(2) tenglama (1) dan kelib chiqqan bo'lsa-da, (1) tenglamaga ekvivalent ekanligini ko'rsatish mumkin (biz buni qilmaymiz). tengsiz transformatsiyalar. Demak, (2) tenglama bu ellipsning tenglamasidir. Bu deyiladi kanonik(ya'ni, eng oddiy).

Ko'rinib turibdiki, ellipsning tenglamasi 2-tartibli tenglama, ya'ni. 2-tartibdagi ellips chizig'i.

Ellips uchun biz kontseptsiyani kiritamiz ekssentriklik. Bu miqdor. Ellips uchun eksantriklik . Chunki Bilan Va A ma'lum, keyin ham ma'lum. Ellipsning M(x, y) nuqtasining fokus radiuslari ifodasi oldingi argumentlardan osonlik bilan olinadi: . r 2 tenglikdan topiladi (3)

Izoh Agar siz ikkita mixni (F1 va F2) stolga urib qo'ysangiz, ularning ikkala uchiga ipni bog'lang, ularning uzunligi mixlar orasidagi masofadan kattaroqdir ( 2a), shnurni torting va stol bo'ylab bo'r bo'lagini torting, so'ngra u ikkala o'q va kelib chiqishiga nisbatan simmetrik bo'lgan yopiq ellips egri chizig'ini chizadi.

4. Ellips shaklini uning kanonik tenglamasidan foydalanib o'rganish.

Izohda, aniqlik uchun biz ellipsning shakli haqida xulosa qildik. Keling, ellips shaklini uning kanonik tenglamasini tahlil qilib o'rganamiz:

Koordinata o'qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Agar ,y=0 bo'lsa, u holda, , ya'ni. bizda ikkita A1(-a,0) va A2(a,0) nuqta bor. Agar x=0 bo'lsa, , . Bular. bizda ikkita B1(0,-b) va B2(0,b) nuqta bor (chunki , keyin ). A1, A2, B1, B2 nuqtalari chaqiriladi ellipsning uchlari.

2) Ellipsning joylashish maydonini quyidagi fikrlardan aniqlash mumkin:

a) ellips tenglamasidan kelib chiqadiki, ya'ni. , ya'ni. yoki .

b) xuddi shunday, ya'ni. yoki . Bu butun ellipsning va chiziqlari hosil qilgan to'rtburchakda joylashganligini ko'rsatadi.

3) Bundan tashqari, x va y o'zgaruvchilari ellips tenglamasiga faqat juft darajalarda kiradi, ya'ni egri chiziq o'qlarning har biriga va koordinataga nisbatan simmetrikdir. D-lekin, agar (x, y) nuqta radiusga tegishli bo'lsa, (x, -y), (-x, y) va (-x, -y) nuqtalar ham unga tegishlidir. Shuning uchun ellipsning faqat birinchi chorakda joylashgan qismini, qaerda va ni ko'rib chiqish kifoya.

4) Ellips tenglamasidan bizda , va birinchi chorakda . Agar x=0 bo'lsa, u holda y=b. Bu B2(0,b) nuqtasi. x 0 dan a ga oshsin, keyin y b dan 0 ga kamayadi. Shunday qilib, yoyni tavsiflovchi B2(0, b) nuqtadan boshlab M(x, y) nuqta A(a,0) nuqtaga keladi. Yoyning konveks tarzda yuqoriga yo'naltirilganligini qat'iy isbotlash mumkin. Ushbu yoyni koordinata o'qlari va koordinatalarida aks ettirib, biz butun ellipsni olamiz. Ellipsning simmetriya o'qlari uning o'qlari deyiladi, ularning kesishish nuqtasi O ellipsning markazidir; OA1=OA2=a segmentlarining uzunligi ellipsning yarim katta o'qi, OB1, OB2=b segmentlari ellipsning yarim kichik o'qi, (a>b), c - yarim o'qi deyiladi. masofa. Kattalikni geometrik jihatdan tushuntirish oson.

a=b bo'lganda ellipsning kanonik tenglamasidan aylana tenglamasini olamiz. Bir doira uchun, ya'ni. F1=F2=0. .

Shunday qilib, aylana ellipsning o'ziga xos holati bo'lib, uning o'choqlari markazga to'g'ri keladi va ekssentrisite = 0 bo'ladi. Eksantriklik qanchalik katta bo'lsa, ellips shunchalik cho'ziladi.

Izoh. Ellipsning kanonik tenglamasidan ellipsni parametrik shaklda ko'rsatish mumkin degan xulosaga kelish oson. x=a chunki t

y=b sin t, bu erda a, b - katta va kichik yarim o'qlar, t-burchak.

5. Kanonik giperbola tenglamasining ta'rifi va hosilasi.

Giperbola HMT tekisliklari deb ataladi, ular uchun fokuslar deb ataladigan tekislikning ikkita sobit F1F2 nuqtasidan masofalar farqi doimiy qiymatdir (0 ga teng emas va F1F2 fokus masofasidan kichik).

Biz avvalgidek F1F2 = 2c ni belgilaymiz va masofalar farqi 2a (a)<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

M (x,y) giperbolaning joriy nuqtasi bo'lsin. Ta'rifi bo'yicha MF1-MF2= yoki r 1 -r 2 = = yoki --(1). – bu giperbolaning tenglamasi.

Biz (1) da irratsionallikdan xalos bo'lamiz: biz bitta ildizni ajratamiz, ikkala qismni kvadratga olamiz, biz olamiz: yoki , yana kvadrat:

Qayerda.

ga bo'ling. Keling, belgi bilan tanishtiramiz. Keyin --(2). (2) tenglama, ko'rsatilganidek, (1) tenglamaga ekvivalent, shuning uchun berilgan giperbolaning tenglamasi. U chaqiriladi giperbolaning kanonik tenglamasi. Giperbola tenglamasi ham ikkinchi darajali ekanligini ko'ramiz, ya'ni ikkinchi tartibli giperbola chizig'i.

Giperbolaning ekssentrikligi. Fokus radiuslari uchun ifodani avvalgisidan olish oson, keyin biz uni dan topamiz.

6. Giperbola shaklini uning kanonik tenglamasidan foydalanib o'rganish.

Biz xuddi ellipsni o'rganayotgandek fikr yuritamiz.

1. Giperbolaning o`qlari bilan kesishish nuqtalarini toping. Agar x = 0 bo'lsa, u holda. Op-amp o'qi bilan kesishish nuqtalari yo'q. Agar y=0 bo'lsa, u holda. Kesishish nuqtalari,. Ular chaqiriladi giperbolaning uchlari.

2. Giperbolaning joylashish maydoni: , ya'ni. yoki . Bu shuni anglatadiki, giperbola to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan chiziqdan tashqarida joylashgan x=-a Va x=a.

3. Giperbola simmetriyaning barcha turlariga ega, chunki x va y juft darajalarda uchraydi. Shuning uchun giperbolaning birinchi chorakda joylashgan qismini hisobga olish kifoya.

4. Birinchi chorakdagi (2) giperbola tenglamasidan bizda . x=a, y=0 uchun nuqta bor; da, ya'ni. egri chiziq o'ngga ko'tariladi. Harakatni aniqroq tasavvur qilish uchun koordinatalar boshidan o'tuvchi va tomonlari 2a va 2b bo'lgan to'rtburchakning diagonallari bo'lgan ikkita yordamchi chiziqni ko'rib chiqing: BCB'C'. Ularda tenglamalar va . M(x,y) giperbolaning joriy nuqtasi cheksizlikka borishini va to'g'ri chiziqqa cheksiz yaqinlashishini isbotlaylik. Keling, ixtiyoriy bir nuqtani olaylik X va giperbola nuqtasi va chiziqning mos keladigan ordinatalarini solishtiring. Bu aniq Y>y. MN=Y-y=.

Biz buni qachon ko'ramiz, ya'ni. egri chiziq koordinatadan uzoqlashganda to'g'ri chiziqqa cheksiz yaqinlashadi. Bu chiziq giperbolaning asimptoti ekanligini isbotlaydi. Bundan tashqari, giperbola asimptota bilan kesishmaydi. Bu giperbolaning bir qismini qurish uchun etarli. U konveks holda yuqoriga qaragan. Qolgan qismlar simmetriya bilan yakunlanadi. E'tibor bering, giperbolaning simmetriya o'qlari (koordinata o'qlari) uning deyiladi boltalar, o'qlarning kesishish nuqtasi- markaz giperbola. Bir o'q giperbolani (haqiqiy o'q) kesib o'tadi, ikkinchisi yo'q (xayoliy). Chiziq segmenti A haqiqiy yarim o'q, segment deb ataladi b- xayoliy yarim o'q. BCB'C' to'rtburchak giperbolaning asosiy to'rtburchagi deyiladi.

