Voidaan osoittaa (emme tee), että yhtälö (2) vastaa yhtälöä (1), vaikka se saadaan kaavasta (1) ei vastaa muunnoksia. Tämä tarkoittaa, että yhtälö (2) on tämän ellipsin yhtälö. Sitä kutsutaan kanoninen(eli yksinkertaisin).

Voidaan nähdä, että ellipsin yhtälö on 2. kertaluvun yhtälö, ts. 2. asteen ellipsiviiva.

Ellipsiä varten esittelemme konseptin epäkeskisyys. Tämä on määrä. Ellipsillä epäkeskisyys on . Koska Kanssa Ja A tiedossa, sitten myös tiedossa. Ellipsin pisteen M(x, y) polttosäteiden lauseke saadaan helposti edellisistä argumenteista: . r 2 löytyy yhtälöstä (3)

Kommentti Jos lyöt kaksi naulaa (F1 ja F2) pöytään, sido niihin molemmista päistä naru, jonka pituus on suurempi kuin naulojen välinen etäisyys ( 2a), vedä narusta ja vedä pala liitua pöytää pitkin, jolloin se piirtää suljetun ellipsikäyrän, joka on symmetrinen molempien akselien ja origon suhteen.

4. Ellipsin muodon tutkiminen sen kanonisen yhtälön avulla.

Huomautuksessa päätimme selvyyden vuoksi ellipsin muodosta. Tutkikaamme nyt ellipsin muotoa analysoimalla sen kanonista yhtälöä:

Etsitään koordinaattiakseleiden leikkauspisteet. Jos ,y=0, niin , ts. meillä on kaksi pistettä A1(-a,0) ja A2(a,0). Jos x=0, niin , . Nuo. meillä on kaksi pistettä B1(0,-b) ja B2(0,b) (koska , sitten ). Pisteitä A1, A2, B1, B2 kutsutaan ellipsin kärjet.

2) Ellipsin sijaintialue voidaan määrittää seuraavista näkökohdista:

a) ellipsin yhtälöstä seuraa, että ts. , eli tai .

b) samoin, ts. tai . Tämä osoittaa, että koko ellipsi sijaitsee suorakulmiossa, jonka muodostavat linjat ja .

3) Lisäksi muuttujat x ja y tulevat ellipsin yhtälöön vain parillisina potenssiin, mikä tarkoittaa, että käyrä on symmetrinen kunkin akselin ja origon suhteen. D-mutta jos piste (x, y) kuuluu säteeseen, niin pisteet (x, -y), (-x, y) ja (-x, -y) kuuluvat myös siihen. Siksi riittää, kun otetaan huomioon vain se osa ellipsistä, joka sijaitsee ensimmäisellä neljänneksellä, missä ja .

4) Ellipsin yhtälöstä meillä on , ja ensimmäisellä neljänneksellä . Jos x=0, niin y=b. Tämä on piste B2(0,b). Olkoon x kasvaa 0:sta a:ksi, sitten y pienentyvä b:stä 0:aan. Näin ollen piste M(x, y), joka alkaa kaaria kuvaavasta pisteestä B2(0, b), tulee pisteeseen A(a,0). Voidaan tiukasti todistaa, että kaari on kuperasti ylöspäin. Peilaamalla tätä kaaria koordinaattiakseleissa ja origossa saamme koko ellipsin. Ellipsin symmetriaakseleita kutsutaan sen akseleiksi, että niiden leikkauspiste O on ellipsin keskipiste. Segmenttien pituutta OA1=OA2=a kutsutaan ellipsin puolipääakseliksi, segmentit OB1, OB2=b ovat ellipsin puolipieniakseli, (a>b), c on puolipolttopiste. etäisyys. Suuruus on helppo selittää geometrisesti.

Kun a=b saamme ellipsin kanonisesta yhtälöstä ympyrän yhtälön. Ympyrälle, ts. F1=F2=0. .

Ympyrä on siis ellipsin erikoistapaus, kun sen polttopisteet ovat samat kuin keskusta ja epäkeskisyys = 0. Mitä suurempi epäkeskisyys, sitä pitkänomaisempi ellipsi.

Kommentti. Ellipsin kanonisesta yhtälöstä on helppo päätellä, että ellipsi voidaan määritellä parametrimuodossa. x=a cos t

y=b sin t, missä a, b ovat iso- ja sivupuoliakselit, t-kulma.

5. Kanonisen hyperboliyhtälön määrittely ja johtaminen.

Hyperbolia kutsutaan HMT-tasoiksi, joiden etäisyyksien ero tason kahdesta kiinteästä pisteestä F1F2, jota kutsutaan polttopisteeksi, on vakioarvo (ei yhtä suuri kuin 0 ja pienempi kuin polttoväli F1F2).

Merkitään, kuten ennenkin, F1F2 = 2c ja etäisyyksien ero on 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Olkoon M (x,y) hyperbelin nykyinen piste. Määritelmän mukaan MF1-MF2= tai r1-r2 = = tai --(1). – tämä on hyperbelin yhtälö.

Pääsemme eroon irrationaalisuudesta kohdassa (1): eristämme yhden juuren, neliöimme molemmat osat, saamme: tai , neliöimme sen uudelleen:

Missä .

Jaettuna . Esittelemme nimityksen. Sitten ---(2). Yhtälö (2), kuten voidaan osoittaa, vastaa yhtälöä (1), ja siksi se on tietyn hyperbolin yhtälö. Häntä kutsutaan hyperbelin kanoninen yhtälö. Näemme, että hyperboliyhtälö on myös toisen asteen, mikä tarkoittaa toisen asteen hyperboliviiva.

Hyperbolin epäkeskisyys. Polttopistesäteiden kautta -lauseke on helppo saada edellisestä, niin löydämme sen kohdasta .

6. Hyperbolin muodon tutkiminen sen kanonisella yhtälöllä.

Päättelemme samalla tavalla kuin tutkiessamme ellipsiä.

1. Etsi leikkauspisteet hyperbelin akseleiden kanssa. Jos x = 0, niin . Operaatiovahvistimen akselin kanssa ei ole leikkauspisteitä. Jos y = 0, niin . Risteyspisteet, . Niitä kutsutaan hyperbelin kärjet.

2. Hyperbolin sijaintialue: ts. tai . Tämä tarkoittaa, että hyperbola sijaitsee suorien viivojen rajoittaman kaistan ulkopuolella x=-a Ja x=a.

3. Hyperbolalla on kaikenlaista symmetriaa, koska x ja y esiintyvät parillisissa potenssiissa. Siksi riittää, kun otetaan huomioon se osa hyperbolista, joka sijaitsee ensimmäisellä neljänneksellä.

4. Ensimmäisen neljänneksen hyperboliyhtälöstä (2) meillä on . Kun x=a, y=0 meillä on piste ; solmio. käyrä nousee oikealle. Jos haluat kuvitella liikkeen selvemmin, harkitse kahta apuviivaa, jotka kulkevat koordinaattien origon läpi ja ovat suorakulmion lävistäjät, joiden sivut ovat 2a ja 2b: BCB’C’. Heillä on yhtälöt ja . Osoittakaamme, että hyperbolin M(x,y) nykyinen piste menee äärettömään ja lähestyy suoraa rajattomasti. Otetaan mielivaltainen kohta X ja vertaa hyperbolin pisteen ja suoran vastaavia ordinaatteja. Se on selvää Y>y. MN=Y-y=.

Näemme, että kun ts. käyrä lähestyy loputtomasti suoraa, kun se siirtyy pois origosta. Tämä todistaa, että suora on hyperbolan asymptootti. Lisäksi hyperbola ei leikkaa asymptoottia. Tämä riittää muodostamaan osan hyperbolasta. Se on kuperasti ylöspäin. Loput osat valmistetaan symmetrisesti. Huomaa, että hyperbolin symmetria-akseleita (koordinaattisia akseleita) kutsutaan sen symmetria-akseleiksi kirveet, akselien leikkauspiste keskusta hyperbolia. Toinen akseli leikkaa hyperbelin (reaaliakseli), toinen ei (imaginaari). Jana A kutsutaan todelliseksi puoliakseliksi, segmentiksi b- kuvitteellinen puoliakseli. Suorakulmiota BCB'C' kutsutaan hyperbelin perussuorakulmioksi.

