகளுடன் விமானத்தின் புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறியவும்:

1) (3.5) மற்றும் (3.4); 3) (0.5) மற்றும் (5, 0); 5) (-3,4) மற்றும் (9, -17);

2) (2, 1) மற்றும் (- 5, 1); 4) (0, 7) மற்றும் (3,3); 6) (8, 21) மற்றும் (1, -3).

II. சமன்பாடுகளால் கொடுக்கப்பட்ட பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றளவைக் கண்டறியவும்:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 மற்றும் y = 1.

III. x0y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், M மற்றும் N புள்ளிகள் முறையே ஆயத்தொகுதிகள் (1, 0) மற்றும் (0,1) உள்ளன. இந்த புள்ளிகளின் ஆயங்களை புதிய ஆய அமைப்பில் கண்டறியவும், இது பழைய அச்சுகளை தொடக்கப் புள்ளியைச் சுற்றி 30° எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

IV. x0y ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில், புள்ளிகள் M மற்றும் N ஆய (2, 0) மற்றும் (\ / 3/2, - 1/2) முறையே. இந்த புள்ளிகளின் ஆயங்களை புதிய ஆய அமைப்பில் கண்டறியவும், இது பழைய அச்சுகளை தொடக்கப் புள்ளியைச் சுற்றி 30° கடிகார திசையில் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

இந்த கட்டுரையில் கோட்பாட்டளவில் புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கு தூரத்தை தீர்மானிப்பதற்கான வழிகளைப் பார்ப்போம் மற்றும் குறிப்பிட்ட பணிகளின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்துவோம். தொடங்குவதற்கு, சில வரையறைகளை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

வரையறை 1

புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்தற்போதுள்ள அளவில், அவற்றை இணைக்கும் பிரிவின் நீளம். அளவீட்டுக்கு ஒரு அலகு நீளம் இருக்க ஒரு அளவை அமைக்க வேண்டியது அவசியம். எனவே, அடிப்படையில் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிவதில் சிக்கல் அவற்றின் ஆயத்தொலைவுகளை ஒரு ஆயக் கோட்டில், ஒரு ஆய விமானம் அல்லது முப்பரிமாண இடத்தில் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது.

ஆரம்ப தரவு: ஆயக் கோடு O x மற்றும் அதன் மீது ஒரு தன்னிச்சையான புள்ளி A உள்ளது. வரியில் உள்ள எந்தப் புள்ளியிலும் ஒரு உண்மையான எண் உள்ளது: புள்ளி A க்கு ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணாக இருக்கட்டும் x ஏ,இது புள்ளி A இன் ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

பொதுவாக, ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவின் நீளம், கொடுக்கப்பட்ட அளவில் நீளத்தின் ஒரு அலகாக எடுக்கப்பட்ட ஒரு பிரிவோடு ஒப்பிடுகையில் மதிப்பிடப்படுகிறது என்று நாம் கூறலாம்.

புள்ளி A ஒரு முழு எண் உண்மையான எண்ணுடன் ஒத்திருந்தால், O A பிரிவுகளின் நேர் கோட்டில் O புள்ளியில் இருந்து புள்ளிக்கு தொடர்ச்சியாக இடுவதன் மூலம் - நீளத்தின் அலகுகள், ஒதுக்கப்பட்ட அலகு பிரிவுகளின் மொத்த எண்ணிக்கையிலிருந்து O A பிரிவின் நீளத்தை நாம் தீர்மானிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி A எண் 3 க்கு ஒத்திருக்கிறது - புள்ளி O இலிருந்து அதைப் பெற, நீங்கள் மூன்று அலகு பிரிவுகளை நீக்க வேண்டும். புள்ளி A ஒருங்கிணைப்பு - 4 இருந்தால், அலகு பிரிவுகள் இதே வழியில் அமைக்கப்பட்டன, ஆனால் வேறுபட்ட, எதிர்மறை திசையில். எனவே, முதல் வழக்கில், O A தூரம் 3க்கு சமம்; இரண்டாவது வழக்கில் O A = 4.

