Largësia nga pika në pikë, formula, shembuj, zgjidhje. Largësia ndërmjet dy pikave Largësia ndërmjet pikave në një formulë të planit koordinativ

Le të jepet një sistem koordinativ drejtkëndor.

Teorema 1.1. Për çdo dy pika M 1 (x 1; y 1) dhe M 2 (x 2; y 2) të planit, distanca d ndërmjet tyre shprehet me formulën

Dëshmi. Le të hedhim pingulet M 1 B dhe M 2 A nga pikat M 1 dhe M 2, përkatësisht

në boshtin Oy dhe Ox dhe shënojmë me K pikën e prerjes së drejtëzave M 1 B dhe M 2 A (Fig. 1.4). Rastet e mëposhtme janë të mundshme:

1) Pikat M 1, M 2 dhe K janë të ndryshme. Natyrisht, pika K ka koordinata (x 2; y 1). Është e lehtë të shihet se M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. Sepse ∆M 1 KM 2 është drejtkëndëshe, atëherë nga teorema e Pitagorës d = M 1 M 2 = = .

2) Pika K përkon me pikën M 2, por është e ndryshme nga pika M 1 (Fig. 1.5). Në këtë rast y 2 = y 1

dhe d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Pika K përkon me pikën M 1, por është e ndryshme nga pika M 2. Në këtë rast x 2 = x 1 dhe d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Pika M 2 përkon me pikën M 1. Pastaj x 1 = x 2, y 1 = y 2 dhe

d = M 1 M 2 = O = .

Ndarja e një segmenti në këtë drejtim.

Le të jepet një segment arbitrar M 1 M 2 në plan dhe le të jetë M ─ çdo pikë e kësaj

segment i ndryshëm nga pika M 2 (Fig. 1.6). Numri l, i përcaktuar nga barazia l = , thirri qëndrim, në të cilën pikë M ndan segmentin M 1 M 2.

Teorema 1.2. Nëse një pikë M(x;y) ndan segmentin M 1 M 2 në raport me l, atëherë koordinatat e kësaj pike përcaktohen nga formulat

x = , y = , (4)

ku (x 1; y 1) ─ koordinatat e pikës M 1, (x 2; y 2) ─ koordinatat e pikës M 2.

Dëshmi. Le të provojmë të parën e formulave (4). Formula e dytë vërtetohet në mënyrë të ngjashme. Janë dy raste të mundshme.

x = x 1 = = = .

2) Drejtëza M 1 M 2 nuk është pingul me boshtin Ox (Fig. 1.6). Le të ulim pingulet nga pikat M 1, M, M 2 në boshtin Ox dhe të caktojmë pikat e kryqëzimit të tyre me boshtin Ox si P 1, P, P 2, përkatësisht. Nga teorema e segmenteve proporcionale = l.

Sepse P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô dhe numrat (x – x 1) dhe (x 2 – x) kanë të njëjtën shenjë (në x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 janë negative), atëherë

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Përfundimi 1.2.1. Nëse M 1 (x 1; y 1) dhe M 2 (x 2; y 2) janë dy pika arbitrare dhe pika M(x;y) është mesi i segmentit M 1 M 2, atëherë

x = , y = (5)

Dëshmi. Meqenëse M 1 M = M 2 M, atëherë l = 1 dhe duke përdorur formulat (4) marrim formulat (5).

Sipërfaqja e një trekëndëshi.

Teorema 1.3. Për çdo pikë A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) dhe C(x 3;y 3) që nuk shtrihen në të njëjtën

drejtëz, sipërfaqja S e trekëndëshit ABC shprehet me formulën

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Dëshmi. Zona ∆ ABC e paraqitur në Fig. 1.7, ne llogarisim si më poshtë

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Ne llogarisim sipërfaqen e trapezoideve:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Tani kemi

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

Për një vend tjetër ∆ ABC, formula (6) vërtetohet në mënyrë të ngjashme, por mund të dalë me shenjën “-”. Prandaj, në formulën (6) vendosin shenjën e modulit.

Leksioni 2.

Ekuacioni i drejtëzës në rrafsh: ekuacioni i drejtëzës me koeficientin kryesor, ekuacioni i përgjithshëm i drejtëzës, ekuacioni i drejtëzës në segmente, ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër dy pika. Këndi ndërmjet drejtëzave, kushtet e paralelizmit dhe pingulitetit të drejtëzave në një rrafsh.