Agar a=b, keyin asimptotlar koordinata o'qlari bo'ylab burchaklar hosil qiladi. Keyin giperbola deyiladi teng yoki teng tomonli. Asosiy to'rtburchak kvadratga aylanadi. Uning asimptotalari bir-biriga perpendikulyar.

Izoh.

Ba'zan kanonik tenglamasi (3) bo'lgan giperbolani ko'rib chiqamiz. Uni chaqirishadi konjugat giperbolaga nisbatan (2). Giperbola (3) vertikal bo'lgan haqiqiy o'qga va gorizontal bo'lgan xayoliy o'qga ega. Agar siz qayta tashkil qilsangiz, uning ko'rinishi darhol aniqlanadi X Va da, A Va b(u eski holatiga qaytadi). Ammo giperbola (3) quyidagi shaklga ega bo'ladi:

Uning cho'qqilari.

5. Yuqorida aytib o'tilganidek, teng yonli giperbolaning tenglamasi ( a=b), koordinata o'qlari giperbolaning o'qlari bilan mos kelganda, shaklga ega bo'ladi. (4)

Chunki teng yonli giperbolaning asimptotalari perpendikulyar bo'lsa, ularni OX 1 va OU 1 koordinata o'qlari sifatida ham olish mumkin. Bu avvalgi OXY tizimini burchak bilan aylantirishga teng. Burchakni aylantirish formulalari quyidagicha:

Keyin yangi koordinatalar tizimida OX 1 Y 1 tenglama (4) qayta yoziladi:

Yoki yoki. ni belgilab, yoki (5) ni olamiz - bu tenglama teng yonli giperbola, asimptotlar sifatida tasniflangan (maktabda giperbolaning bu turi ko'rib chiqilgan).

Izoh: Tenglamadan kelib chiqadiki, M(x,y) giperbolaning istalgan nuqtasining koordinatalari bo'yicha qurilgan har qanday to'rtburchakning maydoni bir xil: S= k 2 .

7. Parabolaning kanonik tenglamasini aniqlash va chiqarish.

Parabola samolyotning GMT deb ataladi, ularning har biri uchun tekislikning F nuqtadan masofasi deyiladi. diqqat, deb nomlangan qo'zg'almas to'g'ri chiziqdan masofaga teng direktor(Direktordan tashqariga qarating).

F dan direktrisagacha bo'lgan masofani p bilan belgilaymiz va uni parabolaning parametri deb ataymiz. Koordinatalar sistemasini quyidagicha tanlaymiz: NP direktrisasiga perpendikulyar F nuqta orqali OX o'qini o'tkazamiz. FP segmentining o'rtasida koordinatalarning kelib chiqishini tanlaylik.

Ushbu tizimda: .

Joriy koordinatalari (x,y) bo'lgan ixtiyoriy M(x,y) nuqtani olaylik. Shunung uchun

Demak, (1) parabolaning tenglamasi. Keling, soddalashtiramiz:

Yoki (2) - bu shunday parabolaning kanonik tenglamasi.(1) va (2) larning ekvivalent ekanligini ko'rsatish mumkin.

(2) tenglama 2-tartibli tenglama, ya'ni. parabola 2-tartibli chiziqdir.

8. Parabola shaklini uning kanonik tenglamasidan foydalanib o'rganish.

(p>0).

1) x=0, y=0 parabola koordinatalar boshi O nuqtadan o'tadi. U parabola cho'qqisi deyiladi.

2) , ya'ni. parabola op-amp o'qining o'ng tomonida, o'ng yarim tekislikda joylashgan.

3) da teng darajaga kiradi, shuning uchun parabola OX o'qiga nisbatan simmetrikdir, shuning uchun uni birinchi chorakda qurish kifoya.

4) 1-chorakda da, ya'ni. parabola o'ngga ko'tariladi. Qavariqning yuqoriga qarab ekanligini ko'rsatish mumkin. Biz simmetriyaga ko'ra pastki qismida quramiz. OU o'qi parabolaga tegdi.

Shubhasiz, fokus radiusi . O'zaro munosabatlar deyiladi ekssentriklik: . Parabolaning simmetriya o'qi (bizning holatimizda OX) parabolaning o'qi deyiladi.

E'tibor bering, tenglama ham parabola, lekin teskari yo'nalishda yo'naltirilgan. Tenglamalar, shuningdek, o'qi op-ampning o'qi bo'lgan parabolalarni aniqlaydi.

yoki ko'proq tanish shaklda, bu erda.

Tenglama cho'qqisi o'zgartirilgan oddiy parabolani aniqlaydi.

Eslatmalar. 1) 2-tartibning barcha to'rt qatori o'rtasida yaqin munosabatlar mavjud - ularning barchasi konus kesimlari. Agar biz ikkita bo'shliqdan iborat konusni olsak, u holda biz uni konusning o'qiga perpendikulyar tekislik bilan kesib tashlasak, biz aylana hosil qilamiz, agar biz kesma tekislikni biroz egib, ellipsni olamiz; agar tekislik generatrixga parallel bo'lsa, u holda kesma parabola bo'ladi, agar tekislik ikkalasini kesishsa

bo'shliqlar - giperbola.

2) isbotlash mumkinki, agar parabola fokusidan keladigan yorug'lik nuri undan aks etsa, u holda aks ettirilgan nur parabolaning o'qiga parallel bo'ladi - bu yorug'lik chiroqlarining ta'sirida ishlatiladi - parabolik reflektor, va diqqat markazida - yorug'lik manbai. Bu yo'naltirilgan yorug'lik oqimiga olib keladi.

3) Agar biz Yer sun'iy yo'ldoshining atmosferadan tashqarida yotgan T nuqtadan gorizontal yo'nalishda uchirilishini tasavvur qilsak, u holda agar dastlabki tezlik v 0 etarli emas, u holda sun'iy yo'ldosh Yer atrofida aylanmaydi. 1-chichish tezligiga yetgandan so'ng, sun'iy yo'ldosh Yerning markazida joylashgan aylana orbita bo'ylab Yer atrofida aylanadi. Agar dastlabki tezlik oshirilsa, u holda aylanish ellips bo'ylab sodir bo'ladi, Yerning markazi fokuslardan birida bo'ladi. 2-chichish tezligiga yetganda, traektoriya parabolik bo'ladi va sun'iy yo'ldosh T nuqtasiga qaytmaydi, balki Quyosh tizimida bo'ladi. Bular. Parabola - cheksizlikda bitta fokusli ellips. Dastlabki tezlikning yanada oshishi bilan traektoriya giperbolik bo'ladi va ikkinchi fokus boshqa tomondan paydo bo'ladi. Yerning markazi doimo orbitaning diqqat markazida bo'ladi. Sun'iy yo'ldosh quyosh tizimini tark etadi.

11.1. Asosiy tushunchalar

Joriy koordinatalarga nisbatan ikkinchi darajali tenglamalar bilan aniqlangan chiziqlarni ko'rib chiqaylik

Tenglamaning koeffitsientlari haqiqiy sonlardir, lekin A, B yoki C raqamlarining kamida bittasi nolga teng emas. Bunday chiziqlar ikkinchi tartibli chiziqlar (egri chiziqlar) deb ataladi. Quyida (11.1) tenglama tekislikdagi aylana, ellips, giperbola yoki parabolani aniqlaganligi aniqlanadi. Ushbu bayonotga o'tishdan oldin, keling, sanab o'tilgan egri chiziqlarning xususiyatlarini o'rganamiz.

11.2. Doira

Eng oddiy ikkinchi tartibli egri chiziq aylanadir. Eslatib o'tamiz, radiusi R bo'lgan doira markazi nuqtada bo'lgan tekislikning barcha M nuqtalari to'plamidir. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi nuqta koordinatalari x 0, y 0 va - aylananing ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin (48-rasmga qarang).

Keyin shartdan biz tenglamani olamiz

(11.2)

(11.2) tenglama berilgan aylanadagi istalgan nuqtaning koordinatalari bilan qanoatlantiriladi va aylanada yotmagan birorta nuqtaning koordinatalari qanoatlanmaydi.