புள்ளி A ஆனது ஒரு ஒருங்கிணைப்பாக ஒரு பகுத்தறிவு எண்ணைக் கொண்டிருந்தால், தோற்றத்திலிருந்து (புள்ளி O) அலகு பிரிவுகளின் முழு எண் எண்ணையும் அதன் தேவையான பகுதியையும் வரைகிறோம். ஆனால் வடிவியல் ரீதியாக அளவீடு செய்வது எப்போதும் சாத்தியமில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, ஆயக் கோட்டில் பின்னம் 4 111 ஐத் திட்டமிடுவது கடினம்.

மேலே உள்ள முறையைப் பயன்படுத்தி, ஒரு நேர்கோட்டில் ஒரு விகிதாசார எண்ணைத் திட்டமிடுவது முற்றிலும் சாத்தியமற்றது. எடுத்துக்காட்டாக, புள்ளி A இன் ஒருங்கிணைப்பு 11 ஆக இருக்கும்போது. இந்த வழக்கில், சுருக்கத்திற்கு திரும்புவது சாத்தியம்: புள்ளி A இன் கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், O A = x A (எண் தூரமாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது); ஒருங்கிணைப்பு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருந்தால், O A = - x A . பொதுவாக, இந்த அறிக்கைகள் எந்த உண்மையான எண் x A க்கும் உண்மையாக இருக்கும்.

சுருக்கமாக: ஆயக் கோட்டில் உள்ள உண்மையான எண்ணுடன் தொடர்புடைய மூலத்திலிருந்து புள்ளிக்கு உள்ள தூரம் இதற்கு சமம்:

• 0 புள்ளி தோற்றத்துடன் ஒத்துப்போனால்;

• x A, x A > 0 என்றால்;

• - x A என்றால் x A< 0 .

இந்த வழக்கில், பிரிவின் நீளம் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது என்பது வெளிப்படையானது, எனவே, மாடுலஸ் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி, புள்ளி O இலிருந்து புள்ளி A வரையிலான தூரத்தை ஒருங்கிணைப்புடன் எழுதுகிறோம். xA: ஓ ஏ = x ஏ

பின்வரும் கூற்று உண்மையாக இருக்கும்: ஒரு புள்ளியிலிருந்து மற்றொரு புள்ளிக்கு உள்ள தூரம் ஆய வேறுபாட்டின் மாடுலஸுக்கு சமமாக இருக்கும்.அந்த. புள்ளிகள் A மற்றும் B எந்த இடத்திற்கும் ஒரே ஆயக் கோட்டில் அமைந்திருக்கும் மற்றும் அதனுடன் தொடர்புடைய ஆயங்களைக் கொண்டிருக்கும் xAமற்றும் x B: A B = x B - x A .

ஆரம்ப தரவு: புள்ளிகள் A மற்றும் B ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் O x y கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்களுடன் ஒரு விமானத்தில் கிடக்கிறது: A (x A, y A) மற்றும் B (x B, y B).

O x மற்றும் O y ஆகிய ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு A மற்றும் B புள்ளிகள் மூலம் செங்குத்தாக வரைவோம் மற்றும் அதன் விளைவாக ப்ராஜெக்ஷன் புள்ளிகளைப் பெறுவோம்: A x, A y, B x, B y. A மற்றும் B புள்ளிகளின் இருப்பிடத்தின் அடிப்படையில், பின்வரும் விருப்பங்கள் சாத்தியமாகும்:

A மற்றும் B புள்ளிகள் இணைந்தால், அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் பூஜ்ஜியமாகும்;

A மற்றும் B புள்ளிகள் O x அச்சுக்கு (அப்சிஸ்ஸா அச்சு) செங்குத்தாக நேர்கோட்டில் இருந்தால், புள்ளிகள் இணைகின்றன, மேலும் | A B | = | A y B y | . புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் அவற்றின் ஆயங்களின் வேறுபாட்டின் மாடுலஸுக்கு சமமாக இருப்பதால், A y B y = y B - y A, எனவே, A B = A y B y = y B - y A.