2.1. Le të jepet një sistem koordinativ drejtkëndor dhe një vijë L në rrafsh.

Përkufizimi 2.1. Një ekuacion i formës F(x;y) = 0, që lidh variablat x dhe y, quhet ekuacioni i linjës L(në një sistem të caktuar koordinativ), nëse ky ekuacion plotësohet nga koordinatat e ndonjë pike që shtrihet në drejtëzën L, dhe jo nga koordinatat e ndonjë pike që nuk shtrihet në këtë drejtëzë.

Shembuj të ekuacioneve të drejtëzave në një rrafsh.

1) Konsideroni një vijë të drejtë paralele me boshtin Oy të sistemit të koordinatave drejtkëndëshe (Fig. 2.1). Le të shënojmë me shkronjën A pikën e kryqëzimit të kësaj drejtëze me boshtin Ox, (a;o) ─ saj ose-

dinats. Ekuacioni x = a është ekuacioni i drejtëzës së dhënë. Në të vërtetë, ky ekuacion plotësohet nga koordinatat e çdo pike M(a;y) të kësaj drejtëze dhe nuk plotësohet nga koordinatat e asnjë pike që nuk shtrihet në vijë. Nëse a = 0, atëherë vija e drejtë përkon me boshtin Oy, i cili ka ekuacionin x = 0.

2) Ekuacioni x - y = 0 përcakton bashkësinë e pikave të rrafshit që përbëjnë përgjysmuesit e këndeve të koordinatave I dhe III.

3) Ekuacioni x 2 - y 2 = 0 ─ është ekuacioni i dy përgjysmuesve të këndeve koordinative.

4) Ekuacioni x 2 + y 2 = 0 përcakton një pikë të vetme O(0;0) në rrafsh.

5) Ekuacioni x 2 + y 2 = 25 ─ ekuacioni i një rrethi me rreze 5 me qendër në origjinë.

Distanca midis dy pikave në një aeroplan.
Sistemet e koordinatave

Çdo pikë A e rrafshit karakterizohet nga koordinatat e saj (x, y). Ato përkojnë me koordinatat e vektorit 0A që del nga pika 0 - origjina e koordinatave.

Le të jenë A dhe B pika arbitrare të rrafshit me koordinata (x 1 y 1) dhe (x 2, y 2), përkatësisht.

Atëherë vektori AB ka padyshim koordinata (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Dihet se katrori i gjatësisë së një vektori është i barabartë me shumën e katrorëve të koordinatave të tij. Prandaj, distanca d midis pikave A dhe B, ose, sa është e njëjtë, gjatësia e vektorit AB, përcaktohet nga kushti

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Formula që rezulton ju lejon të gjeni distancën midis çdo dy pikash në aeroplan, nëse dihen vetëm koordinatat e këtyre pikave

Sa herë që flasim për koordinatat e një pike të caktuar në aeroplan, nënkuptojmë një sistem koordinativ të mirëpërcaktuar x0y. Në përgjithësi, sistemi i koordinatave në një aeroplan mund të zgjidhet në mënyra të ndryshme. Pra, në vend të sistemit të koordinatave x0y, mund të merrni parasysh sistemin e koordinatave x"0y", i cili fitohet duke rrotulluar boshtet e vjetra të koordinatave rreth pikës fillestare 0. në drejtim të kundërt të akrepave të orës shigjeta në qoshe α .

Nëse një pikë e caktuar e planit në sistemin koordinativ x0y kishte koordinata (x, y), atëherë në sistemin e ri të koordinatave x"0y" do të ketë koordinata të ndryshme (x, y").

Si shembull, merrni parasysh pikën M, e vendosur në boshtin 0x dhe e ndarë nga pika 0 në një distancë prej 1.

Natyrisht, në sistemin e koordinatave x0y kjo pikë ka koordinata (cos α , mëkat α ), dhe në sistemin koordinativ x"0y" koordinatat janë (1,0).