Jos a=b, niin asymptootit muodostavat kulmia koordinaattiakselien kanssa . Sitten hyperbolia kutsutaan tasasivuinen tai tasasivuinen. Pääsuorakulmio muuttuu neliöksi. Sen asymptootit ovat kohtisuorassa toisiinsa nähden.

Kommentti.

Joskus tarkastellaan hyperbolia, jonka kanoninen yhtälö on (3). He kutsuvat häntä konjugaatti suhteessa hyperboliin (2). Hyperbolalla (3) on todellinen akseli, joka on pystysuora, ja kuvitteellinen akseli, joka on vaakasuora. Sen ulkonäkö vahvistetaan välittömästi, jos järjestät uudelleen X Ja klo, A Ja b(hän kääntyy takaisin vanhaan itseensä). Mutta sitten hyperbolilla (3) on muoto:

Sen huiput.

5. Kuten jo mainittiin, tasasivuisen hyperbolin yhtälö ( a=b), kun koordinaattiakselit yhtyvät hyperbelin akselien kanssa, on muotoa . (4)

Koska tasasivuisen hyperbolin asymptootit ovat kohtisuorassa, jolloin ne voidaan ottaa myös koordinaattiakseleiksi OX 1 ja OU 1. Tämä vastaa edellisen OXY-järjestelmän kääntämistä kulmaan. Kulman kiertokaavat ovat seuraavat:

Sitten uudessa koordinaattijärjestelmässä OX 1 Y 1 yhtälö (4) kirjoitetaan uudelleen:

Tai tai. Merkitsemällä , saamme tai (5) - tämä on yhtälö tasasivuinen hyperbola, luokiteltu asymptootteiksi (tällaista hyperbolaa pidettiin koulussa).

Kommentti: Yhtälöstä seuraa, että minkä tahansa hyperbolin M(x,y) pisteen koordinaateille rakennetun suorakulmion pinta-ala on sama: S= k 2 .

7. Paraabelin kanonisen yhtälön määrittely ja johtaminen.

Paraabeli kutsutaan tason GMT:ksi, jolle jokaiselle kutsutaan etäisyyttä tason kiinteästä pisteestä F keskittyä, on yhtä suuri kuin etäisyys kiinteästä suorasta nimeltä johtajatar(Keskity johtajan ulkopuolelle).

Merkitsemme etäisyyttä F:stä suuntaviivaan p:llä ja kutsumme sitä paraabelin parametriksi. Valitaan koordinaattijärjestelmä seuraavasti: piirretään OX-akseli pisteen F kautta, joka on kohtisuorassa linjaan NP nähden. Valitaan koordinaattien origo janan FP keskeltä.

Tässä järjestelmässä: .

Otetaan mielivaltainen piste M(x,y), jonka nykyiset koordinaatit (x,y). Siksi

Siksi (1) on paraabelin yhtälö. Yksinkertaistetaan:

Tai (2) - tässä se paraabelin kanoninen yhtälö. Voidaan osoittaa, että (1) ja (2) ovat ekvivalentteja.

Yhtälö (2) on 2. kertaluvun yhtälö, ts. paraabeli on 2. kertaluvun rivi.

8. Paraabelin muodon tutkiminen sen kanonisen yhtälön avulla.

(p>0).

1) x=0, y=0 paraabeli kulkee koordinaattipisteen O alkupisteen kautta. Sitä kutsutaan paraabelin kärjeksi.

2) ts. paraabeli sijaitsee operaatiovahvistimen akselin oikealla puolella, oikealla puolitasolla.

3) klo sisältyy parilliseen asteeseen, joten paraabeli on symmetrinen OX-akselin suhteen, joten se riittää rakentamaan ensimmäisellä neljänneksellä.

4) 1. vuosineljänneksellä klo , so. paraabeli nousee oikealle. Voidaan osoittaa, että kupera on ylöspäin. Rakennamme pohjaan symmetrian mukaan. Akseli OU on paraabelin tangentti.

On selvää, että polttoväli on . Suhde on ns epäkeskisyys: . Paraabelin symmetria-akselia (tapauksessamme OX) kutsutaan paraabelin akseliksi.

Huomaa, että yhtälö on myös paraabeli, mutta suunnattu vastakkaiseen suuntaan. Yhtälöt määrittelevät myös paraabelit, joiden akseli on operatiivisen vahvistimen akseli.

tai tutussa muodossa, missä .

Yhtälö määrittelee tavallisen paraabelin, jonka kärkipiste on siirtynyt.

Huomautuksia. 1) Kaikkien neljän toisen asteen rivin välillä on läheinen suhde - ne ovat kaikki kartiomaiset osat. Jos otamme kartion kahdesta ontelosta, niin kun leikkaamme sen tasolla, joka on kohtisuorassa kartion akseliin nähden, saamme ympyrän, jos kallistamme leikkaustasoa, saamme ellipsin; jos taso on yhdensuuntainen generatriisin kanssa, niin leikkaus on paraabeli, jos taso leikkaa molemmat

ontelot-hyperbola.

2) Voidaan todistaa, että jos paraabelin fokuksesta tuleva valonsäde heijastuu siitä, niin heijastunut säde menee yhdensuuntaisesti paraabelin akselin kanssa - tätä käytetään kohdevalojen toiminnassa - parabolinen heijastin, ja keskipisteessä - valonlähde. Tämä johtaa suunnattuun valovirtaan.

3) Jos kuvittelemme maasatelliitin laukaisun pisteestä T ilmakehän ulkopuolella vaakasuunnassa, niin jos alkunopeus v 0 ei riitä, satelliitti ei pyöri maan ympäri. Saavuttuaan ensimmäisen pakonopeuden satelliitti pyörii Maan ympäri ympyräradalla, jonka keskipiste on Maan keskellä. Jos alkunopeutta lisätään, pyöriminen tapahtuu ellipsiä pitkin, Maan keskipiste on yhdessä polttopisteistä. Saavuttuaan 2. pakonopeuden lentoradasta tulee parabolinen ja satelliitti ei palaa pisteeseen T, vaan on aurinkokunnan sisällä. Nuo. Paraabeli on ellipsi, jonka yksi fokus on äärettömässä. Alkunopeuden kasvaessa edelleen lentorata muuttuu hyperboliseksi ja toinen fokus ilmestyy toiselle puolelle. Maan keskipiste on aina kiertoradan keskipisteessä. Satelliitti poistuu aurinkokunnasta.

11.1. Peruskonseptit

Tarkastellaan toisen asteen yhtälöiden määrittelemiä viivoja suhteessa nykyisiin koordinaatteihin

Yhtälön kertoimet ovat reaalilukuja, mutta ainakin yksi luvuista A, B tai C on nollasta poikkeava. Tällaisia ​​viivoja kutsutaan toisen asteen viivoiksi (käyriksi). Alla selvitetään, että yhtälö (11.1) määrittelee ympyrän, ellipsin, hyperbolin tai paraabelin tasossa. Ennen kuin siirrymme tähän väitteeseen, tutkikaamme lueteltujen käyrien ominaisuuksia.

11.2. Ympyrä

Yksinkertaisin toisen asteen käyrä on ympyrä. Muista, että ympyrä, jonka säde on R ja jonka keskipiste on pisteessä, on kaikkien ehdon täyttävien tason pisteiden M joukko. Olkoon suorakaiteen muotoisen koordinaatiston pisteen koordinaatit x 0, y 0 ja - mielivaltainen piste ympyrässä (katso kuva 48).