A மற்றும் B புள்ளிகள் O y அச்சுக்கு (ஆர்டினேட் அச்சு) செங்குத்தாக ஒரு நேர்கோட்டில் அமைந்திருந்தால் - முந்தைய பத்தியுடன் ஒப்பிடுவதன் மூலம்: A B = A x B x = x B - x A

A மற்றும் B புள்ளிகள் ஆய அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு செங்குத்தாக ஒரு நேர் கோட்டில் அமையவில்லை என்றால், கணக்கீட்டு சூத்திரத்தைப் பெறுவதன் மூலம் அவற்றுக்கிடையேயான தூரத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்:

கட்டுமானத்தில் A B C என்ற முக்கோணம் செவ்வக வடிவில் இருப்பதைக் காண்கிறோம். இந்த வழக்கில், A C = A x B x மற்றும் B C = A y B y. பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, சமத்துவத்தை உருவாக்குகிறோம்: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , பின்னர் அதை மாற்றவும்: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

பெறப்பட்ட முடிவிலிருந்து ஒரு முடிவை எடுப்போம்: இந்த புள்ளிகளின் ஆயங்களைப் பயன்படுத்தி சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கீடு செய்வதன் மூலம் விமானத்தில் புள்ளி A முதல் புள்ளி B வரையிலான தூரம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம், புள்ளிகள் அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோட்டில் இருக்கும் போது புள்ளிகள் அல்லது சூழ்நிலைகளின் தற்செயல் நிகழ்வுகளுக்கான முன்னர் உருவாக்கப்பட்ட அறிக்கைகளை உறுதிப்படுத்துகிறது. எனவே, A மற்றும் B புள்ளிகள் இணைந்தால், பின்வரும் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

புள்ளிகள் A மற்றும் B x-அச்சுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோட்டில் இருக்கும் சூழ்நிலைக்கு:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

A மற்றும் B புள்ளிகள் ஆர்டினேட் அச்சுக்கு செங்குத்தாக நேர்கோட்டில் இருக்கும் போது:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

ஆரம்ப தரவு: கொடுக்கப்பட்ட ஆயங்கள் A (x A, y A, z A) மற்றும் B (x B, y B, z B) உடன் தன்னிச்சையான புள்ளிகளைக் கொண்ட ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு O x y z. இந்த புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

A மற்றும் B புள்ளிகள் ஒருங்கிணைப்பு விமானங்களில் ஒன்றிற்கு இணையாக ஒரு விமானத்தில் இல்லாதபோது பொதுவான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். A மற்றும் B புள்ளிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு செங்குத்தாக விமானங்களை வரைவோம் மற்றும் தொடர்புடைய திட்ட புள்ளிகளைப் பெறுவோம்: A x , A y , A z , B x , B y , B z

புள்ளிகள் A மற்றும் B க்கு இடையே உள்ள தூரம் இதன் விளைவாக வரும் parallelepiped மூலைவிட்டமாகும். இந்த parallelepiped அளவீடுகளின் கட்டுமானத்தின் படி: A x B x , A y B y மற்றும் A z B z

வடிவியல் பாடத்தில் இருந்து, ஒரு இணையான பைப்பின் மூலைவிட்டத்தின் சதுரம் அதன் பரிமாணங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பதை நாம் அறிவோம். இந்த அறிக்கையின் அடிப்படையில், நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

முன்னர் பெறப்பட்ட முடிவுகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வருவனவற்றை எழுதுகிறோம்:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

இறுதி விண்வெளியில் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தை தீர்மானிப்பதற்கான சூத்திரம்இப்படி இருக்கும்:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரம் பின்வரும் நிகழ்வுகளுக்கும் செல்லுபடியாகும்:

புள்ளிகள் ஒத்துப்போகின்றன;

அவை ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அச்சில் அல்லது ஆய அச்சுகளில் ஒன்றிற்கு இணையாக ஒரு நேர் கோட்டில் உள்ளன.

புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

ஆரம்ப தரவு: A (1 - 2) மற்றும் B (11 + 2) ஆயத்தொகுப்புகளுடன் ஒரு ஆயக் கோடு மற்றும் புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. தோற்றப் புள்ளி O இலிருந்து புள்ளி A மற்றும் A மற்றும் B புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம்.

தீர்வு

1. குறிப்பு புள்ளியிலிருந்து புள்ளிக்கான தூரம் இந்த புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பின் மாடுலஸுக்கு சமம், முறையே O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. புள்ளிகள் A மற்றும் B க்கு இடையிலான தூரத்தை இந்த புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் மாடுலஸ் என வரையறுக்கிறோம்: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

பதில்: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

எடுத்துக்காட்டு 2

ஆரம்ப தரவு: ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு மற்றும் அதன் மீது A (1, - 1) மற்றும் B (λ + 1, 3) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. λ என்பது சில உண்மையான எண். இந்த எண்ணின் அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டுபிடிக்க வேண்டியது அவசியம், இதில் A B தூரம் 5 க்கு சமமாக இருக்கும்.