Koordinatat e çdo dy pikash në rrafshin A dhe B varen nga mënyra se si është specifikuar sistemi i koordinatave në këtë plan. Por distanca midis këtyre pikave nuk varet nga metoda e specifikimit të sistemit të koordinatave. Ne do ta përdorim ndjeshëm këtë rrethanë të rëndësishme në paragrafin vijues.

Ushtrime

I. Gjeni largësitë ndërmjet pikave të rrafshit me koordinata:

1) (3.5) dhe (3.4); 3) (0.5) dhe (5, 0); 5) (-3,4) dhe (9, -17);

2) (2, 1) dhe (- 5, 1); 4) (0, 7) dhe (3,3); 6) (8, 21) dhe (1, -3).

II. Gjeni perimetrin e një trekëndëshi brinjët e të cilit jepen me barazimet:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 dhe y = 1.

III. Në sistemin e koordinatave x0y, pikat M dhe N kanë përkatësisht koordinatat (1, 0) dhe (0,1). Gjeni koordinatat e këtyre pikave në sistemin e ri të koordinatave, i cili fitohet duke rrotulluar boshtet e vjetra rreth pikës së fillimit me një kënd prej 30° në të kundërt të akrepave të orës.

IV. Në sistemin e koordinatave x0y, pikat M dhe N kanë koordinata (2, 0) dhe (\ / 3/2, - 1/2) respektivisht. Gjeni koordinatat e këtyre pikave në sistemin e ri të koordinatave, i cili fitohet duke rrotulluar boshtet e vjetra rreth pikës së fillimit me një kënd prej 30° në drejtim të akrepave të orës.

Në këtë artikull do të shikojmë mënyrat për të përcaktuar distancën nga pika në pikë teorikisht dhe duke përdorur shembullin e detyrave specifike. Për të filluar, le të prezantojmë disa përkufizime.

Përkufizimi 1

Distanca midis pikaveështë gjatësia e segmentit që i lidh ato, në shkallën ekzistuese. Është e nevojshme të vendosni një shkallë në mënyrë që të keni një njësi gjatësie për matje. Prandaj, në thelb problemi i gjetjes së distancës midis pikave zgjidhet duke përdorur koordinatat e tyre në një vijë koordinative, në një plan koordinativ ose hapësirë ​​tredimensionale.

Të dhënat fillestare: drejtëza e koordinatave O x dhe një pikë arbitrare A e shtrirë mbi të. Çdo pikë në drejtëz ka një numër real: le të jetë një numër i caktuar për pikën A x A,është edhe koordinata e pikës A.

Në përgjithësi, mund të themi se gjatësia e një segmenti të caktuar vlerësohet në krahasim me një segment të marrë si njësi gjatësie në një shkallë të caktuar.

Nëse pika A korrespondon me një numër të plotë real, duke hequr në mënyrë sekuenciale nga pika O në pikën përgjatë vijës së drejtë O A segmente - njësi gjatësie, ne mund të përcaktojmë gjatësinë e segmentit O A nga numri i përgjithshëm i segmenteve njësi të lënë mënjanë.

Për shembull, pika A korrespondon me numrin 3 - për të arritur në të nga pika O, do t'ju duhet të hiqni tre segmente njësi. Nëse pika A ka koordinatën - 4, segmentet e njësive vendosen në një mënyrë të ngjashme, por në një drejtim të ndryshëm, negativ. Kështu, në rastin e parë, distanca O A është e barabartë me 3; në rastin e dytë O A = 4.

Nëse pika A ka një numër racional si koordinatë, atëherë nga origjina (pika O) vizatojmë një numër të plotë të segmenteve të njësisë, dhe më pas pjesën e tij të nevojshme. Por gjeometrikisht nuk është gjithmonë e mundur të bëhet një matje. Për shembull, duket e vështirë të vizatosh thyesën 4 111 në vijën koordinative.

Duke përdorur metodën e mësipërme, është plotësisht e pamundur të vizatohet një numër irracional në një vijë të drejtë. Për shembull, kur koordinata e pikës A është 11. Në këtë rast, është e mundur të kalojmë në abstraksion: nëse koordinata e dhënë e pikës A është më e madhe se zero, atëherë O A = x A (numri merret si distancë); nëse koordinata është më e vogël se zero, atëherë O A = - x A . Në përgjithësi, këto pohime janë të vërteta për çdo numër real x A.