Sitten ehdosta saadaan yhtälö

(11.2)

Yhtälö (11.2) täyttyy minkä tahansa pisteen koordinaateista tietyllä ympyrällä, eikä sitä tyydytä yhdenkään pisteen koordinaatit, jotka eivät ole ympyrällä.

Kutsutaan yhtälöä (11.2). kanoninen ympyrän yhtälö

Erityisesti, jossa ja , Saamme yhtälö ympyrän kanssa keskus on alkuperä .

Ympyräyhtälö (11.2) saa yksinkertaisten muunnosten jälkeen muotoa . Kun tätä yhtälöä verrataan toisen asteen käyrän yleiseen yhtälöön (11.1), on helppo huomata, että kaksi ehtoa täyttyy ympyrän yhtälölle:

1) kertoimet x 2:lle ja y 2:lle ovat keskenään yhtä suuret;

2) ei ole jäsentä, joka sisältää nykyisten koordinaattien tulon xy.

Tarkastellaan käänteistä ongelmaa. Laittamalla arvot ja yhtälöön (11.1), saamme

Muunnetaan tämä yhtälö:

(11.4)

Tästä seuraa, että yhtälö (11.3) määrittää ympyrän ehdon alla . Sen keskipiste on pisteessä , ja säde

.

Jos , yhtälöllä (11.3) on muoto

.

Sen tyydyttävät yhden pisteen koordinaatit . Tässä tapauksessa he sanovat: "ympyrä on rappeutunut pisteeksi" (säde on nolla).

Jos , niin yhtälö (11.4) ja siten vastaava yhtälö (11.3) ei määritä mitään suoraa, koska yhtälön (11.4) oikea puoli on negatiivinen ja vasen ei negatiivinen (sanotaan: "kuvitteellinen ympyrä").

11.3. Ellipsi

Kanoninen ellipsiyhtälö

Ellipsi on joukko tason kaikkia pisteitä, joista kustakin tämän tason kahteen tiettyyn pisteeseen olevien etäisyyksien summa, ns. temppuja , on vakioarvo, joka on suurempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys.

Merkitään tarkennuksia F 1 Ja F 2, niiden välinen etäisyys on 2 c, ja etäisyyksien summa ellipsin mielivaltaisesta pisteestä polttopisteeseen 2 a(katso kuva 49). Määritelmän mukaan 2 a > 2c, eli a > c.

Ellipsin yhtälön johtamiseksi valitsemme koordinaattijärjestelmän siten, että polttopisteet F 1 Ja F 2 makaa akselilla, ja origo osui yhteen segmentin keskikohdan kanssa F 1 F 2. Tällöin polttopisteillä on seuraavat koordinaatit: ja .

Antaa olla mielivaltainen piste ellipsi. Sitten ellipsin määritelmän mukaan, ts.

Tämä on pohjimmiltaan ellipsin yhtälö.

Muunnetaan yhtälö (11.5) yksinkertaisempaan muotoon seuraavasti:

Koska a>Kanssa, Tuo. Laitetaan

(11.6)

Sitten viimeinen yhtälö saa muodon tai

(11.7)

Voidaan todistaa, että yhtälö (11.7) on ekvivalentti alkuperäisen yhtälön kanssa. Sitä kutsutaan kanoninen ellipsiyhtälö .

Ellipsi on toisen asteen käyrä.

Ellipsin muodon tutkiminen sen yhtälön avulla

Perustetaan ellipsin muoto sen kanonisen yhtälön avulla.

1. Yhtälö (11.7) sisältää x:n ja y:n vain parillisina potenssiin, joten jos piste kuuluu ellipsiin, niin siihen kuuluvat myös pisteet ,,. Tästä seuraa, että ellipsi on symmetrinen suhteessa ja akseliin, samoin kuin pisteen suhteen, jota kutsutaan ellipsin keskipisteeksi.

2. Etsi ellipsin ja koordinaattiakselien leikkauspisteet. Laittamalla , löydämme kaksi pistettä ja , joissa akseli leikkaa ellipsin (katso kuva 50). Asettamalla yhtälön (11.7) , löydämme ellipsin ja akselin leikkauspisteet: ja . Pisteet A 1 , A 2 , B 1, B 2 kutsutaan ellipsin kärjet. Segmentit A 1 A 2 Ja B 1 B 2, sekä niiden pituudet 2 a ja 2 b kutsutaan vastaavasti suur- ja sivuakselit ellipsi. Numerot a Ja b kutsutaan isoksi ja pieneksi akselin akselit ellipsi.

3. Yhtälöstä (11.7) seuraa, että yksikään vasemman puolen termi ei ylitä yhtä, ts. epätasa-arvo ja tai ja tapahtuvat. Näin ollen kaikki ellipsin pisteet sijaitsevat suorien viivojen muodostaman suorakulmion sisällä.

4. Yhtälössä (11.7) ei-negatiivisten termien summa ja on yhtä suuri kuin yksi. Näin ollen yhden termin kasvaessa toinen pienenee, eli jos se kasvaa, se pienenee ja päinvastoin.

Yllä olevasta seuraa, että ellipsillä on kuvan 2 mukainen muoto. 50 (soikea suljettu käyrä).

Lisätietoja ellipsistä

Ellipsin muoto riippuu suhteesta. Kun ellipsi muuttuu ympyräksi, ellipsin yhtälö (11.7) saa muodon . Suhdetta käytetään usein luonnehtimaan ellipsin muotoa. Polttopisteiden välisen etäisyyden puolen suhdetta ellipsin puolipääakseliin kutsutaan ellipsin epäkeskisyydeksi ja o6o merkitään kirjaimella ε ("epsilon"):

0 kanssa<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Tämä osoittaa, että mitä pienempi ellipsin epäkeskisyys on, sitä vähemmän litistynyt ellipsi on; jos asetamme ε = 0, niin ellipsi muuttuu ympyräksi.

Olkoon M(x;y) mielivaltainen ellipsin piste, jonka polttopisteet ovat F 1 ja F 2 (katso kuva 51). Segmenttien F 1 M = r 1 ja F 2 M = r 2 pituuksia kutsutaan pisteen M polttosäteiksi. Ilmeisesti

Kaavat pitävät

Suorat linjat kutsutaan

Lause 11.1. Jos on etäisyys mielivaltaisesta ellipsin pisteestä johonkin kohdistukseen, d on etäisyys samasta pisteestä tätä kohdistusta vastaavaan suuntaviivaan, niin suhde on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin ellipsin epäkeskisyys:

Tasa-arvosta (11.6) seuraa, että . Jos, niin yhtälö (11.7) määrittelee ellipsin, jonka pääakseli on Oy-akselilla ja sivuakseli Ox-akselilla (katso kuva 52). Tällaisen ellipsin fokukset ovat kohdissa ja , Missä .

11.4. Hyperbeli

Kanoninen hyperboliyhtälö

Hyperbolia on tason kaikkien pisteiden joukko, jokaisesta niistä tämän tason kahteen annettuun pisteeseen välisten etäisyyksien eron moduuli, ns. temppuja , on vakioarvo, joka on pienempi kuin polttopisteiden välinen etäisyys.

Merkitään tarkennuksia F 1 Ja F 2 niiden välinen etäisyys on 2s, ja etäisyyseron moduuli jokaisesta hyperbolin pisteestä polttopisteisiin 2a. A-priory 2a < 2s, eli a < c.

Hyperbolayhtälön johtamiseksi valitsemme koordinaattijärjestelmän siten, että polttopisteet F 1 Ja F 2 makaa akselilla, ja origo osui yhteen segmentin keskikohdan kanssa F 1 F 2(katso kuva 53). Sitten polttopisteillä on koordinaatit ja

Antaa olla mielivaltainen hyperbolin piste. Sitten hyperbelin määritelmän mukaan tai , eli yksinkertaistamisen jälkeen, kuten tehtiin johtaessa ellipsin yhtälöä, saadaan kanoninen hyperboliyhtälö

(11.9)

(11.10)

Hyperbola on toisen kertaluvun rivi.

