Se poate arăta (nu o facem) că ecuația (2) este echivalentă cu ecuația (1), deși este derivată din (1) prin neechivalent transformări. Aceasta înseamnă că ecuația (2) este ecuația acestei elipse. Se numeste canonic(adică cel mai simplu).

Se poate observa că ecuația elipsei este o ecuație de ordinul 2, adică. linie elipsă de ordinul 2.

Pentru o elipsă introducem conceptul excentricitate. Aceasta este cantitatea. Pentru o elipsă, excentricitatea este . Deoarece CuȘi A cunoscut, apoi și cunoscut. Expresia pentru razele focale ale punctului M(x, y) al elipsei se obține cu ușurință din argumentele anterioare: . r 2 va fi găsit din egalitate (3)

cometariu Dacă introduceți două cuie (F1 și F2) în masă, legați de ele o sfoară la ambele capete, a cărei lungime este mai mare decât distanța dintre cuie ( 2a), trageți de șnur și trageți o bucată de cretă de-a lungul mesei, apoi va desena o curbă de elipsă închisă care este simetrică față de ambele axe și de origine.

4. Studiul formei unei elipse folosind ecuația canonică a acesteia.

În remarcă, din motive de claritate, am concluzionat despre forma elipsei. Să studiem acum forma elipsei analizând ecuația ei canonică:

Să găsim punctele de intersecție cu axele de coordonate. Dacă ,у=0, atunci , , i.e. avem două puncte A1(-a,0) și A2(a,0). Dacă x=0, atunci , . Acestea. avem două puncte B1(0,-b) și B2(0,b) (din moment ce , atunci ). Punctele A1, A2, B1, B2 sunt numite vârfurile elipsei.

2) Zona de localizare a elipsei poate fi determinată din următoarele considerente:

a) din ecuația elipsei rezultă că, i.e. , adică sau .

b) în mod similar, adică sau . Aceasta arată că întreaga elipsă este situată în dreptunghiul format din liniile și .

3) În plus, variabilele x și y intră în ecuația elipsei numai în puteri pare, ceea ce înseamnă că curba este simetrică față de fiecare dintre axe și față de origine. D-dar, dacă un punct (x, y) aparține razei, atunci îi aparțin și punctele (x, -y), (-x, y) și (-x, -y). Prin urmare, este suficient să luăm în considerare doar acea parte a elipsei care se află în primul trimestru, unde și .

4) Din ecuația elipsei avem , iar în primul trimestru . Dacă x=0, atunci y=b. Acesta este punctul B2(0,b). Fie x crește de la 0 la a, apoi y scade de la b la 0. Astfel, punctul M(x, y), pornind de la punctul B2(0, b) care descrie un arc, ajunge la punctul A(a,0). Se poate dovedi cu strictețe că arcul este îndreptat convex în sus. Oglindind acest arc în axele de coordonate și în origine, obținem întreaga elipsă. Axele de simetrie ale unei elipse sunt numite axe ale ei; punctul O de intersecție este centrul elipsei. Lungimea segmentelor OA1=OA2=a se numește semiaxa majoră a elipsei, segmentele OB1, OB2=b sunt semiaxa minoră a elipsei, (a>b), c este semifocalul distanţă. Mărimea este ușor de explicat geometric.

Când a=b obținem din ecuația canonică a elipsei ecuația unui cerc. Pentru un cerc, i.e. F1=F2=0. .

Astfel, un cerc este un caz special al unei elipse, când focarele sale coincid cu centrul și excentricitatea = 0. Cu cât excentricitatea este mai mare, cu atât elipsa este mai alungită.

Cometariu. Din ecuația canonică a elipsei este ușor de concluzionat că elipsa poate fi specificată în formă parametrică. x=a cos t

y=b sin t, unde a, b sunt semiaxele majore și minore, unghiul t.

5. Definirea și derivarea ecuației hiperbolei canonice.

Hiperbolă numite planuri HMT, pentru care diferența de distanțe față de două puncte fixe F1F2 ale planului, numite focare, este o valoare constantă (nu egală cu 0 și mai mică decât distanța focală F1F2).

Vom nota, ca mai înainte, F1F2 = 2c, iar diferența de distanțe este 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Fie M (x,y) punctul curent al hiperbolei. Prin definiție MF1-MF2= sau r1 -r2 = = sau --(1). – aceasta este ecuația unei hiperbole.

Scăpăm de iraționalitate în (1): izolăm o rădăcină, pătram ambele părți, obținem: sau , o pătram din nou:

Unde .

Împarte la . Să introducem denumirea. Apoi --(2). Ecuația (2), după cum se poate arăta, este echivalentă cu ecuația (1) și, prin urmare, este ecuația unei hiperbole date. El este numit ecuația canonică a unei hiperbole. Vedem că ecuația hiperbolă este și ea de gradul doi, ceea ce înseamnă linie hiperbolă de ordinul doi.

Excentricitatea unei hiperbole. Expresia pentru razele focale prin este ușor de obținut din cea precedentă, apoi o găsim din .

6. Studiul formei unei hiperbole folosind ecuația ei canonică.

Raționăm în același mod ca atunci când studiem o elipsă.

1. Aflați punctele de intersecție cu axele hiperbolei. Dacă x=0, atunci . Nu există puncte de intersecție cu axa amplificatorului operațional. Dacă y=0, atunci . Puncte de intersecție , . Sunt chemați vârfurile unei hiperbole.

2. Zona de localizare a hiperbolei: , i.e. sau . Aceasta înseamnă că hiperbola este situată în afara benzii delimitate de linii drepte x=-aȘi x=a.

3. Hiperbola are toate tipurile de simetrie, deoarece x și y apar în puteri pare. Prin urmare, este suficient să luăm în considerare acea parte a hiperbolei care se află în primul trimestru.

4. Din ecuația hiperbolei (2) din primul trimestru avem . Pentru x=a, y=0 avem punctul ; o cravată. curba urca spre dreapta. Pentru a ne imagina mișcarea mai clar, luăm în considerare două linii auxiliare care trec prin originea coordonatelor și fiind diagonalele unui dreptunghi cu laturile 2a și 2b: BCB’C’. Au ecuații și . Să demonstrăm că punctul curent al hiperbolei M(x,y) merge la infinit și se apropie de dreapta fără limită. Să luăm un punct arbitrar Xși comparați ordonatele corespunzătoare ale punctului hiperbolei și ale dreptei. Este evident că Y>y. MN=Y-y= .

Vedem că atunci când , i.e. curba se apropie la infinit de linia dreaptă pe măsură ce se îndepărtează de origine. Aceasta dovedește că linia este o asimptotă a hiperbolei. Mai mult, hiperbola nu intersectează asimptota. Acest lucru este suficient pentru a construi o parte din hiperbola. Este convex orientat în sus. Părțile rămase sunt completate simetric. Rețineți că axele de simetrie ale unei hiperbole (axele de coordonate) se numesc ei topoare, punctul de intersecție al axelor- centru hiperbolă. O axă intersectează hiperbola (axa reală), cealaltă nu (imaginară). Segment de linie A numită semiaxa reală, segment b- semiaxa imaginară. Dreptunghiul BCB'C' se numește dreptunghiul de bază al hiperbolei.