Për ta përmbledhur: distanca nga origjina në pikën që i korrespondon një numri real në vijën koordinative është e barabartë me:

• 0 nëse pika përkon me origjinën;

• x A, nëse x A > 0;

• - x A nëse x A< 0 .

Në këtë rast, është e qartë se gjatësia e segmentit në vetvete nuk mund të jetë negative, prandaj, duke përdorur shenjën e modulit, ne shkruajmë distancën nga pika O në pikën A me koordinatën. x A: O A = x A

Deklarata e mëposhtme do të jetë e vërtetë: distanca nga një pikë në tjetrën do të jetë e barabartë me modulin e ndryshimit të koordinatave. Ato. për pikat A dhe B që shtrihen në të njëjtën vijë koordinative për çdo vendndodhje dhe që kanë koordinatat përkatëse x A Dhe x B: A B = x B - x A.

Të dhënat fillestare: pikat A dhe B të shtrira në një plan në një sistem koordinativ drejtkëndor O x y me koordinata të dhëna: A (x A, y A) dhe B (x B, y B).

Le të vizatojmë pingulet përmes pikave A dhe B në boshtet koordinative O x dhe O y dhe si rezultat të marrim pikat e projeksionit: A x, A y, B x, B y. Bazuar në vendndodhjen e pikave A dhe B, opsionet e mëposhtme janë të mundshme:

Nëse pikat A dhe B përkojnë, atëherë distanca ndërmjet tyre është zero;

Nëse pikat A dhe B shtrihen në një vijë të drejtë pingul me boshtin O x (boshti i abshisës), atëherë pikat përkojnë dhe | A B | = | A y B y | . Meqenëse distanca midis pikave është e barabartë me modulin e ndryshimit të koordinatave të tyre, atëherë A y B y = y B - y A, dhe, për rrjedhojë, A B = A y B y = y B - y A.

Nëse pikat A dhe B shtrihen në një vijë të drejtë pingul me boshtin O y (boshti ordinat) - në analogji me paragrafin e mëparshëm: A B = A x B x = x B - x A

Nëse pikat A dhe B nuk shtrihen në një vijë të drejtë pingul me një nga boshtet koordinative, ne do të gjejmë distancën midis tyre duke nxjerrë formulën e llogaritjes:

Shohim se trekëndëshi A B C është drejtkëndor në ndërtim. Në këtë rast, A C = A x B x dhe B C = A y B y. Duke përdorur teoremën e Pitagorës, ne krijojmë barazinë: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 , dhe pastaj e transformojmë atë: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Le të nxjerrim një përfundim nga rezultati i marrë: distanca nga pika A në pikën B në aeroplan përcaktohet nga llogaritja duke përdorur formulën duke përdorur koordinatat e këtyre pikave

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Formula që rezulton konfirmon gjithashtu pohime të formuara më parë për rastet e rastësisë së pikave ose situatave kur pikat shtrihen në vija të drejta pingul me boshtet. Pra, nëse pikat A dhe B përkojnë, barazia e mëposhtme do të jetë e vërtetë: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

Për një situatë ku pikat A dhe B shtrihen në një vijë të drejtë pingul me boshtin x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

Për rastin kur pikat A dhe B shtrihen në një vijë të drejtë pingul me boshtin e ordinatave:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Të dhënat fillestare: një sistem koordinativ drejtkëndor O x y z me pika arbitrare të shtrira mbi të me koordinatat e dhëna A (x A, y A, z A) dhe B (x B, y B, z B). Është e nevojshme të përcaktohet distanca midis këtyre pikave.

Le të shqyrtojmë rastin e përgjithshëm kur pikat A dhe B nuk shtrihen në një rrafsh paralel me një nga rrafshet koordinative. Le të vizatojmë plane pingul me boshtet e koordinatave nëpër pikat A dhe B dhe të marrim pikat përkatëse të projeksionit: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Distanca midis pikave A dhe B është diagonalja e paralelepipedit që rezulton. Sipas konstruksionit të matjeve të këtij paralelepipedi: A x B x , A y B y dhe A z B z

Nga kursi i gjeometrisë dimë se katrori i diagonales së një paralelipipedi është i barabartë me shumën e katrorëve të dimensioneve të tij. Bazuar në këtë pohim, marrim barazinë: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Duke përdorur përfundimet e marra më parë, ne shkruajmë sa vijon:

A x B x = x B - x A , A y B y = y B - y A , A z B z = z B - z A

Le të transformojmë shprehjen:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Final formula për përcaktimin e distancës ndërmjet pikave në hapësirë do të duket kështu:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Formula që rezulton është gjithashtu e vlefshme për rastet kur:

Pikat përkojnë;

Ato shtrihen në një bosht koordinativ ose në një vijë të drejtë paralele me një nga boshtet koordinative.