Hyperbolin muodon tutkiminen sen yhtälön avulla

Perustetaan hyperbolin muoto käyttämällä sen kakonista yhtälöä.

1. Yhtälö (11.9) sisältää x:n ja y:n vain parillisissa potenssiissa. Hyperbola on siis symmetrinen akseleiden ja , sekä pisteen suhteen, jota ns. hyperbolan keskusta.

2. Etsi hyperbolin ja koordinaattiakselien leikkauspisteet. Asettamalla yhtälön (11.9) löydämme kaksi hyperbolin ja akselin leikkauspistettä: ja. Laittamalla (11.9) saamme , joka ei voi olla. Siksi hyperbeli ei leikkaa Oy-akselia.

Pisteitä kutsutaan huiput hyperbolit ja segmentti

todellinen akseli , Jana - todellinen puoliakseli hyperbolia.

Segmenttiä, joka yhdistää pisteitä, kutsutaan kuvitteellinen akseli , numero b - kuvitteellinen puoliakseli . Suorakulmio sivuilla 2a Ja 2b nimeltään hyperbelin perussuorakulmio .

3. Yhtälöstä (11.9) seuraa, että minuutti ei ole pienempi kuin yksi, eli se tai . Tämä tarkoittaa, että hyperbelin pisteet sijaitsevat suoran oikealla puolella (hyperbolin oikea haara) ja suoran vasemmalla puolella (hyperbolin vasen haara).

4. Hyperbolin yhtälöstä (11.9) käy selvästi ilmi, että kun se kasvaa, se kasvaa. Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että erotus säilyttää vakioarvon, joka on yhtä suuri.

Edellä olevasta seuraa, että hyperbolilla on kuvan 54 mukainen muoto (käyrä, joka koostuu kahdesta rajoittamattomasta haarasta).

Hyperbolan asymptootit

Suoraa L:tä kutsutaan asymptootiksi rajoittamattoman käyrän K, jos etäisyys d käyrän K pisteestä M tähän suoraan pyrkii nollaan, kun pisteen M etäisyys käyrällä K origosta on rajoittamaton. Kuva 55 havainnollistaa asymptootin käsitettä: suora L on asymptootti käyrälle K.

Osoitetaan, että hyperbolalla on kaksi asymptoottia:

(11.11)

Koska suorat (11.11) ja hyperboli (11.9) ovat symmetrisiä koordinaattiakseleiden suhteen, riittää, että huomioidaan vain ne pisteet osoitetuista viivoista, jotka sijaitsevat ensimmäisellä neljänneksellä.

Otetaan piste N suoralta, jolla on sama abskissa x kuin hyperbelin pisteellä (katso kuva 56) ja löydä ero ΜΝ suoran ja hyperbolin haaran ordinaattien välillä:

Kuten näet, kun x kasvaa, murto-osan nimittäjä kasvaa; osoittaja on vakioarvo. Siksi segmentin pituus ΜΝ pyrkii nollaan. Koska MΝ on suurempi kuin etäisyys d pisteestä M suoraan, niin d pyrkii nollaan. Joten, viivat ovat hyperbelin (11.9) asymptootteja.

Kun muodostetaan hyperbolia (11.9), on suositeltavaa rakentaa ensin hyperbolin pääsuorakulmio (katso kuva 57), piirtää tämän suorakulmion vastakkaisten kärkien kautta kulkevat suorat viivat - hyperbelin asymptootit ja merkitä kärjet ja , hyperbolista.

Tasasivuisen hyperbolin yhtälö.

joiden asymptootit ovat koordinaattiakselit

Hyperbolaa (11.9) kutsutaan tasasivuiseksi, jos sen puoliakselit ovat yhtä suuret kuin (). Sen kanoninen yhtälö

(11.12)

Tasasivuisen hyperbolin asymptooteilla on yhtälöt ja ne ovat siksi koordinaattikulmien puolittajia.

Tarkastellaan tämän hyperbelin yhtälöä uudessa koordinaattijärjestelmässä (katso kuva 58), joka saadaan vanhasta koordinaattiakseleita kulman verran kiertämällä. Käytämme kaavoja pyöriville koordinaattiakseleille:

Korvaamme x:n ja y:n arvot yhtälöön (11.12):

Tasasivuisen hyperbolin yhtälö, jolle Ox- ja Oy-akselit ovat asymptootteja, on muotoa .

Lisätietoa hyperbolista

Epäkeskisyys hyperbola (11.9) on polttopisteiden välisen etäisyyden suhde hyperabelin todellisen akselin arvoon, jota merkitään ε:lla:

Koska hyperbelille , hyperbelin epäkeskisyys on suurempi kuin yksi: . Epäkeskisyys luonnehtii hyperbolin muotoa. Tasa-arvosta (11.10) todellakin seuraa, että ts. Ja .

Tästä on selvää, että mitä pienempi on hyperbelin epäkeskisyys, sitä pienempi on sen puoliakselien suhde ja siksi sitä pitempi sen pääsuorakulmio.

Tasasivuisen hyperbolin epäkeskisyys on . Todella,

Polttopisteen säteet Ja oikean haaran pisteille hyperbolien muoto on ja , ja vasemman haaran kohdalla - Ja .

Suoria suoria kutsutaan hyperbelin suuntaviivoiksi. Koska hyperbolille ε > 1, niin . Tämä tarkoittaa, että oikea suuntaviiva sijaitsee hyperbolan keskipisteen ja oikean kärjen välillä, vasen - keskustan ja vasemman kärjen välillä.

Hyperbolin suuntaviivat ovat samat kuin ellipsin suuntaviivat.

Yhtälön määrittelemä käyrä on myös hyperboli, jonka reaaliakseli 2b sijaitsee Oy-akselilla ja imaginaariakseli 2 a- Ox-akselilla. Kuvassa 59 se on esitetty katkoviivana.

On selvää, että hyperboleilla on yhteisiä asymptootteja. Tällaisia ​​hyperboleja kutsutaan konjugaateiksi.

11.5. Paraabeli

Kanoninen paraabeliyhtälö

Paraabeli on joukko tason kaikkia pisteitä, joista jokainen on yhtä kaukana tietystä pisteestä, jota kutsutaan polttopisteeksi, ja tietystä suorasta, jota kutsutaan suuntaviivaksi. Etäisyyttä fokuksesta F suuntaviivaan kutsutaan paraabelin parametriksi ja sitä merkitään p (p > 0).

Paraabelin yhtälön johtamiseksi valitsemme koordinaatiston Oxy siten, että Ox-akseli kulkee polttopisteen F läpi kohtisuoraan suuntaviivaan nähden suunnasta F-suuntaan ja koordinaattien O origo sijaitsee keskellä. tarkennus ja suuntaviiva (katso kuva 60). Valitussa järjestelmässä kohdistuksella F on koordinaatit , ja suuntayhtälön muoto on , tai .

1. Yhtälössä (11.13) muuttuja y esiintyy parillisena, mikä tarkoittaa, että paraabeli on symmetrinen Ox-akselin suhteen; Ox-akseli on paraabelin symmetria-akseli.

2. Koska ρ > 0, (11.13) seuraa, että . Siten paraabeli sijaitsee Oy-akselin oikealla puolella.

3. Kun meillä on y = 0. Siksi paraabeli kulkee origon kautta.

4. Kun x kasvaa loputtomasti, myös moduuli y kasvaa loputtomasti. Paraabelilla on kuvan 61 muoto (muoto). Pistettä O(0; 0) kutsutaan paraabelin kärjeksi, janaa FM = r pisteen M polttosäteeksi.

Yhtälöt , , ( p>0) määrittelevät myös paraabelit, ne näkyvät kuvassa 62

On helppo osoittaa, että toisen asteen trinomin kuvaaja, jossa , B ja C ovat mitä tahansa reaalilukuja, on paraabeli edellä esitetyn määritelmänsä mukaisesti.