தீர்வு

புள்ளிகள் A மற்றும் B இடையே உள்ள தூரத்தைக் கண்டறிய, நீங்கள் A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்

உண்மையான ஒருங்கிணைப்பு மதிப்புகளை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

A B = 5 என்று இருக்கும் நிபந்தனையையும் நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம், பின்னர் சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

பதில்: A B = 5 என்றால் λ = ± 3.

எடுத்துக்காட்டு 3

ஆரம்ப தரவு: செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பான O x y z இல் முப்பரிமாண இடைவெளி குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது மற்றும் அதில் A (1, 2, 3) மற்றும் B - 7, - 2, 4 புள்ளிகள் உள்ளன.

தீர்வு

சிக்கலைத் தீர்க்க, A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்

உண்மையான மதிப்புகளை மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம்: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

பதில்: | A B | = 9

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

இங்கே ஒரு கால்குலேட்டர் இருக்கும்

ஒரு வரியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

2 புள்ளிகள் குறிக்கப்பட்ட ஒரு ஒருங்கிணைப்பு வரியைக் கவனியுங்கள்: ஒரு ஏ ஏமற்றும் பி பி பி. இந்த புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிய, நீங்கள் பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் ஏ பி ஏபி ஏ பி. இது பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது:

ஒரு வரியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣a−b∣,

எங்கே a, b a, b a, b- இந்த புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரு நேர் கோட்டில் (ஒருங்கிணைந்த கோடு).

சூத்திரம் ஒரு மாடுலஸைக் கொண்டிருப்பதால், அதைத் தீர்க்கும்போது, ​​எந்த ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து கழிப்பது என்பது முக்கியமல்ல (இந்த வேறுபாட்டின் முழுமையான மதிப்பு எடுக்கப்பட்டதால்).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣a−b ∣ =∣ b -a∣

இத்தகைய பிரச்சனைகளுக்கான தீர்வை நன்கு புரிந்துகொள்ள ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

புள்ளிகள் ஒருங்கிணைப்பு வரியில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன ஒரு ஏ ஏ, அதன் ஒருங்கிணைப்பு சமம் 9 9 9 மற்றும் காலம் பி பி பிஒருங்கிணைப்புடன் − 1 -1 − 1 . இந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான தூரத்தை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

தீர்வு

இங்கே a = 9, b = - 1 a=9, b=-1 a =9 , b =− 1

நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் மதிப்புகளை மாற்றுகிறோம்:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 - (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣a−b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

பதில்

ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

ஒரு விமானத்தில் கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு புள்ளிகளைக் கவனியுங்கள். விமானத்தில் குறிக்கப்பட்ட ஒவ்வொரு புள்ளியிலிருந்தும், நீங்கள் இரண்டு செங்குத்துகளைக் குறைக்க வேண்டும்: அச்சுக்கு O X OX ஓ எக்ஸ்மற்றும் அச்சில் ஓ ஒய் ஓய் OY. பின்னர் முக்கோணம் கருதப்படுகிறது ஏ பி சி ஏபிசி ஏ பி சி. செவ்வக வடிவில் இருப்பதால் ( பி சி கி.மு பி சிசெங்குத்தாக ஏ சி ஏசி ஏ சி), பின்னர் பிரிவைக் கண்டறியவும் ஏ பி ஏபி ஏ பிபித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரமும் ஆகும். எங்களிடம் உள்ளது:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2ஏ பி 2 = ஏ சி 2 + பி சி 2

ஆனால், நீளம் என்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டது ஏ சி ஏசி ஏ சிசமமாக x B - x A x_B-x_A எக்ஸ் பி​ − எக்ஸ் ஏ​ , மற்றும் நீளம் பி சி கி.மு பி சிசமமாக y B - y A y_B-y_A ஒய் பி​ − ஒய் ஏ​ , இந்த சூத்திரத்தை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

ஒரு விமானத்தில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம்

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(எக்ஸ் பி​ − எக்ஸ் ஏ​ ) 2 + (ஒய் பி​ − ஒய் ஏ​ ) 2 ​ ,

எங்கே x A , y A x_A, y_A எக்ஸ் ஏ​ , ஒய் ஏ​ மற்றும் x B, y B x_B, y_B எக்ஸ் பி​ , ஒய் பி​ - புள்ளிகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் ஒரு ஏ ஏமற்றும் பி பி பிமுறையே.