Shembuj të zgjidhjes së problemeve për gjetjen e distancës midis pikave

Shembulli 1

Të dhënat fillestare: jepen një vijë koordinative dhe pika që shtrihen mbi të me koordinatat e dhëna A (1 - 2) dhe B (11 + 2). Është e nevojshme të gjendet distanca nga pika e origjinës O në pikën A dhe midis pikave A dhe B.

Zgjidhje

1. Distanca nga pika e referencës në pikën është e barabartë me modulin e koordinatës së kësaj pike, përkatësisht O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Ne e përcaktojmë distancën midis pikave A dhe B si modulin e ndryshimit midis koordinatave të këtyre pikave: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Përgjigje: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Shembulli 2

Të dhënat fillestare: jepen një sistem koordinativ drejtkëndor dhe dy pika që shtrihen mbi të A (1, - 1) dhe B (λ + 1, 3). λ është një numër real. Është e nevojshme të gjenden të gjitha vlerat e këtij numri në të cilin distanca A B do të jetë e barabartë me 5.

Zgjidhje

Për të gjetur distancën midis pikave A dhe B, duhet të përdorni formulën A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Duke zëvendësuar vlerat e koordinatave reale, marrim: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Ne përdorim gjithashtu kushtin ekzistues që A B = 5 dhe atëherë barazia do të jetë e vërtetë:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Përgjigje: A B = 5 nëse λ = ± 3.

Shembulli 3

Të dhënat fillestare: një hapësirë ​​tredimensionale specifikohet në sistemin koordinativ drejtkëndor O x y z dhe pikat A (1, 2, 3) dhe B - 7, - 2, 4 të shtrira në të.

Zgjidhje

Për të zgjidhur problemin, ne përdorim formulën A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Duke zëvendësuar vlerat reale, marrim: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Përgjigje: | A B | = 9

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Këtu do të ketë një kalkulator

Distanca midis dy pikave në një vijë

Konsideroni një vijë koordinative në të cilën janë shënuar 2 pika: Një A A Dhe B B B. Për të gjetur distancën midis këtyre pikave, duhet të gjeni gjatësinë e segmentit A B AB A B. Kjo bëhet duke përdorur formulën e mëposhtme:

Distanca midis dy pikave në një vijë

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b∣,

Ku a , b a, b a , b- koordinatat e këtyre pikave në një vijë të drejtë (vijë koordinative).

Për faktin se formula përmban një modul, gjatë zgjidhjes së tij, nuk është e rëndësishme se cila koordinatë të zbritet (pasi merret vlera absolute e këtij ndryshimi).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣ b −a∣

Le të shohim një shembull për të kuptuar më mirë zgjidhjen e problemeve të tilla.

Shembulli 1

Pikat janë shënuar në vijën e koordinatave Një A A, koordinata e së cilës është e barabartë me 9 9 9 dhe periudha B B B me koordinatë − 1 -1 − 1 . Duhet të gjejmë distancën midis këtyre dy pikave.

Zgjidhje

Këtu a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 a =9, b =− 1

Ne përdorim formulën dhe zëvendësojmë vlerat:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Përgjigju

Distanca midis dy pikave në një aeroplan

Konsideroni dy pika të dhëna në një plan. Nga secila pikë e shënuar në aeroplan, ju duhet të ulni dy pingul: në bosht O X OX O X dhe në bosht O Y OY OY. Pastaj merret parasysh trekëndëshi A B C ABC A B C. Meqenëse është drejtkëndëshe ( B C para Krishtit B C pingul A C AC Një C), më pas gjeni segmentin A B AB A B, e cila është edhe distanca ndërmjet pikave, mund të bëhet duke përdorur teoremën e Pitagorës. Ne kemi:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2A B 2 = A C 2 + B C 2

Por, bazuar në faktin se gjatësia A C AC Një C e barabartë me x B − x A x_B-x_A x B​ − x A​ , dhe gjatësia B C para Krishtit B C e barabartë me y B − y A y_B-y_A y B​ − y A​ , kjo formulë mund të rishkruhet si më poshtë:

Distanca midis dy pikave në një aeroplan

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 ​ ,

Ku x A, y A x_A, y_A x A​ , y A​ Dhe x B, y B x_B, y_B x B​ , y B​ - koordinatat e pikave Një A A Dhe B B B përkatësisht.