(11.2) tenglama chaqiriladi aylananing kanonik tenglamasi

Xususan, va ni qo'yish, markazi koordinata boshida bo'lgan aylana tenglamasini olamiz .

Oddiy o'zgarishlardan keyin aylana tenglamasi (11.2) shaklni oladi. Ushbu tenglamani ikkinchi tartibli egri chiziqning umumiy tenglamasi (11.1) bilan solishtirganda, aylana tenglamasi uchun ikkita shart bajarilganligini payqash oson:

1) x 2 va y 2 uchun koeffitsientlar bir-biriga teng;

2) joriy koordinatalarning xy mahsulotini o'z ichiga olgan a'zo yo'q.

Keling, teskari masalani ko'rib chiqaylik. (11.1) tenglamaga qiymatlarni qo'yib, biz olamiz

Keling, bu tenglamani o'zgartiramiz:

(11.4)

Bundan kelib chiqadiki (11.3) tenglama shart ostidagi doirani belgilaydi . Uning markazi nuqtada , va radius

.

Agar , u holda (11.3) tenglama ko'rinishga ega bo'ladi

.

U bitta nuqtaning koordinatalari bilan qondiriladi . Bunday holda, ular aytadilar: "aylana nuqtaga aylandi" (nol radiusga ega).

Agar , keyin (11.4) tenglama va shuning uchun (11.3) ekvivalent tenglama hech qanday chiziqni aniqlamaydi, chunki (11.4) tenglamaning o'ng tomoni manfiy, chap tomoni esa manfiy emas (aytaylik: "xayoliy doira").

11.3. Ellips

Kanonik ellips tenglamasi

Ellips tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, ularning har biridan ushbu tekislikning ikkita berilgan nuqtasigacha bo'lgan masofalar yig'indisi deyiladi. nayranglar , fokuslar orasidagi masofadan kattaroq doimiy qiymatdir.

Fokuslarni bilan belgilaymiz F 1 Va F 2, ular orasidagi masofa 2 ga teng c, va ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan fokuslargacha bo'lgan masofalar yig'indisi - 2 da a(49-rasmga qarang). Ta'rifi bo'yicha 2 a > 2c, ya'ni. a > c.

Ellips tenglamasini olish uchun fokuslar bo'lishi uchun koordinatalar tizimini tanlaymiz F 1 Va F 2 eksa ustida yotadi va kelib chiqishi segmentning o'rtasiga to'g'ri keldi F 1 F 2. Shunda fokuslar quyidagi koordinatalarga ega bo'ladi: va.

Ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. Keyin, ellipsning ta'rifiga ko'ra, ya'ni.

Bu, aslida, ellipsning tenglamasidir.

(11.5) tenglamani quyidagicha oddiyroq ko'rinishga o'tkazamiz:

Chunki a>Bilan, Bu. Keling, qo'ying

(11.6)

Keyin oxirgi tenglama yoki ko'rinishini oladi

(11.7)

(11.7) tenglama dastlabki tenglamaga ekvivalent ekanligini isbotlash mumkin. Bu deyiladi kanonik ellips tenglamasi .

Ellips ikkinchi tartibli egri chiziqdir.

Ellips shaklini uning tenglamasidan foydalanib o'rganish

Keling, ellips shaklini uning kanonik tenglamasidan foydalanib o'rnatamiz.

1. (11.7) tenglama faqat juft darajalarda x va y ni o'z ichiga oladi, shuning uchun nuqta ellipsga tegishli bo'lsa, ,, nuqtalari ham unga tegishlidir. Bundan kelib chiqadiki, ellips va o'qlariga nisbatan, shuningdek, ellipsning markazi deb ataladigan nuqtaga nisbatan simmetrikdir.

2. Ellipsning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toping. ni qo'yib, o'q ellipsni kesib o'tadigan ikkita nuqta va ni topamiz (50-rasmga qarang). (11.7) tenglamani qo'yib, ellipsning o'q bilan kesishish nuqtalarini topamiz: va . Ballar A 1 , A 2 , B 1, B 2 chaqiriladi ellipsning uchlari. Segmentlar A 1 A 2 Va B 1 B 2, shuningdek, ularning uzunligi 2 a va 2 b mos ravishda chaqiriladi katta va kichik o'qlar ellips. Raqamlar a Va b mos ravishda katta va kichik deyiladi aks vallari ellips.

3. (11.7) tenglamadan kelib chiqadiki, chap tomondagi har bir atama bittadan oshmaydi, ya'ni. va yoki va tengsizliklari sodir bo'ladi. Demak, ellipsning barcha nuqtalari to'g'ri chiziqlar hosil qilgan to'rtburchak ichida yotadi.

4. (11.7) tenglamada manfiy bo'lmagan hadlar yig'indisi va birga teng. Binobarin, bir atama ko'tarilsa, ikkinchisi kamayadi, ya'ni ko'paysa, kamayadi va aksincha.

Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, ellips shaklda ko'rsatilgan shaklga ega. 50 (oval yopiq egri).

Ellips haqida ko'proq ma'lumot

Ellipsning shakli nisbatga bog'liq. Ellips aylanaga aylanganda, ellipsning tenglamasi (11.7) shaklni oladi. Bu nisbat ko'pincha ellips shaklini tavsiflash uchun ishlatiladi. Fokuslar orasidagi masofaning yarmining ellipsning yarim katta o'qiga nisbati ellipsning ekssentrisiteti deb ataladi va o6o e harfi bilan belgilanadi ("epsilon"):

0 bilan<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Bu shuni ko'rsatadiki, ellipsning eksantrikligi qanchalik kichik bo'lsa, ellips shunchalik kamroq tekislanadi; agar e = 0 ni o'rnatsak, u holda ellips aylanaga aylanadi.

M(x;y) fokuslari F 1 va F 2 bo'lgan ellipsning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin (51-rasmga qarang). F 1 M = r 1 va F 2 M = r 2 segmentlarining uzunliklari M nuqtaning fokus radiuslari deyiladi. Shubhasiz,

Formulalar amal qiladi

To'g'ridan-to'g'ri chiziqlar chaqiriladi

11.1 teorema. Agar ellipsning ixtiyoriy nuqtasidan biron bir fokusgacha bo'lgan masofa bo'lsa, d - bir xil nuqtadan ushbu fokusga mos keladigan direktrisagacha bo'lgan masofa, u holda nisbat ellipsning ekssentrikligiga teng doimiy qiymatdir:

Tenglikdan (11.6) shundan kelib chiqadiki. Agar, u holda (11.7) tenglama ellipsni aniqlaydi, uning katta o'qi Oy o'qida va kichik o'qi Ox o'qida (52-rasmga qarang). Bunday ellipsning o'choqlari nuqtalarda va , qaerda .

11.4. Giperbola

Kanonik giperbola tenglamasi

Giperbola - bu tekislikning barcha nuqtalarining to'plami, ularning har biridan ushbu tekislikning ikkita berilgan nuqtasigacha bo'lgan masofalar farqining moduli, deyiladi. nayranglar , fokuslar orasidagi masofadan kamroq doimiy qiymat.

Fokuslarni bilan belgilaymiz F 1 Va F 2 ular orasidagi masofa 2s, va giperbolaning har bir nuqtasidan fokuslargacha bo'lgan masofalar farqining moduli 2a. A-prior 2a < 2s, ya'ni. a < c.

Giperbola tenglamasini chiqarish uchun fokuslar bo'lishi uchun koordinatalar tizimini tanlaymiz F 1 Va F 2 eksa ustida yotadi va kelib chiqishi segmentning o'rtasiga to'g'ri keldi F 1 F 2(53-rasmga qarang). Keyin fokuslar koordinatalariga ega bo'ladi va

Giperbolaning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. Keyin, giperbolaning ta'rifiga ko'ra yoki, ya'ni, ellips tenglamasini chiqarishda qilinganidek, soddalashtirishlardan so'ng, biz olamiz kanonik giperbola tenglamasi

(11.9)

(11.10)

Giperbola ikkinchi tartibli chiziqdir.

Giperbolaning shaklini uning tenglamasidan foydalanib o'rganish

Giperbolaning shaklini uning kakonik tenglamasidan foydalanib tuzamiz.