எடுத்துக்காட்டு 2

புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம் சி சி சிமற்றும் எஃப் எஃப் எஃப், முதல் ஆயங்கள் என்றால் (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , மற்றும் இரண்டாவது - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

தீர்வு

X C = 8 x_C = 8 எக்ஸ் சி​ = 8
y C = - 1 y_C=-1 ஒய் சி​ = − 1
x F = 4 x_F=4 எக்ஸ் எஃப்​ = 4
y F = 2 y_F=2 ஒய் எஃப்​ = 2

C F = (x F - x C) 2 + (y F - y C) 2 = (4 - 8) 2 + (2 - (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt((( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5சி எஃப் =(எக்ஸ் எஃப்​ − எக்ஸ் சி​ ) 2 + (ஒய் எஃப்​ − ஒய் சி​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

பதில்

விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்

இந்த வழக்கில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கண்டறிவது முந்தையதைப் போலவே உள்ளது, தவிர, விண்வெளியில் உள்ள புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள் மூன்று எண்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன; அதன்படி, பயன்பாட்டு அச்சின் ஒருங்கிணைப்பு சூத்திரத்தில் சேர்க்கப்பட வேண்டும். சூத்திரம் இப்படி இருக்கும்:

விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம்

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + (z B - z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(எக்ஸ் பி​ − எக்ஸ் ஏ​ ) 2 + (ஒய் பி​ − ஒய் ஏ​ ) 2 + (z பி​ − zஏ​ ) 2 ​

எடுத்துக்காட்டு 3

பிரிவின் நீளத்தைக் கண்டறியவும் FK FKஎஃப்கேவிண்வெளியில் அதன் முனைகளில் உள்ள புள்ளிகளின் ஆயங்கள் பின்வருமாறு இருந்தால்: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) மற்றும் (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . பதிலை அருகிலுள்ள முழு எண்ணுக்குச் சுழற்றுங்கள்.

தீர்வு

$எஃப்=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3\; ;\; 6\; ;\; 0)\; K=(-3;6;0)கே=(-3;6;0)$

$எஃப்கே=\sqrt{({எக்ஸ்}^{கே-{எக்ஸ்}^{எஃப்{)}^{2+({ஒய்}^{கே-{ஒய்}^{எஃப்{)}^{2+(z^{கே-z^{எஃப்{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, ஒரு முழு எண்ணுக்கு நாம் பதிலைச் சுற்ற வேண்டும்.

ஒரு விமானத்தில் அவற்றின் ஆயங்களின் அடிப்படையில் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரத்தைக் கணக்கிடுவது அடிப்படை; பூமியின் மேற்பரப்பில் இது இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானது: திட்ட மாற்றங்கள் இல்லாமல் புள்ளிகளுக்கு இடையிலான தூரம் மற்றும் ஆரம்ப அஜிமுத்தை அளவிடுவதை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். முதலில், சொற்களைப் புரிந்துகொள்வோம்.