Shembulli 2

Është e nevojshme të gjesh distancën midis pikave C C C Dhe F F F, nëse koordinatat e së parit (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) , dhe e dyta - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Zgjidhje

X C = 8 x_C=8 x C​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 y C​ = − 1
x F = 4 x_F=4 x F​ = 4
y F = 2 y_F=2 y F​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(x F​ − x C​ ) 2 + (y F​ − y C​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Përgjigju

Distanca midis dy pikave në hapësirë

Gjetja e distancës ndërmjet dy pikave në këtë rast është e ngjashme me atë të mëparshme, përveç se koordinatat e pikës në hapësirë ​​janë të përcaktuara me tre numra, në përputhje me rrethanat, në formulë duhet të shtohet edhe koordinata e boshtit të aplikuar. Formula do të duket si kjo:

Distanca midis dy pikave në hapësirë

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(x B​ − x A​ ) 2 + (y B​ − y A​ ) 2 + (z B​ − zA​ ) 2 ​

Shembulli 3

Gjeni gjatësinë e segmentit FK FKFK në hapësirë ​​nëse koordinatat e pikave në skajet e saj janë si më poshtë: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) Dhe (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Rrumbullakosni përgjigjen tuaj në numrin e plotë më të afërt.

Zgjidhje

$F=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3;\; 6;\; 0)\; K=(-3;6;0)K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x^{K-x^{F{)}^{2+(y^{K-y^{F{)}^{2+(z^{K-z^{F{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Sipas kushteve të problemit, përgjigjen duhet ta rrumbullakojmë në një numër të plotë.

Llogaritja e distancave midis pikave bazuar në koordinatat e tyre në një rrafsh është elementare në sipërfaqen e Tokës, është pak më e ndërlikuar: ne do të konsiderojmë matjen e distancës dhe azimutit fillestar midis pikave pa transformime projeksioni. Së pari, le të kuptojmë terminologjinë.

Prezantimi

Gjatësia e madhe e harkut të rrethit– distanca më e shkurtër ndërmjet çdo dy pikash të vendosura në sipërfaqen e një sfere, e matur përgjatë vijës që lidh këto dy pika (një vijë e tillë quhet ortodromi) dhe që kalon përgjatë sipërfaqes së sferës ose sipërfaqes tjetër të rrotullimit. Gjeometria sferike është e ndryshme nga gjeometria normale Euklidiane dhe ekuacionet e distancës gjithashtu marrin një formë të ndryshme. Në gjeometrinë Euklidiane, distanca më e shkurtër midis dy pikave është një vijë e drejtë. Në një sferë, nuk ka vija të drejta. Këto vija në sferë janë pjesë e rrathëve të mëdhenj - rrathë qendrat e të cilëve përkojnë me qendrën e sferës. Azimuth fillestar- azimuti, duke marrë të cilin kur filloni të lëvizni nga pika A, duke ndjekur rrethin e madh për distancën më të shkurtër në pikën B, pika e fundit do të jetë pika B. Kur lëvizni nga pika A në pikën B përgjatë vijës së rrethit të madh, azimuti nga pozicioni aktual në pikën fundore B është konstant po ndryshon. Azimuti fillestar është i ndryshëm nga ai konstant, pas të cilit azimuti nga pika aktuale në pikën përfundimtare nuk ndryshon, por rruga e ndjekur nuk është distanca më e shkurtër midis dy pikave.