Dacă a=b, apoi asimptotele formează unghiuri cu axele de coordonate de-a lungul . Apoi se numește hiperbola echilateral sau echilateral. Dreptunghiul principal se transformă într-un pătrat. Asimptotele sale sunt perpendiculare unele pe altele.

Cometariu.

Uneori considerăm o hiperbolă a cărei ecuație canonică este (3). Ei o sună conjugaîn raport cu hiperbola (2). Hiperbola (3) are o axă reală care este verticală și o axă imaginară care este orizontală. Aspectul său se stabilește imediat dacă rearanjați XȘi la, AȘi b(se întoarce la vechiul ei sine). Dar atunci hiperbola (3) are forma:

Vorbește.

5. După cum sa indicat deja, ecuația unei hiperbole echilaterale ( a=b), când axele de coordonate coincid cu axele hiperbolei, are forma . (4)

Deoarece asimptotele unei hiperbole echilaterale sunt perpendiculare, atunci pot fi luate și ca axe de coordonate OX 1 și OU 1. Acest lucru este echivalent cu rotirea sistemului OXY anterior cu un unghi. Formulele de rotație a unghiului sunt următoarele:

Apoi în noul sistem de coordonate OX 1 Y 1 ecuația (4) va fi rescrisă:

Sau sau . Notând , obținem sau (5) - aceasta este ecuația hiperbola echilaterală, clasificate ca asimptote (acest tip de hiperbolă era considerat la școală).

cometariu: Din ecuație rezultă că aria oricărui dreptunghi construit pe coordonatele oricărui punct al hiperbolei M(x,y) este aceeași: S= k 2 .

7. Definirea și derivarea ecuației canonice a unei parabole.

Parabolă se numește GMT al avionului, pentru fiecare dintre care distanța de la un punct fix F al planului, numită se concentreze, este egală cu distanța de la o dreaptă fixă ​​numită directoare(concentrare în afara directoarei).

Vom nota cu p distanța de la F la directrice și o vom numi parametrul parabolei. Să alegem sistemul de coordonate după cum urmează: trageți axa OX prin punctul F perpendicular pe directricea NP. Să alegem originea coordonatelor din mijlocul segmentului FP.

În acest sistem: .

Să luăm un punct arbitrar M(x,y) cu coordonatele curente (x,y). De aceea

Prin urmare (1) este ecuația parabolei. Să simplificăm:

Sau (2) - asta este ecuația canonică a unei parabole. Se poate demonstra că (1) și (2) sunt echivalente.

Ecuația (2) este o ecuație de ordinul 2, adică. parabola este o linie de ordinul 2.

8. Studiul formei unei parabole folosind ecuația canonică a acesteia.

(p>0).

1) x=0, y=0 parabola trece prin originea punctului de coordonate O. Se numește vârful parabolei.

2), adică parabola este situată în dreapta axei op-amp, în semiplanul din dreapta.

3) la este inclus într-un grad uniform, prin urmare parabola este simetrică față de axa OX, prin urmare, este suficient să o construiți în primul trimestru.

4) în primul trimestru la , i.e. parabola urcă spre dreapta. Se poate arăta că convexitatea este în sus. Construim în partea de jos după simetrie. Axa OU este tangentă la parabolă.

Evident, raza focală este . Relația se numește excentricitate: . Axa de simetrie a unei parabole (în cazul nostru OX) se numește axa parabolei.

Rețineți că ecuația este, de asemenea, o parabolă, dar îndreptată în direcția opusă. Ecuațiile definesc, de asemenea, parabole, a căror axă este axa amplificatorului operațional.

sau într-o formă mai familiară, unde .

Ecuația definește o parabolă obișnuită cu un vârf decalat.

Note. 1) Există o relație strânsă între toate cele patru linii de ordinul 2 - toate sunt secțiuni conice. Dacă luăm un con din două cavități, atunci când îl tăiem cu un plan perpendicular pe axa conului obținem un cerc dacă înclinăm ușor planul de secțiune obținem o elipsă; dacă planul este paralel cu generatricea, atunci secțiunea este o parabolă, dacă planul le intersectează pe ambele

cavităţi-hiperbolă.

2) Se poate dovedi că dacă o rază de lumină care vine din focarul unei parabole este reflectată de ea, atunci raza reflectată merge paralel cu axa parabolei - aceasta este folosită în acțiunea reflectoarelor - un reflector parabolic, iar la focalizare - o sursă de lumină. Acest lucru are ca rezultat un flux de lumină direcționat.

3) Dacă ne imaginăm lansarea unui satelit Pământesc din punctul T aflat în afara atmosferei pe direcția orizontală, atunci dacă viteza inițială v 0 este insuficient, atunci satelitul nu se va roti în jurul Pământului. La atingerea vitezei de evacuare 1, satelitul se va roti în jurul Pământului pe o orbită circulară, cu centrul său în centrul Pământului. Dacă viteza inițială crește, atunci rotația va avea loc de-a lungul unei elipse, centrul Pământului va fi la unul dintre focare. La atingerea celei de-a 2-a viteze de evacuare, traiectoria va deveni parabolica si satelitul nu se va intoarce in punctul T, ci se va afla in Sistemul Solar. Acestea. O parabolă este o elipsă cu un focar la infinit. Cu o creștere suplimentară a vitezei inițiale, traiectoria va deveni hiperbolică și va apărea un al doilea focus pe cealaltă parte. Centrul Pământului va fi întotdeauna în centrul orbitei. Satelitul va părăsi sistemul solar.

11.1. Noțiuni de bază

Să luăm în considerare liniile definite prin ecuații de gradul doi în raport cu coordonatele curente

Coeficienții ecuației sunt numere reale, dar cel puțin unul dintre numerele A, B sau C este diferit de zero. Astfel de linii se numesc linii (curbe) de ordinul doi. Mai jos se va stabili că ecuația (11.1) definește un cerc, elipsă, hiperbolă sau parabolă pe plan. Înainte de a trece la această afirmație, să studiem proprietățile curbelor enumerate.

11.2. Cerc

Cea mai simplă curbă de ordinul doi este un cerc. Reamintim că un cerc de rază R cu centru într-un punct este mulțimea tuturor punctelor M ale planului care îndeplinesc condiția . Fie ca un punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular să aibă coordonatele x 0, y 0 și - un punct arbitrar pe cerc (vezi Fig. 48).

Apoi din condiție obținem ecuația

(11.2)

Ecuația (11.2) este satisfăcută de coordonatele oricărui punct dintr-un cerc dat și nu este satisfăcută de coordonatele oricărui punct care nu se află pe cerc.