1. (11.9) tenglamada x va y faqat juft darajalarda mavjud. Demak, giperbola o'qlarga va ga nisbatan, shuningdek, nuqtaga nisbatan simmetrik bo'lib, bu deyiladi. giperbolaning markazi.

2. Giperbolaning koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtalarini toping. (11.9) tenglamani qo'yib, giperbolaning o'q bilan kesishgan ikkita nuqtasini topamiz: va. (11.9) ga qo'yib, biz bo'lishi mumkin bo'lmagan ni olamiz. Demak, giperbola Oy o'qini kesib o'tmaydi.

Nuqtalar chaqiriladi cho'qqilari giperbolalar va segment

haqiqiy o'q , chiziq segmenti - haqiqiy yarim o'q giperbola.

Segmentni ulash nuqtalari deyiladi xayoliy o'q , b raqami - xayoliy yarim o'q . Yon tomonlari bo'lgan to'rtburchaklar 2a Va 2b chaqirdi giperbolaning asosiy to'rtburchagi .

3. (11.9) tenglamadan kelib chiqadiki, minuend birdan kam emas, ya'ni u yoki . Bu shuni anglatadiki, giperbolaning nuqtalari chiziqning o'ng tomonida (giperbolaning o'ng shoxchasi) va chiziqning chap tomonida (giperbolaning chap shoxi) joylashgan.

4. Giperbolaning (11.9) tenglamasidan ko'rinib turibdiki, u ko'payganda, u ortadi. Bu farq birga teng doimiy qiymatni saqlab turishidan kelib chiqadi.

Yuqoridagilardan kelib chiqadiki, giperbola 54-rasmda ko'rsatilgan shaklga ega (ikki cheksiz tarmoqdan iborat egri chiziq).

Giperbolaning asimptotalari

L to'g'ri chiziq asimptota deyiladi chegaralanmagan K egri chizig'ining, agar K egri chizig'ining M nuqtasidan bu to'g'ri chiziqgacha bo'lgan masofa d masofa K egri chiziq bo'ylab M nuqtaning boshlang'ichdan uzoqligi cheksiz bo'lganda nolga intiladi. 55-rasmda asimptota tushunchasining tasviri keltirilgan: L to‘g‘ri chiziq K egri chizig‘i uchun asimptotadir.

Giperbolaning ikkita asimptoti borligini ko'rsataylik:

(11.11)

To'g'ri chiziqlar (11.11) va giperbola (11.9) koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik bo'lganligi sababli, ko'rsatilgan chiziqlarning faqat birinchi chorakda joylashgan nuqtalarini ko'rib chiqish kifoya.

Giperbolaning nuqtasi bilan bir xil abscissa x bo'lgan to'g'ri chiziqdagi N nuqtani olaylik (56-rasmga qarang) va to‘g‘ri chiziq ordinatalari va giperbolaning shoxlari orasidagi L L farqini toping:

Ko'rib turganingizdek, x ortishi bilan kasrning maxraji ortadi; numerator doimiy qiymatdir. Shuning uchun segmentning uzunligi l nolga intiladi. MI M nuqtadan to'g'ri chiziqgacha bo'lgan d masofadan katta bo'lganligi sababli, d undan ham ko'proq nolga intiladi. Demak, chiziqlar giperbolaning asimptotalaridir (11.9).

Giperbolani qurishda (11.9) birinchi navbatda giperbolaning asosiy to'g'ri to'rtburchagini qurish (57-rasmga qarang), ushbu to'rtburchakning qarama-qarshi cho'qqilari - giperbolaning asimptotalaridan o'tadigan to'g'ri chiziqlarni chizish va uchlarini belgilash va , giperbolaning.

Teng yonli giperbolaning tenglamasi.

ularning asimptotalari koordinata o'qlaridir

Giperbola (11.9) teng tomonli deyiladi, agar uning yarim o'qlari () ga teng bo'lsa. Uning kanonik tenglamasi

(11.12)

Teng yonli giperbolaning asimptotalari tenglamalarga ega va shuning uchun koordinata burchaklarining bissektrisalaridir.

Ushbu giperbolaning tenglamasini yangi koordinatalar tizimida ko'rib chiqamiz (58-rasmga qarang), eskisidan koordinata o'qlarini burchak bilan aylantirish orqali olingan. Koordinata o'qlarini aylantirish uchun formulalardan foydalanamiz:

Biz x va y qiymatlarini tenglamaga almashtiramiz (11.12):

Ox va Oy o'qlari asimptota bo'lgan teng yonli giperbolaning tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi.

Giperbola haqida ko'proq ma'lumot

Eksantriklik giperbola (11.9) - fokuslar orasidagi masofaning giperbolaning haqiqiy o'qi qiymatiga nisbati, e bilan belgilanadi:

Giperbola uchun giperbolaning ekssentrisiteti birdan katta bo'lgani uchun: . Eksantriklik giperbolaning shaklini tavsiflaydi. Darhaqiqat, (11.10) tenglikdan kelib chiqadiki, ya'ni. Va .

Bundan ko'rinib turibdiki, giperbolaning ekssentrisiteti qanchalik kichik bo'lsa, uning yarim o'qlari nisbati shunchalik kichik bo'ladi va shuning uchun uning asosiy to'rtburchaklari shunchalik uzunroq bo'ladi.

Teng yonli giperbolaning ekssentrisiteti . Haqiqatan ham,

Fokal radiuslar Va o'ng filial nuqtalari uchun giperbolalar va shaklga ega, chap shox uchun esa - Va .

To'g'ridan-to'g'ri chiziqlar giperbolaning direktrisalari deb ataladi. Giperbola uchun e > 1 bo'lgani uchun . Bu shuni anglatadiki, o'ng direktriks giperbolaning markazi va o'ng cho'qqilari o'rtasida, chap - markaz va chap tepa o'rtasida joylashgan.

Giperbolaning direktrisalari ellipsning direktrisalari bilan bir xil xususiyatga ega.

Tenglama bilan aniqlangan egri chiziq ham giperbola bo'lib, uning haqiqiy o'qi 2b Oy o'qida, xayoliy o'qi 2 joylashgan. a- Ox o'qida. 59-rasmda u nuqta chiziq shaklida ko'rsatilgan.

Giperbolalarning umumiy asimptotalari borligi aniq. Bunday giperbolalar konjugat deb ataladi.

11.5. Parabola

Kanonik parabola tenglamasi

Parabola - tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, ularning har biri fokus deb ataladigan berilgan nuqtadan va direktrisa deb ataladigan berilgan chiziqdan bir xil masofada joylashgan. Fokus F dan direktrisagacha bo'lgan masofa parabolaning parametri deb ataladi va p (p > 0) bilan belgilanadi.

Parabola tenglamasini chiqarish uchun Oxy koordinata sistemasini tanlaymiz, shunday qilib Ox o'qi direktrisaga perpendikulyar bo'lgan F fokusdan direktrisadan F ga yo'nalishda o'tadi va O koordinatalarining kelib chiqishi O'rtada joylashgan bo'ladi. fokus va direktrisa (60-rasmga qarang). Tanlangan tizimda fokus F koordinatalariga ega, direktrisa tenglamasi esa yoki ko'rinishga ega.

1. (11.13) tenglamada y o'zgaruvchisi teng darajada ko'rinadi, bu parabola Ox o'qiga nisbatan simmetrik ekanligini bildiradi; Ox o'qi parabolaning simmetriya o'qidir.

2. r > 0 bo‘lgani uchun (11.13) dan kelib chiqadiki. Demak, parabola Oy o'qining o'ng tomonida joylashgan.

3. Qachonki bizda y = 0. Shuning uchun parabola koordinata boshidan o'tadi.

4. X ning cheksiz ortishi bilan y moduli ham cheksiz ortadi. Parabola 61-rasmda ko'rsatilgan shaklga (shaklga) ega. O(0; 0) nuqta parabolaning tepasi, FM = r segmenti M nuqtaning fokus radiusi deb ataladi.

Tenglamalar , , ( p>0) parabolalarni ham aniqlaydi, ular 62-rasmda ko'rsatilgan

, B va C har qanday haqiqiy sonlar bo'lgan kvadrat uchburchakning grafigi yuqorida berilgan ta'rifi ma'nosida parabola ekanligini ko'rsatish qiyin emas.