11.6. Toisen asteen rivien yleinen yhtälö

Toisen kertaluvun käyrien yhtälöt, joiden symmetria-akselit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden kanssa

Etsitään ensin yhtälö ellipsille, jonka keskipiste on pisteessä, jonka symmetria-akselit ovat yhdensuuntaiset koordinaattiakseleiden Ox ja Oy kanssa ja puoliakselit vastaavasti yhtä suuret. a Ja b. Laitetaan ellipsin O 1 keskelle uuden koordinaattijärjestelmän alku, jonka akselit ja puoliakselit a Ja b(katso kuva 64):

Lopuksi kuvassa 65 esitetyillä paraboleilla on vastaavat yhtälöt.

Yhtälö

Ellipsin, hyperabelin, paraabelin ja ympyrän yhtälöt muunnoksen jälkeen (avoin sulkumerkit, siirrä kaikki yhtälön ehdot toiselle puolelle, tuo samanlaisia ​​termejä, lisää kertoimille uusia merkintöjä) voidaan kirjoittaa käyttämällä yhtä yhtälöä muodossa

jossa kertoimet A ja C eivät ole yhtä aikaa nolla.

Herää kysymys: määrittääkö jokainen muodon (11.14) yhtälö jonkin toisen kertaluvun käyristä (ympyrä, ellipsi, hyperbola, paraabeli)? Vastaus saadaan seuraavalla lauseella.

Lause 11.2. Yhtälö (11.14) määrittää aina: joko ympyrän (jos A = C) tai ellipsin (jos A C > 0), tai hyperbolin (jos A C< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Yleinen toisen asteen yhtälö

Tarkastellaan nyt toisen asteen yleistä yhtälöä kahdella tuntemattomalla:

Se eroaa yhtälöstä (11.14) sillä, että siinä on termi koordinaattien tulon (B¹ 0) kanssa. Kiertämällä koordinaattiakseleita kulmalla a, tämä yhtälö voidaan muuntaa siten, että termi koordinaattien tulolla puuttuu.

Käyttämällä akselin kiertokaavoja

Ilmaistaan ​​vanhat koordinaatit uusilla:

Valitaan kulma a niin, että kertoimesta x" · y" tulee nolla, eli niin, että yhtälö

Siten kun akseleita kierretään kulmalla a, joka täyttää ehdon (11.17), yhtälö (11.15) pelkistyy yhtälöksi (11.14).

Johtopäätös: yleinen toisen asteen yhtälö (11.15) määrittelee tasolla (lukuun ottamatta rappeuma- ja rappeutumistapauksia) seuraavat käyrät: ympyrä, ellipsi, hyperbola, paraabeli.

Huomaa: Jos A = C, yhtälö (11.17) menettää merkityksensä. Tässä tapauksessa cos2α = 0 (katso (11.16)), sitten 2α = 90°, eli α = 45°. Joten kun A = C, koordinaattijärjestelmää tulee kiertää 45°.

Toisen järjestyksen rivit.
Ellipsi ja sen kanoninen yhtälö. Ympyrä

Perusteellisen opiskelun jälkeen suoria viivoja tasossa Jatkamme kaksiulotteisen maailman geometrian tutkimista. Panokset tuplataan ja kutsun sinut vierailemaan viehättävässä galleriassa ellipsistä, hyperboloista ja paraabeleista, jotka ovat tyypillisiä edustajia toisen asteen rivit. Retki on jo alkanut, ja ensin lyhyt info koko näyttelystä museon eri kerroksissa:

Algebrallisen suoran käsite ja sen järjestys

Tasossa olevaa suoraa kutsutaan algebrallinen, jos sisään affiininen koordinaattijärjestelmä sen yhtälöllä on muoto , jossa on polynomi, joka koostuu muodon termeistä ( – reaaliluku, – ei-negatiiviset kokonaisluvut).

Kuten näet, algebrallisen suoran yhtälö ei sisällä sinejä, kosineja, logaritmeja ja muita funktionaalisia beau mondeja. Vain X ja Y ovat mukana ei-negatiiviset kokonaisluvut astetta.

Rivijärjestys sama kuin siihen sisältyvien ehtojen enimmäisarvo.

Vastaavan lauseen mukaan algebrallisen suoran käsite ja sen järjestys eivät riipu valinnasta affiininen koordinaattijärjestelmä, siksi olemassaolon helpottamiseksi oletamme, että kaikki myöhemmät laskelmat tapahtuvat vuonna Suorakulmaiset koordinaatit.

Yleinen yhtälö toisen järjestyksen rivillä on muoto , missä – mielivaltaiset reaaliluvut (On tapana kirjoittaa se kertoimella kaksi), ja kertoimet eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti.

Jos , yhtälö yksinkertaistuu , ja jos kertoimet eivät ole yhtä suuret kuin nolla samaan aikaan, niin tämä on täsmälleen "litteän" suoran yleinen yhtälö, joka edustaa ensimmäinen tilausrivi.

Monet ovat ymmärtäneet uusien termien merkityksen, mutta siitä huolimatta, jotta materiaali 100-prosenttisesti omaksuisi, me työnnämme sormet pistorasiaan. Rivijärjestyksen määrittämiseksi sinun on iteroitava kaikki ehdot sen yhtälöt ja löytää jokaiselle niistä asteiden summa saapuvat muuttujat.

Esimerkiksi:

termi sisältää "x" 1. potenssiin asti;
termi sisältää "Y" 1. potenssiin asti;
Termissä ei ole muuttujia, joten niiden potenssien summa on nolla.

Nyt selvitetään, miksi yhtälö määrittää suoran toinen Tilaus:

termi sisältää "x" toisessa potenssissa;
summalla on muuttujien potenssien summa: 1 + 1 = 2;
termi sisältää "Y" toisessa potenssissa;
kaikki muut ehdot - Vähemmän astetta.

Suurin arvo: 2

Jos lisäämme, vaikkapa, yhtälöimme, se jo määrittää kolmannen järjestyksen rivi. On selvää, että 3. asteen riviyhtälön yleinen muoto sisältää "täyden joukon" termejä, joiden muuttujien potenssien summa on yhtä suuri kuin kolme:
, jossa kertoimet eivät ole yhtä suuria kuin nolla samanaikaisesti.

Siinä tapauksessa, että lisäät yhden tai useamman sopivan termin, joka sisältää , sitten puhumme jo 4. järjestysrivit, jne.

Joudumme kohtaamaan 3., 4. ja korkeamman asteen algebrallisia rivejä useammin kuin kerran, erityisesti tutustuessamme napakoordinaattijärjestelmä.

Palataan kuitenkin yleiseen yhtälöön ja muistetaan sen yksinkertaisimmat koulumuunnelmat. Esimerkkeinä syntyy paraabeli, jonka yhtälö voidaan helposti pelkistää yleismuotoon, ja hyperboli, jolla on vastaava yhtälö. Kaikki ei kuitenkaan ole niin sujuvaa...

Yleisen yhtälön merkittävä haittapuoli on, että lähes aina ei ole selvää, minkä suoran se määrittelee. Edes yksinkertaisimmassa tapauksessa et heti huomaa, että tämä on hyperbolia. Tällaiset asettelut ovat hyviä vain naamiaisissa, joten tyypillistä ongelmaa tarkastellaan analyyttisen geometrian aikana tuomalla toisen asteen riviyhtälön kanoniseen muotoon.

Mikä on yhtälön kanoninen muoto?

Tämä on yhtälön yleisesti hyväksytty vakiomuoto, kun sekunneissa käy selväksi, minkä geometrisen kohteen se määrittelee. Lisäksi kanoninen muoto on erittäin kätevä monien käytännön ongelmien ratkaisemiseen. Joten esimerkiksi kanonisen yhtälön mukaan "tasainen" suora, ensinnäkin on heti selvää, että tämä on suora, ja toiseksi siihen kuuluva piste ja suuntavektori ovat helposti nähtävissä.