Ecuația (11.2) se numește ecuația canonică a unui cerc

În special, stabilind și , obținem ecuația unui cerc cu centrul la origine .

Ecuația cercului (11.2) după transformări simple va lua forma . Când comparăm această ecuație cu ecuația generală (11.1) a unei curbe de ordinul doi, este ușor de observat că sunt îndeplinite două condiții pentru ecuația unui cerc:

1) coeficienții pentru x 2 și y 2 sunt egali între ei;

2) nu există niciun membru care să conţină produsul xy al coordonatelor curente.

Să luăm în considerare problema inversă. Punând valorile și în ecuația (11.1), obținem

Să transformăm această ecuație:

(11.4)

Rezultă că ecuația (11.3) definește un cerc sub condiția . Centrul său este în punct , și raza

.

Dacă , atunci ecuația (11.3) are forma

.

Este satisfăcut de coordonatele unui singur punct . În acest caz, ei spun: „cercul a degenerat într-un punct” (are rază zero).

Dacă , atunci ecuația (11.4) și, prin urmare, ecuația echivalentă (11.3), nu va defini nicio dreaptă, deoarece partea dreaptă a ecuației (11.4) este negativă, iar stânga nu este negativă (să spunem: „un cerc imaginar”).

11.3. Elipsă

Ecuația canonică a elipsei

Elipsă este mulțimea tuturor punctelor unui plan, suma distanțelor de la fiecare dintre acestea la două puncte date ale acestui plan, numite trucuri , este o valoare constantă mai mare decât distanța dintre focare.

Să notăm focusurile prin F 1Și F 2, distanța dintre ele este 2 c, și suma distanțelor de la un punct arbitrar al elipsei la focare - în 2 A(vezi Fig. 49). Prin definiție 2 A > 2c, adică A > c.

Pentru a deriva ecuația elipsei, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F 1Și F 2 așezat pe axă, iar originea a coincis cu mijlocul segmentului F 1 F 2. Atunci focarele vor avea următoarele coordonate: și .

Fie un punct arbitrar al elipsei. Apoi, conform definiției unei elipse, i.e.

Aceasta, în esență, este ecuația unei elipse.

Să transformăm ecuația (11.5) într-o formă mai simplă, după cum urmează:

Deoarece A>Cu, Acea . Sa punem

(11.6)

Apoi ultima ecuație va lua forma sau

(11.7)

Se poate dovedi că ecuația (11.7) este echivalentă cu ecuația inițială. Se numeste ecuația elipsei canonice .

O elipsă este o curbă de ordinul doi.

Studiul formei unei elipse folosind ecuația acesteia

Să stabilim forma elipsei folosind ecuația ei canonică.

1. Ecuația (11.7) conține x și y numai în puteri pare, deci dacă un punct aparține elipsei, atunci îi aparțin și punctele ,,. Rezultă că elipsa este simetrică față de axele și, precum și față de punctul, care se numește centrul elipsei.

2. Aflați punctele de intersecție ale elipsei cu axele de coordonate. Punând , găsim două puncte și , la care axa intersectează elipsa (vezi Fig. 50). Punând în ecuația (11.7) , găsim punctele de intersecție ale elipsei cu axa: și . Puncte A 1 , A 2 , B 1, B 2 sunt numite vârfurile elipsei. Segmente A 1 A 2Și B 1 B 2, precum și lungimile acestora 2 Ași 2 b sunt numite în consecință axele majore și minore elipsă. Numerele AȘi b sunt numite mari și, respectiv, mici arbori de osie elipsă.

3. Din ecuația (11.7) rezultă că fiecare termen din partea stângă nu depășește unul, i.e. au loc inegalitățile și sau și. În consecință, toate punctele elipsei se află în interiorul dreptunghiului format din liniile drepte.

4. În ecuația (11.7), suma termenilor nenegativi și este egală cu unu. În consecință, pe măsură ce un termen crește, celălalt va scădea, adică dacă crește, scade și invers.

Din cele de mai sus rezultă că elipsa are forma prezentată în Fig. 50 (curbă ovală închisă).

Mai multe informații despre elipsă

Forma elipsei depinde de raport. Când elipsa se transformă într-un cerc, ecuația elipsei (11.7) ia forma . Raportul este adesea folosit pentru a caracteriza forma unei elipse. Raportul dintre jumătate din distanța dintre focare și semiaxa majoră a elipsei se numește excentricitatea elipsei și o6o este notat cu litera ε ("epsilon"):

cu 0<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Aceasta arată că cu cât excentricitatea elipsei este mai mică, cu atât elipsa va fi mai puțin aplatizată; dacă setăm ε = 0, atunci elipsa se transformă într-un cerc.

Fie M(x;y) un punct arbitrar al elipsei cu focare F 1 și F 2 (vezi Fig. 51). Lungimile segmentelor F 1 M = r 1 și F 2 M = r 2 se numesc razele focale ale punctului M. Evident,

Formulele sunt valabile

Se numesc linii directe

Teorema 11.1. Dacă este distanța de la un punct arbitrar al elipsei la un focar, d este distanța de la același punct la directrixa corespunzătoare acestui focar, atunci raportul este o valoare constantă egală cu excentricitatea elipsei:

Din egalitatea (11.6) rezultă că . Dacă, atunci ecuația (11.7) definește o elipsă, a cărei axă majoră se află pe axa Oy și axa minoră pe axa Ox (vezi Fig. 52). Focarele unei astfel de elipse sunt în punctele și , unde .

11.4. Hiperbolă

Ecuația canonică a hiperbolei

Hiperbolă este mulțimea tuturor punctelor planului, modulul diferenței de distanțe de la fiecare dintre ele la două puncte date ale acestui plan, numite trucuri , este o valoare constantă mai mică decât distanța dintre focare.

Să notăm focusurile prin F 1Și F 2 distanța dintre ele este 2s, și modulul diferenței de distanțe de la fiecare punct al hiperbolei la focare prin 2a. A-prioriu 2a < 2s, adică A < c.

Pentru a deriva ecuația hiperbolei, alegem un sistem de coordonate astfel încât focarele F 1Și F 2 așezat pe axă, iar originea a coincis cu mijlocul segmentului F 1 F 2(vezi Fig. 53). Apoi focarele vor avea coordonate și

Fie un punct arbitrar al hiperbolei. Apoi, conform definiției unei hiperbole sau , adică După simplificări, așa cum sa făcut la derivarea ecuației elipsei, obținem ecuația canonică a hiperbolei

(11.9)

(11.10)

O hiperbola este o linie de ordinul doi.

Studierea formei unei hiperbole folosind ecuația acesteia

Să stabilim forma hiperbolei folosind ecuația sa caconică.

1. Ecuația (11.9) conține x și y numai la puteri pare. În consecință, hiperbola este simetrică față de axele și , precum și față de punctul, care se numește centrul hiperbolei.