Përmes çdo dy pikash në sipërfaqen e një sfere, nëse ato nuk janë drejtpërdrejt të kundërta me njëra-tjetrën (d.m.th., ato nuk janë antipode), mund të vizatohet një rreth i madh unik. Dy pika ndajnë një rreth të madh në dy harqe. Gjatësia e një harku të shkurtër është distanca më e shkurtër midis dy pikave. Një numër i pafund rrathësh të mëdhenj mund të vizatohen midis dy pikave antipodale, por distanca midis tyre do të jetë e njëjtë në çdo rreth dhe e barabartë me gjysmën e perimetrit të rrethit, ose π*R, ku R është rrezja e sferës.

Në një rrafsh (në një sistem koordinativ drejtkëndor), rrathët e mëdhenj dhe fragmentet e tyre, siç u përmend më lart, përfaqësojnë harqe në të gjitha projeksionet, përveç atij gnomonik, ku rrathët e mëdhenj janë vija të drejta. Në praktikë, kjo do të thotë që aeroplanët dhe transporti tjetër ajror përdorin gjithmonë rrugën e distancës minimale midis pikave për të kursyer karburant, domethënë, fluturimi kryhet përgjatë një distancë të madhe rrethi, në një aeroplan duket si një hark.

Forma e Tokës mund të përshkruhet si një sferë, kështu që ekuacionet e distancës së rrethit të madh janë të rëndësishme për llogaritjen e distancës më të shkurtër midis pikave në sipërfaqen e Tokës dhe shpesh përdoren në lundrim. Llogaritja e distancës me këtë metodë është më efikase dhe në shumë raste më e saktë sesa llogaritja e saj për koordinatat e projektuara (në sistemet e koordinatave drejtkëndore), pasi, së pari, nuk kërkon konvertimin e koordinatave gjeografike në një sistem koordinativ drejtkëndor (kryer transformime projeksioni) dhe , së dyti, shumë projeksione, nëse zgjidhen gabimisht, mund të çojnë në shtrembërime të konsiderueshme të gjatësisë për shkak të natyrës së shtrembërimeve të projeksionit. Dihet që nuk është një sferë, por një elipsoid që përshkruan më saktë formën e Tokës, megjithatë, ky artikull diskuton llogaritjen e distancave në mënyrë specifike për llogaritjet, përdoret një sferë me një rreze prej 6,372,795 metrash , e cila mund të çojë në një gabim në llogaritjen e distancave të rendit prej 0,5%.

Formulat

Ekzistojnë tre mënyra për të llogaritur distancën sferike të rrethit të madh. 1. Teorema e kosinusit sferik Në rastin e distancave të vogla dhe thellësisë së vogël të llogaritjes (numri i numrave dhjetorë), përdorimi i formulës mund të çojë në gabime të rëndësishme rrumbullakimi. φ1, λ1; φ2, λ2 - gjerësia dhe gjatësia e dy pikave në radiane Δλ - ndryshimi në koordinatat në gjatësinë gjeografike Δδ - ndryshimi këndor Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Për të kthyer distancën këndore në metrike, duhet të shumëzojeni ndryshimin këndor me rrezen e Tokës (6372795 metra), njësitë e distancës përfundimtare do të jenë të barabarta me njësitë në të cilat shprehet rrezja (në këtë rast, metra). 2. Formula Haversine Përdoret për të shmangur problemet me distanca të shkurtra. 3. Modifikimi për antipodet Formula e mëparshme i nënshtrohet gjithashtu problemit të pikave antipodale për ta zgjidhur atë, përdoret modifikimi i mëposhtëm.

Implementimi im në PHP

// Definimi i rrezes së Tokës ("TOKA_RADIUS", 6372795); /* * Largësia ndërmjet dy pikave * $φA, $λA - gjerësia gjeografike, gjatësia e pikës së parë, * $φB, $λB - gjerësia gjeografike, gjatësia e pikës së dytë * Shkruar bazuar në http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Mikhail Kobzarev< >* */ Funksioni llogarit Distancën ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // konverto koordinatat në radiane $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180 $ λB * M_PI / 180 // kosinuset e gjerësisë dhe gjatësisë $cl1 = $sl2 ; long1 $cdelta = cos($sdelta = mëkat ($cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $cl2 * $ad = atan2 ($y, $x) * EARTH_RADIUS kthimi $lat1; = 77,1539; $gjatë1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $gjatë2 = -139,55; jehona llogarit Distanca ($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metra"; // Kthimi "17166029 metra"

Artikull i marrë nga faqja