11.6. Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi

Koordinata o'qlariga parallel simmetriya o'qlari bo'lgan ikkinchi tartibli egri chiziqlar tenglamalari

Avval simmetriya o'qlari Ox va Oy koordinata o'qlariga parallel va yarim o'qlari mos ravishda teng bo'lgan nuqtada markazi bo'lgan ellips tenglamasini topamiz. a Va b. O 1 ellips markaziga o'qlari va yarim o'qlari bo'lgan yangi koordinata tizimining boshini joylashtiramiz. a Va b(64-rasmga qarang):

Nihoyat, 65-rasmda ko'rsatilgan parabolalar mos keladigan tenglamalarga ega.

Tenglama

Ellips, giperbola, parabola tenglamalari va aylana tenglamasini o'zgartirishdan so'ng (qavslarni oching, tenglamaning barcha a'zolarini bir tomonga siljiting, o'xshash a'zolarni keltiring, koeffitsientlar uchun yangi belgilarni kiriting) bitta tenglama yordamida yozilishi mumkin. shakl

bu erda A va C koeffitsientlari bir vaqtning o'zida nolga teng emas.

Savol tug'iladi: (11.14) ko'rinishdagi har bir tenglama ikkinchi tartibli egri chiziqlardan (doira, ellips, giperbola, parabola) birini aniqlaydimi? Javob quyidagi teorema bilan berilgan.

11.2 teorema. (11.14) tenglama har doim quyidagilarni belgilaydi: aylana (A = C uchun) yoki ellips (A · C > 0 uchun) yoki giperbola (A · C uchun)< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Umumiy ikkinchi tartibli tenglama

Endi ikkita noma'lumli ikkinchi darajali umumiy tenglamani ko'rib chiqamiz:

U (11.14) tenglamadan koordinatalar mahsuloti (B¹ 0) bilan atama mavjudligi bilan farq qiladi. Koordinata o'qlarini a burchagi bilan aylantirib, bu tenglamani koordinatalar ko'paytmasi bilan atama bo'lmasligi uchun o'zgartirish mumkin.

Eksa aylanish formulalaridan foydalanish

Keling, eski koordinatalarni yangilari bilan ifodalaymiz:

X" · y" uchun koeffitsient nolga aylanadi, ya'ni tenglik bo'lishi uchun a burchakni tanlaymiz.

Shunday qilib, o'qlar (11.17) shartni qanoatlantiradigan a burchak bilan aylantirilsa, (11.15) tenglama (11.14) tenglamaga keltiriladi.

Xulosa: umumiy ikkinchi tartibli tenglama (11.15) tekislikda (degeneratsiya va yemirilish hollaridan tashqari) quyidagi egri chiziqlarni aniqlaydi: aylana, ellips, giperbola, parabola.

Eslatma: Agar A = C bo'lsa, (11.17) tenglama ma'nosiz bo'ladi. Bunday holda, cos2a = 0 (qarang (11.16)), keyin 2a = 90 °, ya'ni a = 45 °. Shunday qilib, A = C bo'lganda, koordinatalar tizimini 45 ° ga aylantirish kerak.

Ikkinchi tartibli chiziqlar.
Ellips va uning kanonik tenglamasi. Doira

To'liq o'rganishdan keyin tekislikdagi to'g'ri chiziqlar Biz ikki o'lchovli dunyo geometriyasini o'rganishni davom ettirmoqdamiz. Qoziqlar ikki baravar ko'paydi va men sizni ellipslar, giperbolalar, parabolalarning odatiy vakillari bo'lgan go'zal galereyasiga tashrif buyurishga taklif qilaman. ikkinchi tartibli qatorlar. Ekskursiya allaqachon boshlangan va birinchi navbatda muzeyning turli qavatlarida butun ko'rgazma haqida qisqacha ma'lumot:

Algebraik chiziq haqida tushuncha va uning tartibi

Samolyotdagi chiziq deyiladi algebraik, agar ichida afin koordinatalar tizimi uning tenglamasi ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda ko'phad ko'rinishdagi hadlardan tashkil topgan ( – haqiqiy son, – manfiy bo'lmagan butun sonlar).

Ko'rib turganingizdek, algebraik chiziq tenglamasi sinuslar, kosinuslar, logarifmlar va boshqa funktsional go'zalliklarni o'z ichiga olmaydi. Faqat X va Y mavjud manfiy bo'lmagan butun sonlar daraja.

Chiziq tartibi unga kiritilgan shartlarning maksimal qiymatiga teng.

Tegishli teoremaga ko'ra, algebraik chiziq tushunchasi, shuningdek, uning tartibi tanlovga bog'liq emas. afin koordinatalar tizimi, shuning uchun mavjud bo'lish qulayligi uchun biz keyingi barcha hisob-kitoblar quyidagicha amalga oshiriladi deb taxmin qilamiz. Dekart koordinatalari.

Umumiy tenglama ikkinchi tartib qatori shaklga ega , bu erda - ixtiyoriy haqiqiy sonlar (Uni ikki omil bilan yozish odatiy holdir), va koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng emas.

Agar bo'lsa, tenglama ga soddalashadi , va agar koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng bo'lmasa, bu aniq "tekis" chiziqning umumiy tenglamasi, ifodalaydi birinchi navbatdagi qator.

Ko'pchilik yangi atamalarning ma'nosini tushundi, ammo shunga qaramay, materialni 100% o'zlashtirish uchun biz barmoqlarimizni rozetkaga yopishtiramiz. Chiziq tartibini aniqlash uchun siz takrorlashingiz kerak barcha shartlar uning tenglamalari va ularning har biri uchun toping darajalar yig'indisi kiruvchi o'zgaruvchilar.

Masalan:

atama 1-darajali "x" ni o'z ichiga oladi;
atama 1-darajali "Y" ni o'z ichiga oladi;
Terminda o'zgaruvchilar yo'q, shuning uchun ularning kuchlari yig'indisi nolga teng.

Endi tenglama nima uchun chiziqni belgilashini aniqlaylik ikkinchi buyurtma:

atama 2-darajali "x" ni o'z ichiga oladi;
yig'indisi o'zgaruvchilarning vakolatlari yig'indisiga ega: 1 + 1 = 2;
atama 2-darajali "Y" ni o'z ichiga oladi;
boshqa barcha shartlar - Ozroq daraja.

Maksimal qiymat: 2

Agar biz tenglamamizga qo'shimcha ravishda qo'shsak, u allaqachon aniqlanadi uchinchi tartib qatori. Ko'rinib turibdiki, 3-tartibli chiziqli tenglamaning umumiy shakli o'zgaruvchilarning vakolatlari yig'indisi uchtaga teng bo'lgan "to'liq" atamalarni o'z ichiga oladi:
, bu erda koeffitsientlar bir vaqtning o'zida nolga teng emas.

O'z ichiga olgan bir yoki bir nechta mos shartlarni qo'shsangiz , keyin biz allaqachon gaplashamiz 4-tartibdagi qatorlar, va hokazo.

Biz 3, 4 va undan yuqori darajali algebraik chiziqlar bilan bir necha marta uchrashishimiz kerak bo'ladi, xususan, ular bilan tanishishda. qutbli koordinatalar tizimi.

Biroq, keling, umumiy tenglamaga qaytaylik va uning eng oddiy maktab o'zgarishlarini eslaylik. Misol tariqasida tenglamasini umumiy shaklga keltirish mumkin bo'lgan parabola va ekvivalent tenglamaga ega giperbola paydo bo'ladi. Biroq, hamma narsa unchalik silliq emas ...

Umumiy tenglamaning muhim kamchiligi shundaki, u qaysi chiziqni aniqlaganligi deyarli har doim ham aniq emas. Hatto eng oddiy holatda ham, bu giperbola ekanligini darhol anglay olmaysiz. Bunday tartiblar faqat maskaradda yaxshi, shuning uchun analitik geometriya kursida odatiy muammo ko'rib chiqiladi. 2-tartibli chiziq tenglamasini kanonik shaklga keltirish.

Tenglamaning kanonik shakli nima?

Bu tenglamaning umumiy qabul qilingan standart shakli bo'lib, bir necha soniya ichida u qanday geometrik ob'ektni aniqlagani aniq bo'ladi. Bundan tashqari, kanonik shakl ko'plab amaliy vazifalarni hal qilish uchun juda qulaydir. Shunday qilib, masalan, kanonik tenglamaga ko'ra "tekis" tekis, birinchidan, bu to'g'ri chiziq ekanligi darhol aniq bo'ladi, ikkinchidan, unga tegishli nuqta va yo'nalish vektori osongina ko'rinadi.