2. Aflați punctele de intersecție ale hiperbolei cu axele de coordonate. Punând în ecuația (11.9), găsim două puncte de intersecție ale hiperbolei cu axa: și. Introducând (11.9), obținem , care nu poate fi. Prin urmare, hiperbola nu intersectează axa Oy.

Punctele sunt numite culmi hiperbole și segmentul

axa reală , segment de linie - semiaxă reală hiperbolă.

Segmentul care leagă punctele se numește axa imaginară , numărul b - semiaxă imaginară . Dreptunghi cu laturi 2aȘi 2b numit dreptunghi de bază al hiperbolei .

3. Din ecuația (11.9) rezultă că minuendul nu este mai mic de unu, adică acel sau . Aceasta înseamnă că punctele hiperbolei sunt situate la dreapta liniei (ramura dreaptă a hiperbolei) și la stânga liniei (ramura stângă a hiperbolei).

4. Din ecuația (11.9) a hiperbolei este clar că atunci când crește, crește. Aceasta rezultă din faptul că diferența menține o valoare constantă egală cu unu.

Din cele de mai sus rezultă că hiperbola are forma prezentată în Figura 54 (o curbă formată din două ramuri nelimitate).

Asimptotele unei hiperbole

Linia dreaptă L se numește asimptotă a unei curbe nemărginite K dacă distanța d de la punctul M al curbei K la această dreaptă tinde spre zero când distanța punctului M de-a lungul curbei K de la origine este nelimitată. Figura 55 oferă o ilustrare a conceptului de asimptotă: linia dreaptă L este o asimptotă pentru curba K.

Să arătăm că hiperbola are două asimptote:

(11.11)

Deoarece liniile drepte (11.11) și hiperbola (11.9) sunt simetrice față de axele de coordonate, este suficient să luăm în considerare doar acele puncte ale liniilor indicate care sunt situate în primul sfert.

Să luăm un punct N pe o dreaptă care are aceeași abscisă x ca punctul de pe hiperbolă (vezi Fig. 56) și găsiți diferența ΜΝ dintre ordonatele dreptei și ramura hiperbolei:

După cum puteți vedea, pe măsură ce x crește, numitorul fracției crește; numărătorul este o valoare constantă. Prin urmare, lungimea segmentului ΜΝ tinde spre zero. Deoarece MΝ este mai mare decât distanța d de la punctul M la linie, atunci d tinde spre zero. Deci, liniile sunt asimptote ale hiperbolei (11.9).

Când construiți o hiperbolă (11.9), este recomandabil să construiți mai întâi dreptunghiul principal al hiperbolei (vezi Fig. 57), să trasați linii drepte care trec prin vârfurile opuse ale acestui dreptunghi - asimptotele hiperbolei și să marcați vârfurile și , a hiperbolei.

Ecuația unei hiperbole echilaterale.

ale căror asimptote sunt axele de coordonate

Hiperbola (11.9) se numește echilaterală dacă semiaxele sale sunt egale cu (). Ecuația sa canonică

(11.12)

Asimptotele unei hiperbole echilaterale au ecuații și, prin urmare, sunt bisectoare ale unghiurilor de coordonate.

Să considerăm ecuația acestei hiperbole într-un nou sistem de coordonate (vezi Fig. 58), obținut din cel vechi prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi. Folosim formulele pentru rotirea axelor de coordonate:

Inlocuim valorile lui x si y in ecuatia (11.12):

Ecuația unei hiperbole echilaterale, pentru care axele Ox și Oy sunt asimptote, va avea forma .

Mai multe informații despre hiperbolă

Excentricitate hiperbola (11.9) este raportul dintre distanța dintre focare și valoarea axei reale a hiperbolei, notat cu ε:

Deoarece pentru o hiperbolă , excentricitatea hiperbolei este mai mare decât unu: . Excentricitatea caracterizează forma unei hiperbole. Într-adevăr, din egalitate (11.10) rezultă că i.e. Și .

Din aceasta rezultă clar că cu cât excentricitatea hiperbolei este mai mică, cu atât este mai mic raportul semi-axelor sale și, prin urmare, cu atât dreptunghiul său principal este mai alungit.

Excentricitatea unei hiperbole echilaterale este . Într-adevăr,

Raze focale Și pentru punctele ramurii drepte hiperbolele au forma și , iar pentru ramura stângă - Și .

Liniile directe se numesc directrice ale unei hiperbole. Deoarece pentru o hiperbolă ε > 1, atunci . Aceasta înseamnă că directricea dreaptă este situată între centrul și vârful drept al hiperbolei, stânga - între centru și vârful stâng.

Direcricele unei hiperbole au aceeași proprietate ca și directricele unei elipse.

Curba definită de ecuație este, de asemenea, o hiperbolă, a cărei axă reală 2b este situată pe axa Oy, iar axa imaginară 2 A- pe axa Bou. În Figura 59 este prezentat ca o linie punctată.

Este evident că hiperbolele au asimptote comune. Astfel de hiperbole se numesc conjugate.

11.5. Parabolă

Ecuația parabolei canonice

O parabolă este mulțimea tuturor punctelor planului, fiecare dintre ele fiind la fel de îndepărtat de un punct dat, numit focar, și de o linie dată, numită directrice. Distanța de la focarul F la directriză se numește parametrul parabolei și se notează cu p (p > 0).

Pentru a deduce ecuația parabolei, alegem sistemul de coordonate Oxy astfel încât axa Ox să treacă prin focarul F perpendicular pe directrice în direcția de la directrice la F, iar originea coordonatelor O să fie situată la mijloc între focarul și directriza (vezi Fig. 60). În sistemul ales, focarul F are coordonatele , iar ecuația directrice are forma , sau .

1. În ecuația (11.13) variabila y apare într-o putere pară, ceea ce înseamnă că parabola este simetrică față de axa Ox; Axa Ox este axa de simetrie a parabolei.

2. Deoarece ρ > 0, din (11.13) rezultă că . În consecință, parabola este situată în dreapta axei Oy.

3. Când avem y = 0. Prin urmare, parabola trece prin origine.

4. Pe măsură ce x crește la nesfârșit, modulul y crește și el la infinit. Parabola are forma (forma) prezentată în Figura 61. Punctul O(0; 0) se numește vârful parabolei, segmentul FM = r se numește raza focală a punctului M.

Ecuații , , ( p>0) definesc de asemenea parabole, acestea sunt prezentate în Figura 62

Este ușor de arătat că graficul unui trinom pătratic, unde , B și C sunt numere reale, este o parabolă în sensul definiției sale prezentate mai sus.

11.6. Ecuația generală a liniilor de ordinul doi

Ecuații ale curbelor de ordinul doi cu axe de simetrie paralele cu axele de coordonate

Să găsim mai întâi ecuația unei elipse cu un centru în punct, ale cărei axe de simetrie sunt paralele cu axele de coordonate Ox și Oy și, respectiv, semiaxele sunt egale. AȘi b. Să plasăm în centrul elipsei O 1 începutul unui nou sistem de coordonate, ale cărui axe și semiaxe AȘi b(vezi Fig. 64):

În cele din urmă, parabolele prezentate în Figura 65 au ecuații corespunzătoare.