அறிமுகம்

பெரிய வட்ட வில் நீளம்- ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பில் அமைந்துள்ள எந்த இரண்டு புள்ளிகளுக்கும் இடையிலான மிகக் குறுகிய தூரம், இந்த இரண்டு புள்ளிகளையும் இணைக்கும் கோட்டுடன் அளவிடப்படுகிறது (அத்தகைய கோடு ஆர்த்தோட்ரோமி என்று அழைக்கப்படுகிறது) மற்றும் கோளத்தின் மேற்பரப்பு அல்லது பிற சுழற்சியின் மேற்பரப்பு வழியாக செல்கிறது. கோள வடிவவியலானது சாதாரண யூக்ளிடியன் வடிவவியலில் இருந்து வேறுபட்டது மற்றும் தூரச் சமன்பாடுகளும் வேறுபட்ட வடிவத்தை எடுக்கும். யூக்ளிடியன் வடிவவியலில், இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள குறுகிய தூரம் ஒரு நேர் கோடாகும். ஒரு கோளத்தில், நேர் கோடுகள் இல்லை. கோளத்தின் இந்த கோடுகள் பெரிய வட்டங்களின் ஒரு பகுதியாகும் - வட்டங்களின் மையங்கள் கோளத்தின் மையத்துடன் ஒத்துப்போகின்றன. ஆரம்ப அஜிமுத்- Azimuth, புள்ளி A இலிருந்து நகரத் தொடங்கும் போது, ​​B புள்ளிக்கு மிகக் குறுகிய தூரத்திற்கு பெரிய வட்டத்தைப் பின்தொடர்ந்து, இறுதிப் புள்ளி B புள்ளியாக இருக்கும். A புள்ளி B க்கு பெரிய வட்டக் கோட்டுடன் நகரும் போது, ​​azimuth இருந்து B இன் இறுதிப் புள்ளிக்கு தற்போதைய நிலை மாறுகிறது. ஆரம்ப அசிமுத் ஒரு நிலையான ஒன்றிலிருந்து வேறுபட்டது, அதைத் தொடர்ந்து தற்போதைய புள்ளியிலிருந்து இறுதிப் புள்ளி வரையிலான அசிமுத் மாறாது, ஆனால் பின்பற்றப்படும் பாதை இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான குறுகிய தூரம் அல்ல.

ஒரு கோளத்தின் மேற்பரப்பில் உள்ள ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகள் மூலம், அவை ஒன்றுக்கொன்று நேர் எதிராக இல்லாவிட்டால் (அதாவது, அவை எதிர்முனைகள் அல்ல), ஒரு தனித்துவமான பெரிய வட்டத்தை வரையலாம். இரண்டு புள்ளிகள் ஒரு பெரிய வட்டத்தை இரண்டு வளைவுகளாகப் பிரிக்கின்றன. ஒரு குறுகிய வளைவின் நீளம் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையிலான குறுகிய தூரமாகும். இரண்டு ஆன்டிபோடல் புள்ளிகளுக்கு இடையில் எண்ணற்ற பெரிய வட்டங்களை வரையலாம், ஆனால் அவற்றுக்கிடையேயான தூரம் எந்த வட்டத்திலும் ஒரே மாதிரியாகவும் வட்டத்தின் பாதி சுற்றளவுக்கு சமமாகவும் இருக்கும் அல்லது π*R, R என்பது கோளத்தின் ஆரம் ஆகும்.

ஒரு விமானத்தில் (ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில்), பெரிய வட்டங்கள் மற்றும் அவற்றின் துண்டுகள், மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, க்னோமோனிக் ஒன்றைத் தவிர, பெரிய வட்டங்கள் நேர் கோடுகளாக இருக்கும் அனைத்து கணிப்புகளிலும் வளைவுகளைக் குறிக்கின்றன. நடைமுறையில், இதன் பொருள் விமானங்கள் மற்றும் பிற விமான போக்குவரத்து எப்போதும் எரிபொருளைச் சேமிக்க புள்ளிகளுக்கு இடையிலான குறைந்தபட்ச தூரத்தின் வழியைப் பயன்படுத்துகிறது, அதாவது, விமானம் ஒரு பெரிய வட்ட தூரத்தில் மேற்கொள்ளப்படுகிறது, ஒரு விமானத்தில் அது ஒரு வில் போல் தெரிகிறது.