Har qanday bo'lishi aniq 1-tartib qatori to'g'ri chiziqdir. Ikkinchi qavatda bizni endi qorovul emas, balki to'qqizta haykaldan iborat ancha xilma-xil jamoa kutmoqda:

Ikkinchi tartibli chiziqlarning tasnifi

Maxsus harakatlar to'plamidan foydalanib, ikkinchi darajali chiziqning har qanday tenglamasi quyidagi shakllardan biriga qisqartiriladi:

(va musbat haqiqiy sonlar)

1) – ellipsning kanonik tenglamasi;

2) – giperbolaning kanonik tenglamasi;

3) – parabolaning kanonik tenglamasi;

4) – xayoliy ellips;

5) – kesishuvchi chiziqlar juftligi;

6) - juftlik xayoliy kesishuvchi chiziqlar (boshida bitta haqiqiy kesishish nuqtasi bilan);

7) – bir juft parallel chiziqlar;

8) - juftlik xayoliy parallel chiziqlar;

9) - bir-biriga mos keladigan juft chiziqlar.

Ba'zi o'quvchilarda ro'yxat to'liq emas degan taassurot paydo bo'lishi mumkin. Masalan, 7-bandda tenglama juftlikni belgilaydi bevosita, o'qiga parallel va savol tug'iladi: ordinata o'qiga parallel chiziqlarni aniqlaydigan tenglama qayerda? Javob: bu kanonik hisoblanmaydi. To'g'ri chiziqlar 90 gradusga aylantirilgan bir xil standart holatni ifodalaydi va tasnifga qo'shimcha kiritish ortiqcha, chunki u tubdan yangi narsa keltirmaydi.

Shunday qilib, to'qqiz va faqat to'qqiz xil 2-tartibli chiziqlar mavjud, ammo amalda eng keng tarqalganlari ellips, giperbola va parabola.

Keling, avval ellipsni ko'rib chiqaylik. Odatdagidek, men muammolarni hal qilishda katta ahamiyatga ega bo'lgan fikrlarga e'tibor qarataman va agar sizga formulalarni batafsil chiqarish, teoremalarni isbotlash kerak bo'lsa, masalan, Bazylev/Atanasyan yoki Aleksandrovning darsligiga murojaat qiling.

Ellips va uning kanonik tenglamasi

Imlo... iltimos, “ellipsni qanday qurish kerak”, “ellips va oval o‘rtasidagi farq” va “ellipsning ekssentrikligi” bilan qiziqqan ba’zi Yandex foydalanuvchilarining xatolarini takrorlamang.

Ellipsning kanonik tenglamasi , bu erda musbat haqiqiy sonlar va . Men ellipsning ta'rifini keyinroq shakllantiraman, ammo hozircha suhbat do'konidan tanaffus qilish va umumiy muammoni hal qilish vaqti keldi:

Ellipsni qanday qurish mumkin?

Ha, uni oling va shunchaki chizib oling. Vazifa tez-tez sodir bo'ladi va o'quvchilarning katta qismi rasmni to'g'ri bajara olmaydi:

1-misol

Tenglama bilan berilgan ellipsni tuzing

Yechim: Birinchidan, tenglamani kanonik shaklga keltiramiz:

Nega olib keling? Kanonik tenglamaning afzalliklaridan biri shundaki, u bir zumda aniqlash imkonini beradi ellipsning uchlari nuqtalarda joylashgan. Bu nuqtalarning har birining koordinatalari tenglamani qanoatlantirishini tushunish oson.

Ushbu holatda :


Chiziq segmenti chaqirdi asosiy o'q ellips;
chiziq segmenti – kichik o'q;
raqam chaqirdi yarim asosiy shaft ellips;
raqam – kichik o'q.
bizning misolimizda: .

Muayyan ellips qanday ko'rinishini tezda tasavvur qilish uchun uning kanonik tenglamasining "a" va "be" qiymatlariga qarang.

Hammasi yaxshi, toza va chiroyli, lekin bitta ogohlantirish bor: men dastur yordamida chizmani chizganman. Va siz har qanday dastur yordamida rasm chizishingiz mumkin. Biroq, qattiq haqiqatda stolda katakli qog'oz bor va sichqonlar bizning qo'limizda aylana bo'ylab raqsga tushishadi. Badiiy iste'dodli odamlar, albatta, bahslashishlari mumkin, lekin sizda ham sichqonlar bor (garchi kichikroq bo'lsa ham). Insoniyat chizg'ich, kompas, transportyor va boshqa oddiy chizmalarni ixtiro qilgani bejiz emas.

Shuning uchun biz faqat uchlarini bilgan holda ellipsni aniq chizishimiz dargumon. Agar ellips kichik bo'lsa, masalan, yarim o'qlar bilan yaxshi. Shu bilan bir qatorda, siz o'lchovni va shunga mos ravishda chizilgan o'lchamlarini kamaytirishingiz mumkin. Ammo umuman olganda, qo'shimcha nuqtalarni topish juda ma'qul.

Ellipsni qurishda ikkita yondashuv mavjud - geometrik va algebraik. Men kompas va o'lchagich yordamida qurilishni yoqtirmayman, chunki algoritm eng qisqa emas va chizilgan sezilarli darajada chalkash. Favqulodda vaziyatlarda darslikka murojaat qiling, lekin aslida algebra vositalaridan foydalanish ancha oqilona. Loyihadagi ellips tenglamasidan biz tezda ifodalaymiz:

Keyin tenglama ikkita funktsiyaga bo'linadi:
– ellipsning yuqori yoyini aniqlaydi;
– ellipsning pastki yoyini belgilaydi.

Kanonik tenglama bilan aniqlangan ellips koordinata o'qlariga nisbatan, shuningdek, koordinataga nisbatan simmetrikdir. Va bu ajoyib - simmetriya deyarli har doim bepul narsalarning xabarchisi. Shubhasiz, 1-koordinatali chorak bilan shug'ullanish kifoya, shuning uchun biz funktsiyaga muhtojmiz . Abscissalar bilan qo'shimcha nuqtalarni topish masalasi tug'iladi . Kalkulyatorda uchta SMS xabarni bosing:

Albatta, agar hisob-kitoblarda jiddiy xatoga yo'l qo'yilgan bo'lsa, bu qurilish paytida darhol aniq bo'lishi ham yoqimli.

Chizmadagi nuqtalarni (qizil), qolgan yoylardagi nosimmetrik nuqtalarni (ko'k) belgilaymiz va butun kompaniyani chiziq bilan ehtiyotkorlik bilan bog'laymiz:


Dastlabki eskizni juda nozik chizish yaxshidir va shundan keyingina qalam bilan bosim o'tkazing. Natijada juda yaxshi ellips bo'lishi kerak. Aytgancha, bu egri chiziq nima ekanligini bilmoqchimisiz?

Ellipsning ta'rifi. Ellips fokuslari va ellips ekssentrikligi

Ellips ovalning alohida holatidir. "Oval" so'zini filist ma'nosida tushunmaslik kerak ("bola oval chizdi" va hokazo). Bu batafsil formulaga ega bo'lgan matematik atama. Ushbu darsning maqsadi analitik geometriyaning standart kursida amalda e'tibor berilmagan ovallar va ularning har xil turlari nazariyasini ko'rib chiqish emas. Va hozirgi ehtiyojlarga ko'ra, biz darhol ellipsning qat'iy ta'rifiga o'tamiz:

Ellips tekislikning barcha nuqtalari to'plami bo'lib, ularning har biriga berilgan ikkita nuqtadan masofalar yig'indisi deyiladi. nayranglar ellips, doimiy kattalik bo'lib, son jihatdan shu ellipsning katta o'qi uzunligiga teng: .
Bunday holda, fokuslar orasidagi masofalar ushbu qiymatdan kamroq bo'ladi: .

Endi hamma narsa aniqroq bo'ladi:

Tasavvur qiling-a, ko'k nuqta ellips bo'ylab "sayohat qiladi". Shunday qilib, ellipsning qaysi nuqtasini olishimizdan qat'iy nazar, segmentlar uzunligi yig'indisi doimo bir xil bo'ladi:

Keling, bizning misolimizda yig'indining qiymati haqiqatan ham sakkizga teng ekanligiga ishonch hosil qilaylik. Ellipsning o'ng cho'qqisiga "um" nuqtasini aqliy ravishda qo'ying, keyin: , tekshirish kerak bo'lgan narsa.