Ecuația

Ecuațiile unei elipse, hiperbole, parabole și ecuația unui cerc după transformări (deschideți paranteze, mutați toți termenii ecuației într-o parte, aduceți termeni similari, introduceți noi notații pentru coeficienți) pot fi scrise folosind o singură ecuație a formă

unde coeficienții A și C nu sunt egali cu zero în același timp.

Se pune întrebarea: fiecare ecuație de forma (11.14) determină una dintre curbele (cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă) de ordinul doi? Răspunsul este dat de următoarea teoremă.

Teorema 11.2. Ecuația (11.14) definește întotdeauna: fie un cerc (pentru A = C), fie o elipsă (pentru A C > 0), fie o hiperbolă (pentru A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Ecuație generală de ordinul doi

Să considerăm acum o ecuație generală de gradul doi cu două necunoscute:

Diferă de ecuația (11.14) prin prezența unui termen cu produsul coordonatelor (B¹ 0). Este posibil, prin rotirea axelor de coordonate cu un unghi a, să se transforme această ecuație astfel încât termenul cu produsul coordonatelor să fie absent.

Utilizarea formulelor de rotație a axelor

Să exprimăm coordonatele vechi în termenii celor noi:

Să alegem unghiul a astfel încât coeficientul pentru x" · y" să devină zero, adică astfel încât egalitatea

Astfel, atunci când axele sunt rotite cu un unghi a care îndeplinește condiția (11.17), ecuația (11.15) se reduce la ecuația (11.14).

Concluzie: ecuația generală de ordinul doi (11.15) definește pe plan (cu excepția cazurilor de degenerare și dezintegrare) următoarele curbe: cerc, elipsă, hiperbolă, parabolă.

Notă: Dacă A = C, atunci ecuația (11.17) devine lipsită de sens. În acest caz, cos2α = 0 (vezi (11.16)), apoi 2α = 90°, adică α = 45°. Deci, când A = C, sistemul de coordonate ar trebui rotit cu 45°.

Linii de ordinul doi.
Elipsa și ecuația ei canonică. Cerc

După un studiu amănunțit linii drepte în plan Continuăm să studiem geometria lumii bidimensionale. Miza este dublată și vă invit să vizitați o pitorească galerie de elipse, hiperbole, parabole, care sunt reprezentanți tipici. linii de ordinul doi. Excursia a început deja și mai întâi o scurtă informare despre întreaga expoziție de la diferite etaje ale muzeului:

Conceptul de dreptă algebrică și ordinea acesteia

O linie pe un plan se numește algebric, dacă în sistem de coordonate afine ecuația sa are forma , unde este un polinom format din termeni de forma ( – număr real, – numere întregi nenegative).

După cum puteți vedea, ecuația unei linii algebrice nu conține sinusuri, cosinusuri, logaritmi și alte frumoase monde funcționale. Doar X și Y sunt în numere întregi nenegative grade.

Ordine de linie egală cu valoarea maximă a termenilor cuprinsi în acesta.

Conform teoremei corespunzătoare, conceptul de dreptă algebrică, precum și ordinea acesteia, nu depind de alegere sistem de coordonate afine, prin urmare, pentru ușurința existenței, presupunem că toate calculele ulterioare au loc în coordonate carteziene.

Ecuația generală a doua linie de ordine are forma , unde – numere reale arbitrare (Se obișnuiește să-l scrieți cu un factor de doi), iar coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp.

Dacă , atunci ecuația se simplifică la , iar dacă coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp, atunci acesta este exact ecuația generală a unei linii „plate”., care reprezintă prima linie de comandă.

Mulți au înțeles sensul noilor termeni, dar, cu toate acestea, pentru a stăpâni 100% materialul, băgăm degetele în priză. Pentru a determina ordinea liniilor, trebuie să repetați toți termenii ecuațiile sale și găsiți pentru fiecare dintre ele suma de grade variabilele de intrare.

De exemplu:

termenul conține „x” la puterea 1;
termenul conține „Y” la puterea 1;
Nu există variabile în termen, deci suma puterilor lor este zero.

Acum să ne dăm seama de ce ecuația definește linia al doilea Ordin:

termenul conține „x” la a 2-a putere;
sumandul are suma puterilor variabilelor: 1 + 1 = 2;
termenul conține „Y” la a 2-a putere;
toți ceilalți termeni - Mai puțin grade.

Valoarea maximă: 2

Dacă adăugăm în plus, să zicem, la ecuația noastră, atunci aceasta va determina deja linia de ordine a treia. Este evident că forma generală a ecuației liniei de ordinul 3 conține un „set complet” de termeni, suma puterilor variabilelor în care este egală cu trei:
, unde coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp.

În cazul în care adăugați unul sau mai mulți termeni potriviți care conțin , atunci vom vorbi deja despre linii de ordinul 4, etc.

Va trebui să întâlnim linii algebrice de ordinul al 3-lea, al 4-lea și mai mare de mai multe ori, în special, atunci când ne familiarizăm cu sistemul de coordonate polare.

Cu toate acestea, să revenim la ecuația generală și să ne amintim cele mai simple variații școlare ale acesteia. Ca exemple, apare o parabolă, a cărei ecuație poate fi ușor redusă la o formă generală și o hiperbolă cu o ecuație echivalentă. Totuși, nu totul este atât de simplu...

Un dezavantaj semnificativ al ecuației generale este că aproape întotdeauna nu este clar ce linie definește. Chiar și în cel mai simplu caz, nu îți vei da seama imediat că aceasta este o hiperbolă. Astfel de amenajări sunt bune numai la o mascarada, așa că o problemă tipică este luată în considerare în cursul geometriei analitice aducând ecuația liniei de ordinul 2 la forma canonică.

Care este forma canonică a unei ecuații?

Aceasta este forma standard acceptată în general a unei ecuații, când în câteva secunde devine clar ce obiect geometric definește. În plus, forma canonică este foarte convenabilă pentru rezolvarea multor probleme practice. Deci, de exemplu, conform ecuației canonice drept „plat”., în primul rând, este imediat clar că aceasta este o linie dreaptă, iar în al doilea rând, punctul care îi aparține și vectorul de direcție sunt ușor vizibile.

Este evident că oricare Prima linie de comandă este o linie dreaptă. La etajul doi, nu ne mai așteaptă paznicul, ci o companie mult mai diversă de nouă statui:

Clasificarea liniilor de ordinul doi

Folosind un set special de acțiuni, orice ecuație a unei linii de ordinul doi este redusă la una dintre următoarele forme:

(și sunt numere reale pozitive)

1) – ecuația canonică a elipsei;

2) – ecuația canonică a unei hiperbole;

3) – ecuația canonică a unei parabole;

4) – imaginar elipsă;

5) – o pereche de drepte care se intersectează;

6) – pereche imaginar linii de intersectare (cu un singur punct de intersecție valid la origine);

7) – o pereche de drepte paralele;

8) – pereche imaginar linii paralele;

9) – o pereche de linii coincidente.