On selvää, että mikä tahansa 1. tilausrivi on suora viiva. Toisessa kerroksessa meitä ei odota enää vartija, vaan paljon monipuolisempi yhdeksän patsaan seura:

Toisen asteen rivien luokittelu

Käyttämällä erityistä toimintosarjaa mikä tahansa toisen asteen rivin yhtälö pelkistetään johonkin seuraavista muodoista:

(ja ovat positiivisia reaalilukuja)

1) – ellipsin kanoninen yhtälö;

2) – hyperbelin kanoninen yhtälö;

3) – paraabelin kanoninen yhtälö;

4) – kuvitteellinen ellipsi;

5) – pari leikkaavia viivoja;

6) - pari kuvitteellinen leikkaavat viivat (jossa on yksi kelvollinen leikkauspiste origossa);

7) – rinnakkaisten viivojen pari;

8) – pari kuvitteellinen yhdensuuntaiset viivat;

9) – satunnaisviivojen pari.

Jotkut lukijat saattavat saada vaikutelman, että luettelo on epätäydellinen. Esimerkiksi kohdassa nro 7 yhtälö määrittelee parin suoraan, yhdensuuntainen akselin kanssa, ja herää kysymys: missä on yhtälö, joka määrittää ordinaatta-akselin suuntaiset suorat? Vastaa siihen ei pidetä kanonisena. Suorat viivat edustavat samaa vakiokoteloa 90 astetta kierrettynä, ja luokituksen lisämerkintä on tarpeeton, koska se ei tuo mitään olennaisesti uutta.

Erilaisia ​​toisen asteen rivejä on siis yhdeksän ja vain yhdeksän, mutta käytännössä yleisimmät ovat ellipsi, hyperbola ja paraabeli.

Katsotaan ensin ellipsiä. Kuten tavallista, keskityn niihin kohtiin, joilla on suuri merkitys ongelmien ratkaisemisessa, ja jos tarvitset yksityiskohtaista kaavojen johtamista, lauseiden todisteita, tutustu esimerkiksi Bazylev/Atanasyanin tai Aleksandrovin oppikirjaan.

Ellipsi ja sen kanoninen yhtälö

Oikeinkirjoitus... älä toista joidenkin Yandex-käyttäjien virheitä, jotka ovat kiinnostuneita "ellipsin rakentamisesta", "ellipsin ja soikean erosta" ja "ellipsin eksentrisyydestä".

Ellipsin kanoninen yhtälö on muotoa , jossa ovat positiiviset reaaliluvut ja . Muotoilen ellipsin määritelmän myöhemmin, mutta nyt on aika pitää tauko keskustelupalstasta ja ratkaista yleinen ongelma:

Kuinka rakentaa ellipsi?

Kyllä, ota se ja piirrä se. Tehtävää esiintyy usein, ja merkittävä osa opiskelijoista ei selviydy piirustuksen kanssa oikein:

Esimerkki 1

Muodosta yhtälön antama ellipsi

Ratkaisu: Ensin viedään yhtälö kanoniseen muotoon:

Miksi tuoda? Yksi kanonisen yhtälön eduista on, että sen avulla voit määrittää välittömästi ellipsin kärjet, jotka sijaitsevat pisteissä. On helppo nähdä, että kunkin pisteen koordinaatit täyttävät yhtälön.

Tässä tapauksessa :


Jana nimeltään pääakseli ellipsi;
Jana – pieni akseli;
määrä nimeltään puolipääakseli ellipsi;
määrä – pieni akseli.
esimerkissämme: .

Jos haluat nopeasti kuvitella, miltä tietty ellipsi näyttää, katso vain sen kanonisen yhtälön "a" ja "be" arvoja.

Kaikki on hienoa, sileää ja kaunista, mutta siinä on yksi varoitus: tein piirustuksen ohjelman avulla. Ja voit tehdä piirustuksen millä tahansa sovelluksella. Karussa todellisuudessa pöydällä on kuitenkin ruudullinen paperi, ja hiiret tanssivat ympyröissä käsissämme. Ihmiset, joilla on taiteellista lahjakkuutta, voivat tietysti kiistellä, mutta sinulla on myös hiiriä (vaikkakin pienempiä). Ei ole turhaa, että ihmiskunta keksi viivaimen, kompassin, astemittarin ja muita yksinkertaisia ​​piirustuslaitteita.

Tästä syystä emme todennäköisesti pysty piirtämään ellipsiä tarkasti tietäen vain kärjet. Ei haittaa, jos ellipsi on pieni, esimerkiksi puoliakseleilla. Vaihtoehtoisesti voit pienentää piirustuksen mittakaavaa ja vastaavasti mittoja. Mutta yleisessä tapauksessa on erittäin toivottavaa löytää lisäpisteitä.

Ellipsin rakentamiseen on kaksi lähestymistapaa - geometrinen ja algebrallinen. En pidä rakentamisesta kompassin ja viivaimen avulla, koska algoritmi ei ole lyhin ja piirustus on huomattavasti sekava. Hätätapauksessa kannattaa katsoa oppikirjasta, mutta todellisuudessa on paljon järkevämpää käyttää algebran työkaluja. Luonnoksessa olevasta ellipsin yhtälöstä ilmaisemme nopeasti:

Sitten yhtälö jakautuu kahteen funktioon:
– määrittää ellipsin yläkaaren;
– määrittää ellipsin alakaaren.

Kanonisen yhtälön määrittelemä ellipsi on symmetrinen koordinaattiakseleiden ja origon suhteen. Ja tämä on hienoa - symmetria on melkein aina ilmaislahjojen saarnaaja. Ilmeisesti riittää, että käsittelemme 1. koordinaattineljänneksen, joten tarvitsemme funktion . Lisäpisteitä on löydettävä abskissoilla . Napauta kolmea tekstiviestiä laskimessa:

Tietysti on myös mukavaa, että jos laskelmissa tehdään vakava virhe, se selviää heti rakentamisen aikana.

Merkitse pisteet piirustukseen (punainen), symmetriset pisteet jäljellä oleviin kaareihin (sininen) ja yhdistä varovasti koko yritys viivalla:


On parempi piirtää alkuperäinen luonnos hyvin ohuesti ja vasta sitten painaa kynällä. Tuloksena pitäisi olla melko kunnollinen ellipsi. Muuten, haluaisitko tietää mikä tämä käyrä on?

Ellipsin määritelmä. Ellipsin fokukset ja ellipsin epäkeskisyys

Ellipsi on soikean erikoistapaus. Sanaa "soikea" ei pidä ymmärtää filistisessa merkityksessä ("lapsi piirsi soikean" jne.). Tämä on matemaattinen termi, jolla on yksityiskohtainen muotoilu. Tämän oppitunnin tarkoituksena ei ole pohtia ovaalien teoriaa ja niiden eri tyyppejä, joihin ei käytännössä kiinnitetä huomiota analyyttisen geometrian vakiokurssilla. Ja nykyisempien tarpeiden mukaisesti siirrymme välittömästi ellipsin tiukkaan määritelmään:

Ellipsi on joukko tason kaikkia pisteitä, joiden etäisyyksien summa kahdesta annetusta pisteestä, ns temppuja ellipsi on vakiosuure, joka on numeerisesti yhtä suuri kuin tämän ellipsin pääakselin pituus: .
Tässä tapauksessa tarkennusten väliset etäisyydet ovat pienempiä kuin tämä arvo: .

Nyt kaikki selkenee:

Kuvittele, että sininen piste "matkailee" ellipsiä pitkin. Joten riippumatta siitä, minkä ellipsin pisteen otamme, segmenttien pituuksien summa on aina sama:

Varmistetaan, että esimerkissämme summan arvo on todella yhtä suuri kuin kahdeksan. Aseta henkisesti piste "um" ellipsin oikeaan kärkeen, sitten: , joka on tarkistettava.