Uni chizishning yana bir usuli ellipsning ta'rifiga asoslangan. Yuqori matematika ba'zan keskinlik va stressning sababidir, shuning uchun yana bir tushirish seansini o'tkazish vaqti keldi. Iltimos, whatman qog'ozini yoki katta karton varaqni olib, stolga ikkita mix bilan mahkamlang. Bu hiylalar bo'ladi. Chiqib ketgan tirnoq boshlariga yashil ipni bog'lab, qalam bilan oxirigacha torting. Qalam chizig'i ellipsga tegishli bo'lgan ma'lum bir nuqtada tugaydi. Endi qalamni qog'oz varag'i bo'ylab chizishni boshlang, yashil ipni mahkam torting. Boshlanish nuqtasiga qaytguningizcha jarayonni davom ettiring ... ajoyib ... chizmani shifokor va o'qituvchi tekshirishi mumkin =)

Ellips fokuslarini qanday topish mumkin?

Yuqoridagi misolda men "tayyor" markazlashtirilgan nuqtalarni tasvirladim va endi biz ularni geometriya chuqurligidan qanday chiqarishni o'rganamiz.

Agar ellips kanonik tenglama bilan berilgan bo'lsa, uning o'choqlari koordinatalariga ega , bu qayerda har bir fokusdan ellipsning simmetriya markazigacha bo'lgan masofa.

Hisob-kitoblar oddiydan ko'ra sodda:

! Fokuslarning o'ziga xos koordinatalarini "tse" ma'nosi bilan aniqlab bo'lmaydi! Takror aytamanki, bu Har bir fokusdan markazgacha DISTANCE(umumiy holatda aynan kelib chiqishida joylashgan bo'lishi shart emas).
Va shuning uchun fokuslar orasidagi masofani ham ellipsning kanonik holatiga bog'lab bo'lmaydi. Boshqacha qilib aytganda, ellips boshqa joyga ko'chirilishi mumkin va qiymat o'zgarishsiz qoladi, fokuslar esa tabiiy ravishda o'z koordinatalarini o'zgartiradi. Iltimos, mavzuni o'rganayotganda buni hisobga oling.

Ellips ekssentrikligi va uning geometrik ma'nosi

Ellipsning eksantrikligi bu diapazonda qiymatlarni qabul qila oladigan nisbatdir.

Bizning holatda:

Keling, ellipsning shakli uning ekssentrikligiga qanday bog'liqligini bilib olaylik. Buning uchun chap va o'ng burchaklarni mahkamlang ko'rib chiqilayotgan ellipsning, ya'ni yarim katta o'qning qiymati doimiy bo'lib qoladi. Shunda ekssentriklik formulasi quyidagi shaklni oladi: .

Keling, ekssentriklik qiymatini birlikka yaqinlashtirishni boshlaylik. Bu faqat agar mumkin bo'lsa. Bu nima degani? ... nayranglarni eslang . Bu shuni anglatadiki, ellips o'choqlari abscissa o'qi bo'ylab yon cho'qqilarga "bir-biridan uzoqlashadi". Va "yashil segmentlar kauchuk emas" ekan, ellips muqarrar ravishda tekislasha boshlaydi va o'qga bog'langan ingichka va ingichka kolbasaga aylanadi.

Shunday qilib, ellipsning ekssentriklik qiymati birlikka qanchalik yaqin bo'lsa, ellips shunchalik cho'ziladi.

Endi qarama-qarshi jarayonni modellashtiramiz: ellipsning o'choqlari markazga yaqinlashib, bir-biriga qarab yurishdi. Bu shuni anglatadiki, "ce" qiymati kamroq va kamroq bo'ladi va shunga mos ravishda eksantriklik nolga intiladi: .
Bunday holda, "yashil segmentlar", aksincha, "olomonga aylanadi" va ular ellips chizig'ini yuqoriga va pastga "itarish" ni boshlaydilar.

Shunday qilib, Eksantriklik qiymati nolga qanchalik yaqin bo'lsa, ellips shunchalik o'xshash bo'ladi... o'choqlar kelib chiqishida muvaffaqiyatli birlashganda cheklovchi holatga qarang:

Doira ellipsning alohida holatidir

Darhaqiqat, yarim o'qlarning tengligi holatida ellipsning kanonik tenglamasi shaklni oladi, bu maktabdan yaxshi ma'lum bo'lgan "a" radiusining kelib chiqishida markazga ega bo'lgan aylana tenglamasiga refleksli aylanadi.

Amalda, "gapiruvchi" "er" harfi bilan belgi ko'proq qo'llaniladi: . Radius - bu segmentning uzunligi bo'lib, aylananing har bir nuqtasi markazdan radius masofasi bilan chiqariladi.

E'tibor bering, ellipsning ta'rifi to'liq to'g'ri bo'lib qoladi: fokuslar bir-biriga to'g'ri keladi va aylananing har bir nuqtasi uchun mos keladigan segmentlar uzunliklarining yig'indisi doimiydir. Fokuslar orasidagi masofa bo'lgani uchun, u holda har qanday doiraning ekssentrisiteti nolga teng.

Doira qurish oson va tez, shunchaki kompasdan foydalaning. Biroq, ba'zida uning ba'zi nuqtalarining koordinatalarini aniqlash kerak bo'ladi, bu holda biz tanish yo'ldan boramiz - biz tenglamani quvnoq Matanov shakliga keltiramiz:

– yuqori yarim doira funksiyasi;
- pastki yarim doira funktsiyasi.

Keyin kerakli qiymatlarni topamiz, farqlash, integratsiyalash va boshqa yaxshi narsalarni qiling.

Maqola, albatta, faqat ma'lumot uchun, lekin sevgisiz dunyoda qanday yashash mumkin? Mustaqil hal qilish uchun ijodiy vazifa

2-misol

Ellipsning kanonik tenglamasini tuzing, agar uning fokuslari va yarim kichik o'qlaridan biri ma'lum bo'lsa (markazi boshlang'ichda). Cho'qqilarni, qo'shimcha nuqtalarni toping va chizmaga chiziq torting. Eksantriklikni hisoblang.

Dars oxiridagi yechim va chizma

Keling, amalni qo'shamiz:

Ellipsni aylantirish va parallel aylantirish

Keling, ellipsning kanonik tenglamasiga, aniqrog'i, bu egri chiziq haqida birinchi marta tilga olinganidan beri siri qiziquvchan ongni qiynab kelayotgan holatga qaytaylik. Shunday qilib, biz ellipsga qaradik , lekin amalda tenglamani bajarish mumkin emasmi? ? Axir, bu erda ham ellipsga o'xshaydi!

Bunday tenglama kamdan-kam uchraydi, lekin u uchraydi. Va u aslida ellipsni belgilaydi. Keling, sirni aniqlaymiz:

Qurilish natijasida bizning mahalliy ellipsimiz 90 gradusga aylantirildi. Ya'ni, - Bu kanonik bo'lmagan kirish ellips . Yozib oling!- tenglama boshqa ellipsni belgilamaydi, chunki o'qda ellipsning ta'rifini qondiradigan nuqtalar (fokuslar) yo'q.

Bu tenglama bilan berilgan egri chiziq bilan chegaralangan geometrik figuradir.

U ikkita fokusga ega . Fokuslar ellipsning istalgan nuqtasigacha bo'lgan masofalar yig'indisi doimiy qiymat bo'lgan bunday ikkita nuqta deyiladi.

Ellips shaklini chizish

F 1, F 2 - fokuslar. F 1 = (c; 0); F 2 (- c ; 0)

c – fokuslar orasidagi masofaning yarmi;

a - yarim katta o'q;

b - yarim kichik o'q.

Teorema.Fokus uzunligi va yarim o'qlar o'zaro bog'liqlik bilan bog'liq:

a 2 = b 2 + c 2.

Isbot: Agar M nuqta ellipsning vertikal o'qi bilan kesishgan joyida joylashgan bo'lsa, r 1 + r 2 = 2* (Pifagor teoremasi bo'yicha). Agar M nuqta gorizontal o'q bilan kesishgan joyda joylashgan bo'lsa, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Chunki ta'rifga ko'ra, r 1 + r 2 yig'indisi doimiy qiymatdir, keyin tenglashtirib, biz olamiz:

r 1 + r 2 = 2 a.