Unii cititori pot avea impresia că lista este incompletă. De exemplu, la punctul nr. 7, ecuația specifică perechea direct, paralel cu axa, și se pune întrebarea: unde este ecuația care determină dreptele paralele cu axa ordonatelor? Raspunde neconsiderat canonic. Liniile drepte reprezintă același caz standard, rotit cu 90 de grade, iar intrarea suplimentară în clasificare este redundantă, deoarece nu aduce nimic fundamental nou.

Astfel, există nouă și doar nouă tipuri diferite de linii de ordinul 2, dar în practică cele mai comune sunt elipsa, hiperbola si parabola.

Să ne uităm mai întâi la elipsă. Ca de obicei, mă concentrez asupra acelor puncte care sunt de mare importanță pentru rezolvarea problemelor, iar dacă aveți nevoie de o derivare detaliată a formulelor, demonstrații de teoreme, vă rugăm să consultați, de exemplu, manualul lui Bazylev/Atanasyan sau Aleksandrov.

Elipsa și ecuația ei canonică

Ortografie... vă rugăm să nu repetați greșelile unor utilizatori Yandex care sunt interesați de „cum să construiți o elipsă”, „diferența dintre o elipsă și un oval” și „excentricitatea unei elipse”.

Ecuația canonică a unei elipse are forma , unde sunt numere reale pozitive și . Voi formula însăși definiția unei elipse mai târziu, dar deocamdată este timpul să luăm o pauză de la magazinul vorbitor și să rezolvăm o problemă comună:

Cum se construiește o elipsă?

Da, ia-l și desenează-l. Sarcina are loc frecvent și o parte semnificativă a elevilor nu fac față desenului corect:

Exemplul 1

Construiți elipsa dată de ecuație

Soluţie: În primul rând, să aducem ecuația la forma canonică:

De ce să aduci? Unul dintre avantajele ecuației canonice este că vă permite să determinați instantaneu vârfurile elipsei, care sunt situate în puncte. Este ușor de observat că coordonatele fiecăruia dintre aceste puncte satisfac ecuația.

În acest caz :


Segment de linie numit axa mare elipsă;
segment de linie – axa minoră;
număr numit arbore semi-major elipsă;
număr – axa minoră.
în exemplul nostru: .

Pentru a vă imagina rapid cum arată o anumită elipsă, priviți doar valorile „a” și „fi” ale ecuației sale canonice.

Totul este bine, neted și frumos, dar există o avertizare: am făcut desenul folosind programul. Și puteți face desenul folosind orice aplicație. Cu toate acestea, în realitate dură, există o bucată de hârtie în carouri pe masă, iar șoarecii dansează în cercuri pe mâinile noastre. Oamenii cu talent artistic, desigur, se pot certa, dar ai și șoareci (deși mai mici). Nu degeaba omenirea a inventat rigla, busola, raportorul și alte dispozitive simple pentru desen.

Din acest motiv, este puțin probabil să reușim să desenăm cu precizie o elipsă cunoscând doar vârfurile. Este în regulă dacă elipsa este mică, de exemplu, cu semi-axe. Alternativ, puteți reduce scara și, în consecință, dimensiunile desenului. Dar, în general, este foarte de dorit să găsiți puncte suplimentare.

Există două abordări pentru construirea unei elipse - geometrică și algebrică. Nu-mi place construcția folosind o busolă și o riglă, deoarece algoritmul nu este cel mai scurt și desenul este semnificativ aglomerat. În caz de urgență, vă rugăm să consultați manualul, dar în realitate este mult mai rațional să folosiți instrumentele algebrei. Din ecuația elipsei din schiță exprimăm rapid:

Ecuația se descompune apoi în două funcții:
– definește arcul superior al elipsei;
– definește arcul inferior al elipsei.

Elipsa definită de ecuația canonică este simetrică față de axele de coordonate, precum și față de origine. Și acest lucru este grozav - simetria este aproape întotdeauna un prevestitor al gratuităților. Evident, este suficient să ne ocupăm de primul trimestru de coordonate, așa că avem nevoie de funcție . Se roagă să se găsească puncte suplimentare cu abscise . Să atingem trei mesaje SMS pe calculator:

Desigur, este, de asemenea, frumos că, dacă se face o greșeală gravă în calcule, aceasta va deveni imediat clară în timpul construcției.

Să marchem punctele pe desen (roșu), punctele simetrice pe arcele rămase (albastru) și să conectăm cu atenție întreaga companie cu o linie:


Este mai bine să desenați schița inițială foarte subțire și abia apoi să aplicați presiune cu un creion. Rezultatul ar trebui să fie o elipsă destul de decentă. Apropo, ai vrea să știi ce este această curbă?

Definiţia an elipse. Focare de elipsă și excentricitate de elipsă

O elipsă este un caz special al unui oval. Cuvântul „oval” nu trebuie înțeles în sensul filistin („copilul a desenat un oval”, etc.). Acesta este un termen matematic care are o formulare detaliată. Scopul acestei lecții nu este de a lua în considerare teoria ovalelor și diferitele lor tipuri, care nu primesc practic nicio atenție în cursul standard de geometrie analitică. Și, în conformitate cu nevoile mai actuale, trecem imediat la definiția strictă a unei elipse:

Elipsă este mulțimea tuturor punctelor planului, suma distanțelor până la fiecare dintre ele de la două puncte date, numite trucuri elipsa, este o mărime constantă, numeric egală cu lungimea axei majore a acestei elipse: .
În acest caz, distanțele dintre focalizări sunt mai mici decât această valoare: .

Acum totul va deveni mai clar:

Imaginează-ți că punctul albastru „călătorește” de-a lungul unei elipse. Deci, indiferent de ce punct al elipsei luăm, suma lungimilor segmentelor va fi întotdeauna aceeași:

Să ne asigurăm că în exemplul nostru valoarea sumei este într-adevăr egală cu opt. Puneți mental punctul „um” la vârful din dreapta al elipsei, apoi: , care este ceea ce trebuia verificat.

O altă metodă de desenare se bazează pe definiția unei elipse. Matematica superioară este uneori cauza tensiunii și a stresului, așa că este timpul să avem o altă sesiune de descărcare. Vă rugăm să luați hârtie Whatman sau o foaie mare de carton și fixați-o pe masă cu două cuie. Acestea vor fi trucuri. Legați un fir verde de capetele proeminente ale unghiilor și trageți-l până la capăt cu un creion. Mina de creion va ajunge la un anumit punct care aparține elipsei. Acum începeți să mutați creionul de-a lungul bucății de hârtie, păstrând firul verde întins. Continuați procesul până reveniți la punctul de plecare... grozav... desenul poate fi verificat de medic și profesor =)

Cum să găsiți focarele unei elipse?