Toinen tapa piirtää se perustuu ellipsin määritelmään. Korkeampi matematiikka aiheuttaa joskus jännitteitä ja stressiä, joten on aika pitää uusi purkausistunto. Ota whatman-paperi tai iso arkki pahvia ja kiinnitä se pöytään kahdella naulalla. Näistä tulee temppuja. Sido vihreä lanka ulkoneviin naulanpäihin ja vedä se kokonaan kynällä. Lyijykynä päätyy tiettyyn pisteeseen, joka kuuluu ellipsiin. Aloita nyt lyijykynän siirtäminen paperia pitkin pitäen vihreä lanka kireällä. Jatka prosessia, kunnes palaat lähtöpisteeseen... hienoa... piirustuksen voivat tarkistaa lääkäri ja opettaja =)

Kuinka löytää ellipsin kohdat?

Yllä olevassa esimerkissä kuvasin "valmiita" polttopisteitä, ja nyt opimme poimimaan ne geometrian syvyyksistä.

Jos ellipsi on annettu kanonisella yhtälöllä, niin sen polttopisteillä on koordinaatit , missä se on etäisyys kustakin fokuksesta ellipsin symmetriakeskukseen.

Laskelmat ovat yksinkertaisempaa:

! Polttopisteiden tarkkoja koordinaatteja ei voida tunnistaa "tse":n merkityksellä! Toistan, että näin on ETÄISYYS kustakin tarkennuksesta keskustaan(jonka ei yleensä tarvitse sijaita täsmälleen lähtöpisteessä).
Ja siksi polttopisteiden välistä etäisyyttä ei myöskään voida sitoa ellipsin kanoniseen sijaintiin. Toisin sanoen ellipsi voidaan siirtää toiseen paikkaan ja arvo pysyy ennallaan, kun taas polttopisteet muuttavat luonnollisesti koordinaattejaan. Ota tämä huomioon, kun tutkit aihetta tarkemmin.

Ellipsin epäkeskisyys ja sen geometrinen merkitys

Ellipsin epäkeskisyys on suhde, joka voi ottaa arvoja alueella .

Meidän tapauksessamme:

Selvitetään kuinka ellipsin muoto riippuu sen epäkeskisyydestä. Tätä varten korjaa vasen ja oikea kärki eli puolisuuren akselin arvo pysyy vakiona. Tällöin epäkeskisyyskaava saa muotoa: .

Aloitetaan tuoda eksentrisyyden arvoa lähemmäksi yhtenäisyyttä. Tämä on mahdollista vain, jos. Mitä se tarkoittaa? ...muista temppuja . Tämä tarkoittaa, että ellipsin kohdat "liikkuvat erilleen" abskissa-akselia pitkin sivupisteisiin. Ja koska "vihreät segmentit eivät ole kumia", ellipsi alkaa väistämättä litistää ja muuttuu ohuemmiksi ja ohuemmiksi akselille pudotuksi makkaraksi.

Täten, mitä lähempänä ellipsi-epäkeskisyysarvo on yksikköä, sitä pitkänomaisempi ellipsi on.

Mallitaan nyt päinvastainen prosessi: ellipsin polttopisteet kävelivät toisiaan kohti ja lähestyivät keskustaa. Tämä tarkoittaa, että "ce":n arvo pienenee ja vastaavasti epäkeskisyys pyrkii nollaan: .
Tässä tapauksessa "vihreät segmentit" päinvastoin "tulevat tungosta" ja ne alkavat "työntää" ellipsiviivaa ylös ja alas.

Täten, Mitä lähempänä epäkeskisyysarvo on nollaa, sitä enemmän ellipsi on... katso rajatapausta, kun pesäkkeet yhdistetään onnistuneesti uudelleen alkuperässä:

Ympyrä on ellipsin erikoistapaus

Itse asiassa puoliakselien yhtäläisyyden tapauksessa ellipsin kanoninen yhtälö saa muodon , joka muuttuu refleksiivisesti yhtälöksi ympyrän, jonka keskipiste on säteen "a" alkupisteessä, joka tunnetaan hyvin koulusta.

Käytännössä käytetään useammin merkintää "puhuvalla" kirjaimella "er": . Säde on janan pituus, jossa jokainen ympyrän piste on poistettu keskustasta sädeetäisyyden verran.

Huomaa, että ellipsin määritelmä pysyy täysin oikeana: polttopisteet ovat samat ja yhteensopivien segmenttien pituuksien summa ympyrän kunkin pisteen kohdalla on vakio. Koska polttopisteiden välinen etäisyys on , niin minkä tahansa ympyrän epäkeskisyys on nolla.

Ympyrän rakentaminen on helppoa ja nopeaa, käytä vain kompassia. Joskus on kuitenkin tarpeen selvittää joidenkin sen pisteiden koordinaatit, tässä tapauksessa mennään tutulla tavalla - tuomme yhtälön iloiseen Matanov-muotoon:

– ylemmän puoliympyrän toiminta;
– alemman puoliympyrän toiminto.

Sitten löydämme tarvittavat arvot, erottaa, integroida ja tehdä muuta hyvää.

Artikkeli on tietysti vain viitteellinen, mutta kuinka voit elää maailmassa ilman rakkautta? Luova tehtävä itsenäiseen ratkaisuun

Esimerkki 2

Muodosta ellipsin kanoninen yhtälö, jos yksi sen polttopisteistä ja puolipieniakseli tunnetaan (keskipiste on origossa). Etsi pisteitä, lisäpisteitä ja piirrä viiva piirustukseen. Laske epäkeskisyys.

Ratkaisu ja piirustus oppitunnin lopussa

Lisätään toiminto:

Kierrä ja käännä rinnakkain ellipsi

Palataan ellipsin kanoniseen yhtälöön, nimittäin tilaan, jonka mysteeri on piinannut uteliaita mieliä tämän käyrän ensimmäisen mainitsemisen jälkeen. Joten katsoimme ellipsiä , mutta eikö yhtälön täyttäminen ole käytännössä mahdollista ? Loppujen lopuksi täälläkin näyttää olevan ellipsi!

Tällainen yhtälö on harvinainen, mutta se tulee vastaan. Ja se itse asiassa määrittelee ellipsin. Tehdään selväksi:

Rakentamisen tuloksena saatiin luontainen ellipsimme, jota kierrettiin 90 astetta. Tuo on, - Tämä ei-kanoninen merkintä ellipsi . Ennätys!- yhtälö ei määrittele mitään muuta ellipsiä, koska akselilla ei ole pisteitä (polttopisteitä), jotka täyttäisivät ellipsin määritelmän.

Se on geometrinen kuvio, jota rajoittaa yhtälön antama käyrä.

Siinä on kaksi painopistettä . Keskittyy kutsutaan sellaisiksi kahdeksi pisteeksi, niiden etäisyyksien summa, joista mihin tahansa ellipsin pisteeseen on vakioarvo.

Ellipsikuviopiirros

F 1, F 2 – tarkentaa. F1 = (c; 0); F 2 (- c ; 0)

c – puolet tarkennusten välisestä etäisyydestä;

a – puolisuurakseli;

b – puolipieni akseli.

Lause.Polttoväli ja puoliakselit liittyvät suhteeseen:

a2 = b2 + c2.

Todiste: Jos piste M sijaitsee ellipsin ja pystyakselin leikkauskohdassa, r 1 + r 2 = 2* (Pythagoraan lauseen mukaan). Jos piste M sijaitsee leikkauksessaan vaaka-akselin kanssa, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Koska määritelmän mukaan summa r 1 + r 2 on vakioarvo, jolloin yhtälössä saamme:

r 1 + r 2 = 2 a.

Ellipsihahmon epäkeskisyys

Määritelmä. Ellipsin muodon määrää ominaisuus, joka on polttovälin suhde pääakseliin ja on ns. epäkeskisyys.

Koska Kanssa< a , то е < 1.

Määritelmä. Suuruutta k = b / a kutsutaan puristussuhde, ja suuruutta 1 – k = (a – b)/ a kutsutaan puristus.