பூமியின் வடிவத்தை ஒரு கோளமாக விவரிக்கலாம், எனவே பூமியின் மேற்பரப்பில் உள்ள புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள மிகக் குறுகிய தூரத்தைக் கணக்கிடுவதற்கு பெரிய வட்ட தூரச் சமன்பாடுகள் முக்கியம் மற்றும் அவை பெரும்பாலும் வழிசெலுத்தலில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. இந்த முறையின் மூலம் தூரத்தை கணக்கிடுவது மிகவும் திறமையானது மற்றும் பல சந்தர்ப்பங்களில் திட்டமிடப்பட்ட ஆயங்களை (செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்புகளில்) கணக்கிடுவதை விட மிகவும் துல்லியமானது, ஏனெனில், முதலில், புவியியல் ஆயங்களை செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பாக மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை (திட்ட மாற்றங்களைச் செய்யவும்) , இரண்டாவதாக, பல கணிப்புகள், தவறாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால், திட்ட சிதைவுகளின் தன்மை காரணமாக குறிப்பிடத்தக்க நீள சிதைவுகளுக்கு வழிவகுக்கும். இது ஒரு கோளம் அல்ல, ஆனால் பூமியின் வடிவத்தை இன்னும் துல்லியமாக விவரிக்கும் ஒரு நீள்வட்டம் என்று அறியப்படுகிறது, இருப்பினும், இந்த கட்டுரை குறிப்பாக ஒரு கோளத்தில் உள்ள தூரங்களைக் கணக்கிடுவதைப் பற்றி விவாதிக்கிறது; கணக்கீடுகளுக்கு, 6,372,795 மீட்டர் ஆரம் கொண்ட ஒரு கோளம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. , இது 0.5% வரிசையின் தூரங்களைக் கணக்கிடுவதில் பிழைக்கு வழிவகுக்கும்.

சூத்திரங்கள்

பெரிய வட்டத்தின் கோள தூரத்தைக் கணக்கிட மூன்று வழிகள் உள்ளன. 1. கோள கோசைன் தேற்றம்சிறிய தூரங்கள் மற்றும் சிறிய கணக்கீட்டு ஆழம் (தசம இடங்களின் எண்ணிக்கை) விஷயத்தில், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது குறிப்பிடத்தக்க ரவுண்டிங் பிழைகளுக்கு வழிவகுக்கும். φ1, λ1; φ2, λ2 - ரேடியன்களில் இரண்டு புள்ளிகளின் அட்சரேகை மற்றும் தீர்க்கரேகை Δλ - தீர்க்கரேகையில் ஆய வேறுபாடு Δδ - கோண வேறுபாடு Δδ = ஆர்க்கோஸ் (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) கோண, தூரத்தை மாற்ற, கோண, தூரத்தை மாற்ற வேண்டும் கோண வேறுபாட்டை பூமியின் ஆரம் (6372795 மீட்டர்) மூலம் பெருக்கவும், இறுதி தூரத்தின் அலகுகள் ஆரம் வெளிப்படுத்தப்படும் அலகுகளுக்கு சமமாக இருக்கும் (இந்த விஷயத்தில், மீட்டர்). 2. ஹவர்சின் சூத்திரம்குறுகிய தூரத்தில் சிக்கல்களைத் தவிர்க்கப் பயன்படுகிறது. 3. ஆன்டிபோட்களுக்கான மாற்றம்முந்தைய சூத்திரம் ஆன்டிபோடல் புள்ளிகளின் சிக்கலுக்கும் உட்பட்டது; அதைத் தீர்க்க, பின்வரும் மாற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

PHP இல் எனது செயலாக்கம்

// பூமியின் ஆரம் வரையறுக்க ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையே உள்ள தூரம் * $φA, $λA - அட்சரேகை, 1வது புள்ளியின் தீர்க்கரேகை, * $φB, $λB - அட்சரேகை, 2வது புள்ளியின் தீர்க்கரேகை * http://gis-lab.info/ அடிப்படையில் எழுதப்பட்டது qa/great-circles.html * மிகைல் கோப்சரேவ்< >* */ செயல்பாடு கணக்கிடுதல் தூரம் ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // ஆயங்களை ரேடியன்களாக மாற்றும் $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // அட்சரேகைகள் மற்றும் தீர்க்கரேகை வேறுபாடுகளின் கோசைன்கள் மற்றும் சைன்கள் $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1 ) ; $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // பெரிய வட்டம் நீளம் கணக்கீடுகள் $y = sqrt(pow ($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; / / $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; திரும்ப $dist; ) செயல்பாட்டு அழைப்பின் எடுத்துக்காட்டு: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139.398; $lat2 = -77.1804; $long2 = -139.55; எதிரொலி கணக்கீடுTheDistance($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "மீட்டர்கள்"; // திரும்ப "17166029 மீட்டர்"

தளத்தில் இருந்து எடுக்கப்பட்ட கட்டுரை