În exemplul de mai sus, am descris punctele focale „gata făcute”, iar acum vom învăța cum să le extragem din adâncurile geometriei.

Dacă o elipsă este dată de o ecuație canonică, atunci focarele sale au coordonate , unde este distanța de la fiecare focar până la centrul de simetrie al elipsei.

Calculele sunt mai simple decât simple:

! Coordonatele specifice ale focarelor nu pot fi identificate cu semnificația „tse”! Repet că asta este DISTANTA de la fiecare focalizare la centru(care în cazul general nu trebuie să fie situat exact la origine).
Și, prin urmare, distanța dintre focare, de asemenea, nu poate fi legată de poziția canonică a elipsei. Cu alte cuvinte, elipsa poate fi mutată în alt loc, iar valoarea va rămâne neschimbată, în timp ce focarele își vor schimba în mod natural coordonatele. Vă rugăm să luați în considerare acest lucru pe măsură ce explorați în continuare subiectul.

Excentricitatea elipsei și semnificația ei geometrică

Excentricitatea unei elipse este un raport care poate lua valori în intervalul .

În cazul nostru:

Să aflăm cum forma unei elipse depinde de excentricitatea acesteia. Pentru aceasta fixați vârfurile stânga și dreapta a elipsei luate în considerare, adică valoarea semiaxei majore va rămâne constantă. Atunci formula excentricității va lua forma: .

Să începem să aducem valoarea excentricității mai aproape de unitate. Acest lucru este posibil doar dacă . Ce înseamnă? ... ține minte trucurile . Aceasta înseamnă că focarele elipsei se vor „depărta” de-a lungul axei absciselor până la vârfurile laterale. Și, deoarece „segmentele verzi nu sunt din cauciuc”, elipsa va începe inevitabil să se aplatizeze, transformându-se într-un cârnați din ce în ce mai subțiri înșirat pe o axă.

Prin urmare, cu cât valoarea excentricității elipsei este mai aproape de unitate, cu atât elipsa este mai alungită.

Acum să modelăm procesul opus: focarele elipsei mers unul spre celălalt, apropiindu-se de centru. Aceasta înseamnă că valoarea lui „ce” devine din ce în ce mai mică și, în consecință, excentricitatea tinde spre zero: .
În acest caz, „segmentele verzi” vor, dimpotrivă, „deveni aglomerate” și vor începe să „împingă” linia elipsei în sus și în jos.

Prin urmare, Cu cât valoarea excentricității este mai aproape de zero, cu atât elipsa este mai asemănătoare... uitați-vă la cazul limitativ când focarele sunt reunite cu succes la origine:

Un cerc este un caz special al unei elipse

Într-adevăr, în cazul egalității semiaxelor, ecuația canonică a elipsei ia forma , care se transformă reflexiv în ecuația unui cerc cu un centru la originea razei „a”, binecunoscută din școală.

În practică, se folosește mai des notația cu litera „vorbitoare” „er”: . Raza este lungimea unui segment, fiecare punct al cercului îndepărtat de centru cu o distanță de rază.

Rețineți că definiția unei elipse rămâne complet corectă: focarele coincid, iar suma lungimilor segmentelor coincidente pentru fiecare punct de pe cerc este o constantă. Deoarece distanța dintre focare este , atunci excentricitatea oricărui cerc este zero.

Construirea unui cerc este ușoară și rapidă, folosiți doar o busolă. Cu toate acestea, uneori este necesar să aflăm coordonatele unora dintre punctele sale, în acest caz mergem pe calea familiară - aducem ecuația la forma vesela Matanov:

– funcția semicercului superior;
– funcţia semicercului inferior.

Apoi găsim valorile necesare, diferențiați, integrași să faci alte lucruri bune.

Articolul, desigur, este doar pentru referință, dar cum poți trăi în lume fără iubire? Sarcină creativă pentru soluție independentă

Exemplul 2

Compuneți ecuația canonică a unei elipse dacă unul dintre focarele și semi-axa ei sunt cunoscute (centrul este la origine). Găsiți vârfuri, puncte suplimentare și trageți o linie în desen. Calculați excentricitatea.

Rezolvare și desen la sfârșitul lecției

Să adăugăm o acțiune:

Rotiți și translați în paralel o elipsă

Să revenim la ecuația canonică a elipsei, și anume la condiția, al cărei mister a chinuit mințile iscoditoare încă de la prima mențiune a acestei curbe. Așa că ne-am uitat la elipsă , dar nu este posibil în practică să îndeplinim ecuația ? La urma urmei, aici, însă, pare să fie și o elipsă!

Acest tip de ecuație este rar, dar se întâlnește. Și definește de fapt o elipsă. Să demitificăm:

În urma construcției s-a obținut elipsa noastră nativă, rotită cu 90 de grade. Acesta este, - Acest intrare necanonică elipsă . Record!- ecuația nu definește nicio altă elipsă, deoarece nu există puncte (focare) pe axă care să satisfacă definiția unei elipse.

Este o figură geometrică care este mărginită de o curbă dată de ecuație.

Are două focusuri . Se concentrează sunt numite astfel de două puncte, suma distanțelor de la care până la orice punct al elipsei este o valoare constantă.

Desen figura elipsa

F 1, F 2 – focalizează. F1 = (c; 0); F 2 (- c ; 0)

c – jumătate din distanța dintre focus;

a – semiaxa mare;

b – semiaxa minoră.

Teorema.Distanța focală și semiaxele sunt legate prin relația:

a 2 = b 2 + c 2 .

Dovada: Dacă punctul M este situat la intersecția elipsei cu axa verticală, r 1 + r 2 = 2* (conform teoremei lui Pitagora). Dacă punctul M este situat la intersecția sa cu axa orizontală, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Deoarece prin definiție, suma r 1 + r 2 este o valoare constantă, apoi, echivalând, obținem:

r 1 + r 2 = 2 a.

Excentricitatea unei figuri de elipsă

Definiție. Forma elipsei este determinată de caracteristică, care este raportul dintre distanța focală și axa majoră și se numește excentricitate.

Deoarece Cu< a , то е < 1.

Definiție. Se numește mărimea k = b / a rata compresiei, iar mărimea 1 – k = (a – b)/ a se numește comprimare.

Raportul de compresie și excentricitatea sunt legate prin relația: k 2 = 1 – e 2 .

Dacă a = b (c = 0, e = 0, focarele se îmbină), atunci elipsa se transformă într-un cerc.

Dacă condiția este îndeplinită pentru punctul M(x 1, y 1): atunci este situat în interiorul elipsei, iar dacă , atunci punctul este în afara acesteia.