Puristussuhde ja epäkeskisyys liittyvät toisiinsa suhteella: k 2 = 1 – e 2 .

Jos a = b (c = 0, e = 0, polttopisteet sulautuvat), ellipsi muuttuu ympyräksi.

Jos ehto täyttyy pisteelle M(x 1, y 1): niin se sijaitsee ellipsin sisällä, ja jos , niin piste on sen ulkopuolella.

Lause.Mielivaltaiselle pisteelle M(x, y), joka kuuluu ellipsikuvioon, seuraavat suhteet ovat tosia::

r 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

Todiste. Yllä osoitettiin, että r 1 + r 2 = 2 a. Lisäksi geometrisista näkökohdista voimme kirjoittaa:

Neliöinnin ja samankaltaisten termien tuomisen jälkeen:

Samalla tavalla todistetaan, että r 2 = a + ex. Lause on todistettu.

Directrix-hahmot ellipsi

Ellipsikuvioon liittyy kaksi suoraa ns rehtorit. Niiden yhtälöt ovat:

x = a/e; x = - a/e.

Lause.Jotta piste sijaitsee ellipsikuvion rajalla, on välttämätöntä ja riittävää, että etäisyyden fokukseen suhde etäisyyteen vastaavaan suuntaviivaan on yhtä suuri kuin epäkeskisyys e.

Esimerkki. Muodosta ellipsi, joka kulkee kuvion vasemman fokuksen ja alemman kärjen kautta yhtälöllä:

Pisteet F 1 (–c, 0) ja F 2 (c, 0), missä niitä kutsutaan ellipsin fokuksia , kun arvo on 2 c määrittelee interfocal etäisyys .

Pisteet A 1 (–A, 0), A 2 (A, 0), SISÄÄN 1 (0, –b), B 2 (0, b) kutsutaan ellipsin kärjet (Kuva 9.2), kun taas A 1 A 2 = 2A muodostaa ellipsin pääakselin ja SISÄÄN 1 SISÄÄN 2 – pieni, – ellipsin keskipiste.

Ellipsin pääparametrit, jotka kuvaavat sen muotoa:

ε = Kanssa/a – ellipsin epäkeskisyys ;

– ellipsin polttovälit (piste M kuuluu ellipsiin), ja r 1 = a + εx, r 2 = a – εx;

– ellipsin suuntaviivat .

Ellipsille se on totta: suuntaviivat eivät leikkaa ellipsin rajaa ja sisäaluetta, ja niillä on myös ominaisuus

Ellipsin epäkeskisyys ilmaisee sen "puristusasteen".

Jos b > a> 0, niin ellipsi annetaan yhtälöllä (9.7), jonka ehto täyttyy ehdon (9.8) sijaan

Sitten 2 A– sivuakseli, 2 b– pääakseli, – polttopisteet (kuva 9.3). Jossa r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, suuntaviivat määritetään yhtälöillä:

Kun otetaan huomioon ehto, meillä on (ellipsin erikoistapauksen muodossa) sädeympyrä R = a. Jossa Kanssa= 0, mikä tarkoittaa ε = 0.

Ellipsin pisteillä on tyypillinen ominaisuus : kunkin niistä polttopisteisiin olevien etäisyyksien summa on vakioarvo, joka on yhtä suuri kuin 2 A(Kuva 9.2).

varten ellipsin parametrinen määritelmä (kaava (9.7)) tapauksissa, joissa ehdot (9.8) ja (9.9) täyttyvät parametrina t ellipsillä olevan pisteen sädevektorin ja akselin positiivisen suunnan välinen kulma voidaan ottaa Härkä:

Jos puoliakseleilla varustetun ellipsin keskipiste on pisteessä, niin sen yhtälö on muotoa:

Esimerkki 1. Anna ellipsin yhtälö x 2 + 4y 2 = 16 kanoniseen muotoon ja määritä sen parametrit. Piirrä ellipsi.

Ratkaisu. Jaetaan yhtälö x 2 + 4y 2 = 16 x 16, jonka jälkeen saamme:

Tuloksena olevan yhtälön muodon perusteella päättelemme, että tämä on ellipsin kanoninen yhtälö (kaava (9.7)), jossa A= 4 – puolisuurakseli, b= 2 – puolipieni akseli. Tämä tarkoittaa, että ellipsin kärjet ovat pisteitä A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Koska etäisyys on puolet, pisteet ovat ellipsin polttopisteitä. Lasketaan epäkeskisyys:

Rehtorit D 1 , D 2 kuvataan yhtälöillä:

Piirrä ellipsi (kuva 9.4).

Esimerkki 2. Määritä ellipsiparametrit

Ratkaisu. Verrataan tätä yhtälöä ellipsin kanoniseen yhtälöön, jonka keskipiste on siirtynyt. Ellipsin keskipisteen löytäminen KANSSA: Puoli-suurakseli, puoli-pikkuakseli, suorat linjat – pääakselit. Puolet keskipisteetäisyydestä ja siten polttopisteet Directrixin epäkeskisyys D 1 ja D 2 voidaan kuvata yhtälöillä: (Kuva 9.5).

Esimerkki 3. Määritä, mikä käyrä yhtälöllä on ja piirrä se:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Ratkaisu. 1) Pelkistetään yhtälö kanoniseen muotoon eristämällä binomiaalin koko neliö:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Siten yhtälö voidaan pelkistää muotoon

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Tämä on ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on pisteessä (–2, 1) ja säde R= 1 (kuva 9.6).

2) Valitsemme täydelliset binomiaalien neliöt yhtälön vasemmalta puolelta ja saamme:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Tällä yhtälöllä ei ole järkeä reaalilukujen joukossa, koska vasen puoli on ei-negatiivinen muuttujien millekään todelliselle arvolle x Ja y, ja oikea on negatiivinen. Siksi he sanovat, että tämä on "imaginaarisen ympyrän" yhtälö tai että se määrittelee tyhjän pistejoukon tasossa.

3) Valitse täydelliset ruudut:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Joten yhtälö näyttää tältä:

Tuloksena oleva yhtälö ja siten alkuperäinen yhtälö määrittelee ellipsin. Ellipsin keskipiste on pisteessä NOIN 1 (1, –2), pääakselit on annettu yhtälöillä y = –2, x= 1 ja puolisuurakseli A= 4, sivuakseli b= 2 (kuva 9.7).

4) Kun olet valinnut täydelliset neliöt, meillä on:

(x – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 tai ( x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Tuloksena oleva yhtälö määrittää yhden pisteen tasolla koordinaattein (1, –2).

5) Vie yhtälö kanoniseen muotoon:

Ilmeisesti se määrittelee ellipsin, jonka keskipiste sijaitsee pisteessä, jossa pääakselit on annettu yhtälöillä puolisuurakselin ja puolipieniakselin kanssa (kuva 9.8).

Esimerkki 4. Kirjoita muistiin säde 2 ympyrän tangentin yhtälö, jonka keskipiste on ellipsin oikealla tarkkuudella x 2 + 4y 2 = 4 y-akselin leikkauspisteessä.

Ratkaisu. Pelkistetään ellipsiyhtälö kanoniseen muotoon (9.7):

Tämä tarkoittaa, että oikea kohdistus on myös - Siksi vaaditulla yhtälöllä säde 2 ympyrälle on muoto (Kuva 9.9):

Ympyrä leikkaa ordinaattisen akselin pisteissä, joiden koordinaatit määritetään yhtälöjärjestelmästä:

Saamme:

Olkoon nämä pisteitä N(0; –1) ja M(0; 1). Tämä tarkoittaa, että voimme rakentaa kaksi tangenttia, merkitään ne T 1 ja T 2. Tunnetun ominaisuuden mukaan tangentti on kohtisuorassa kosketuspisteeseen vedetyn säteen suhteen.

Olkoon Sitten tangenttiyhtälö T 1 saa muotoa:

Eli joko T 1: Se vastaa yhtälöä