Ellips figurasining ekssentrikligi

Ta'rif. Ellipsning shakli fokus uzunligining asosiy o'qqa nisbati bo'lgan xarakteristikaga ko'ra aniqlanadi va deyiladi. ekssentriklik.

Chunki Bilan< a , то е < 1.

Ta'rif. k = b / a miqdori deyiladi siqish nisbati, va 1 – k = (a – b)/ a miqdori deyiladi siqilish.

Siqilish nisbati va eksantriklik quyidagi munosabat bilan bog'liq: k 2 = 1 – e 2.

Agar a = b (c = 0, e = 0, fokuslar birlashtirilsa), u holda ellips aylanaga aylanadi.

Agar M(x 1, y 1) nuqta uchun shart bajarilsa: u ellips ichida joylashgan, agar , nuqta undan tashqarida joylashgan.

Teorema.Ellips figurasiga tegishli bo'lgan ixtiyoriy M(x, y) nuqta uchun quyidagi munosabatlar to'g'ri bo'ladi::

r 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

Isbot. Yuqorida r 1 + r 2 = 2 a ekanligi ko'rsatilgan. Bundan tashqari, geometrik fikrlardan biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:

Kvadratchalash va shunga o'xshash atamalarni keltirgandan so'ng:

Xuddi shunday r 2 = a + ex ekanligi isbotlangan. Teorema isbotlangan.

Directrix raqamlari ellips

Ellips shakli deb nomlangan ikkita to'g'ri chiziq bilan bog'langan direktorlar. Ularning tenglamalari:

x = a/e; x = - a / e.

Teorema.Nuqta ellips figurasi chegarasida yotishi uchun fokusga masofaning mos keladigan direktrisagacha bo'lgan masofaga nisbati ekssentriklik e ga teng bo'lishi zarur va etarli.

Misol. Tenglama bilan berilgan shaklning chap fokusi va pastki cho'qqisidan o'tuvchi ellipsni tuzing:

Ballar F 1 (–c, 0) va F 2 (c, 0), ular qaerda chaqiriladi ellips o'choqlari , qiymati 2 bo'lsa c belgilaydi interfokal masofa .

Ballar A 1 (–A, 0), A 2 (A, 0), IN 1 (0, –b), B 2 (0, b) deyiladi ellipsning uchlari (9.2-rasm), esa A 1 A 2 = 2A ellipsning katta o'qini hosil qiladi va IN 1 IN 2 – kichik, – ellips markazi.

Ellipsning shaklini tavsiflovchi asosiy parametrlari:

ε = Bilan/a – ellips ekssentrikligi ;

– ellipsning fokus radiuslari (nuqta M ellipsga tegishli) va r 1 = a + ex, r 2 = a – ex;

– ellipsning direktrisalari .

Ellips uchun bu to'g'ri: direktrixlar ellipsning chegarasi va ichki mintaqasini kesib o'tmaydi, shuningdek, xossaga ega.

Ellipsning ekssentrikligi uning "siqilish" darajasini ifodalaydi.

Agar b > a> 0 bo'lsa, u holda ellips (9.7) tenglama bilan beriladi, buning uchun (9.8) shart o'rniga shart bajariladi.

Keyin 2 A- kichik o'q, 2 b– asosiy o‘q, – o‘choqlari (9.3-rasm). Qayerda r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, direktrisalar tenglamalar bilan aniqlanadi:

Shartni hisobga olgan holda bizda (ellipsning maxsus holati ko'rinishida) radiusli doira mavjud R = a. Qayerda Bilan= 0, ya'ni ε = 0.

Ellipsning nuqtalari bor xarakterli xususiyat : ularning har biridan fokuslargacha bo'lgan masofalar yig'indisi 2 ga teng doimiy qiymatdir A(9.2-rasm).

Uchun ellipsning parametrik ta'rifi (9.8) va (9.9) shartlar parametr sifatida bajarilgan hollarda (formula (9.7)) t ellipsda yotgan nuqtaning radius vektori bilan o'qning musbat yo'nalishi orasidagi burchakni olish mumkin ho'kiz:

Agar yarim o'qli ellipsning markazi bir nuqtada bo'lsa, uning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

1-misol. Ellipsning tenglamasini keltiring x 2 + 4y 2 = 16 kanonik shaklga va uning parametrlarini aniqlang. Ellips chizish.

Yechim. Keling, tenglamani ajratamiz x 2 + 4y 2 = 16 dan 16 gacha, shundan keyin biz quyidagilarni olamiz:

Olingan tenglamaning shakliga asoslanib, biz bu ellipsning kanonik tenglamasi degan xulosaga kelamiz (formula (9.7)), bu erda A= 4 - yarim katta o'q, b= 2 - yarim kichik o'q. Demak, ellipsning uchlari nuqtalardir A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Fokuslararo masofaning yarmi bo'lgani uchun nuqtalar ellipsning o'choqlari hisoblanadi. Eksantriklikni hisoblaymiz:

Direktorlar D 1 , D 2 tenglamalar bilan tavsiflanadi:

Ellipsni chizish (9.4-rasm).

2-misol. Ellips parametrlarini aniqlang

Yechim. Bu tenglamani markazi siljigan ellipsning kanonik tenglamasi bilan solishtiramiz. Ellips markazini topish BILAN: Yarim katta o'q, yarim kichik o'q, to'g'ri chiziqlar - katta o'qlar. Interfokal masofaning yarmi va shuning uchun Directrixning markazlashtirilgan markazlari D 1 va D 2 ni tenglamalar yordamida tasvirlash mumkin: (9.5-rasm).

3-misol. Qaysi egri chiziq tenglama bilan berilganligini aniqlang va chizing:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Yechim. 1) binomialning toʻliq kvadratini ajratib, tenglamani kanonik koʻrinishga keltiramiz:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Shunday qilib, tenglamani shaklga keltirish mumkin

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Bu markaz (-2, 1) nuqtada va radiusda bo'lgan aylana tenglamasi R= 1 (9.6-rasm).

2) Biz tenglamaning chap tomonidagi binomiallarning mukammal kvadratlarini tanlaymiz va olamiz:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Ushbu tenglama haqiqiy sonlar to'plamida mantiqiy emas, chunki chap tomon o'zgaruvchilarning har qanday haqiqiy qiymatlari uchun manfiy emas. x Va y, va to'g'risi salbiy. Shuning uchun ular bu "xayoliy aylana" tenglamasi yoki tekislikdagi bo'sh nuqtalar to'plamini belgilaydi, deb aytishadi.

3) To'liq kvadratlarni tanlang:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Shunday qilib, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Olingan tenglama va shuning uchun asl tenglama ellipsni aniqlaydi. Ellipsning markazi nuqtada HAQIDA 1 (1, -2), asosiy o'qlar tenglamalar bilan berilgan y = –2, x= 1 va yarim katta o'q A= 4, kichik o'q b= 2 (9.7-rasm).

4) To'liq kvadratlarni tanlagandan so'ng bizda:

(x – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 yoki ( x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Olingan tenglama koordinatalari (1, -2) bo'lgan tekislikdagi bitta nuqtani belgilaydi.

5) Tenglamani kanonik shaklga keltiramiz:

Shubhasiz, u ellipsni belgilaydi, uning markazi asosiy o'qlar yarim katta o'q va yarim kichik o'q bilan tenglamalar bilan berilgan nuqtada joylashgan (9.8-rasm).

4-misol. Markazi ellipsning oʻng fokusida joylashgan radiusi 2 boʻlgan doiraga teguvchi tenglamani yozing. x 2 + 4y Y o'qi bilan kesishish nuqtasida 2 = 4.

Yechim. Ellips tenglamasini kanonik shaklga keltiramiz (9.7):

Bu shuni anglatadiki, to'g'ri fokus ham - Demak, radiusi 2 bo'lgan doira uchun zarur bo'lgan tenglama shaklga ega (9.9-rasm):

Doira ordinatalar o'qini koordinatalari tenglamalar tizimidan aniqlangan nuqtalarda kesib o'tadi:

Biz olamiz:

Bu nuqta bo'lsin N(0; –1) va M(0; 1). Bu shuni anglatadiki, biz ikkita tangens qurishimiz mumkin, keling, ularni belgilaymiz T 1 va T 2. Ma'lum xususiyatga ko'ra, teginish nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar.

Keyin tangens tenglamasi bo'lsin T 1 shaklni oladi:

Shunday qilib, ham T 1: Bu tenglamaga teng