Teorema.Pentru un punct arbitrar M(x, y) aparținând figurii elipsei, următoarele relații sunt adevărate::

r 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

Dovada. S-a arătat mai sus că r 1 + r 2 = 2 a. În plus, din considerente geometrice putem scrie:

După pătrarea și aducerea unor termeni similari:

Se demonstrează în mod similar că r 2 = a + ex. Teorema a fost demonstrată.

Figurile Directrix se elipsează

Figura elipsă este asociată cu două drepte numite directoare. Ecuațiile lor sunt:

x = a/e; x = - a / e .

Teorema.Pentru ca un punct să se afle la limita unei figuri de elipsă, este necesar și suficient ca raportul dintre distanța la focalizare și distanța la directriza corespunzătoare să fie egal cu excentricitatea e.

Exemplu. Construiți o elipsă care trece prin focarul din stânga și vârful inferior al figurii, dată de ecuația:

Puncte F 1 (–c, 0) și F 2 (c, 0), unde sunt numite focare de elipsă , în timp ce valoarea este 2 c defineste distanta interfocala .

Puncte A 1 (–A, 0), A 2 (A, 0), ÎN 1 (0, –b), B 2 (0, b) sunt numite vârfurile elipsei (Fig. 9.2), în timp ce A 1 A 2 = 2A formează axa majoră a elipsei și ÎN 1 ÎN 2 – mic, – centrul elipsei.

Principalii parametri ai elipsei, care îi caracterizează forma:

ε = Cu/A – excentricitatea elipsei ;

– razele focale ale elipsei (punct M aparține elipsei) și r 1 = A + εx, r 2 = A – εx;

– directricele elipsei .

Pentru o elipsă este adevărat: directricele nu intersectează limita și regiunea internă a elipsei și, de asemenea, au proprietatea

Excentricitatea unei elipse exprimă gradul ei de „compresie”.

Dacă b > A> 0, atunci elipsa este dată de ecuația (9.7), pentru care, în loc de condiția (9.8), condiția este îndeplinită

Apoi 2 A– axa minoră, 2 b– axa majoră, – focare (Fig. 9.3). în care r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, directricele sunt determinate de ecuațiile:

Având în vedere condiția avem (sub forma unui caz special al unei elipse) un cerc de rază R = A. în care Cu= 0, ceea ce înseamnă ε = 0.

Punctele elipsei au proprietate caracteristică : suma distanțelor de la fiecare dintre ele la focare este o valoare constantă egală cu 2 A(Fig. 9.2).

Pentru definirea parametrică a unei elipse (formula (9.7)) în cazurile în care condițiile (9.8) și (9.9) sunt îndeplinite ca parametru t unghiul dintre vectorul rază al unui punct situat pe elipsă și direcția pozitivă a axei poate fi luat Bou:

Dacă centrul unei elipse cu semiaxe este într-un punct, atunci ecuația sa are forma:

Exemplul 1. Dați ecuația elipsei X 2 + 4y 2 = 16 la forma canonică și determinați parametrii acesteia. Desenați o elipsă.

Soluţie. Să împărțim ecuația X 2 + 4y 2 = 16 cu 16, după care obținem:

Pe baza formei ecuației rezultate, concluzionăm că aceasta este ecuația canonică a unei elipse (formula (9.7)), unde A= 4 – semiaxa mare, b= 2 – semiaxa minoră. Aceasta înseamnă că vârfurile elipsei sunt punctele A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Deoarece este jumătate din distanța interfocală, punctele sunt focarele elipsei. Să calculăm excentricitatea:

Directoare D 1 , D 2 sunt descrise de ecuațiile:

Desenați o elipsă (Fig. 9.4).

Exemplul 2. Definiți parametrii elipsei

Soluţie. Să comparăm această ecuație cu ecuația canonică a unei elipse cu un centru deplasat. Găsirea centrului elipsei CU: Semi-axa majoră, semi-axa mică, linii drepte – axe majore. Jumătate din distanța interfocală și, prin urmare, focarele Excentricitatea Directricei D 1 și D 2 poate fi descris folosind ecuațiile: (Fig. 9.5).

Exemplul 3. Determinați care curbă este dată de ecuație și desenați-o:

1) X 2 + y 2 + 4X – 2y + 4 = 0; 2) X 2 + y 2 + 4X – 2y + 6 = 0;

3) X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 1 = 0; 4) X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 17 = 0;

Soluţie. 1) Să reducem ecuația la formă canonică izolând pătratul complet al binomului:

X 2 + y 2 + 4X – 2y + 4 = 0;

(X 2 + 4X) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(X 2 + 4X + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Astfel, ecuația poate fi redusă la forma

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Aceasta este ecuația unui cerc cu centrul în punctul (–2, 1) și raza R= 1 (Fig. 9.6).

2) Selectăm pătratele perfecte ale binoamelor din partea stângă a ecuației și obținem:

(X + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Această ecuație nu are sens pe mulțimea numerelor reale, deoarece partea stângă este nenegativă pentru orice valoare reală a variabilelor XȘi y, iar cea dreaptă este negativă. Prin urmare, ei spun că aceasta este ecuația unui „cerc imaginar” sau că definește un set gol de puncte din plan.

3) Selectați pătratele complete:

X 2 + 4y 2 – 2X + 16y + 1 = 0;

(X 2 – 2X + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Deci ecuația arată astfel:

Ecuația rezultată, și deci cea originală, definește o elipsă. Centrul elipsei este în punct DESPRE 1 (1, –2), axele principale sunt date de ecuații y = –2, X= 1, iar semiaxa mare A= 4, axa minoră b= 2 (Fig. 9.7).

4) După selectarea pătratelor complete avem:

(X – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 sau ( X – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Ecuația rezultată specifică un singur punct pe plan cu coordonatele (1, –2).

5) Să aducem ecuația la forma canonică:

În mod evident, definește o elipsă, al cărei centru este situat în punctul în care axele principale sunt date de ecuațiile cu semiaxa majoră și semiaxa mică (Fig. 9.8).

Exemplul 4. Scrieți ecuația tangentei la un cerc cu raza 2 centrat în focarul din dreapta al elipsei X 2 + 4y 2 = 4 în punctul de intersecție cu axa y.

Soluţie. Să reducem ecuația elipsei la forma canonică (9.7):

Aceasta înseamnă că focalizarea dreaptă este, de asemenea, - Prin urmare, ecuația necesară pentru un cerc cu raza 2 are forma (Fig. 9.9):

Cercul intersectează axa ordonatelor în puncte ale căror coordonate sunt determinate din sistemul de ecuații:

Primim:

Să fie acestea puncte N(0; –1) și M(0; 1). Aceasta înseamnă că putem construi două tangente, să le notăm T 1 și T 2. Conform proprietății binecunoscute, o tangentă este perpendiculară pe raza trasată la punctul de contact.

Fie Atunci ecuația tangentei T 1 va lua forma:

Deci, fie T 1: Este echivalent cu ecuația