Можна показати (ми цього не робимо), що рівняння (2) рівносильне рівнянню (1), хоча воно отримано з (1) шляхом нееквівалентнихперетворень. Це означає, що рівняння (2)-рівняння даного еліпса. Воно називається канонічним(Тобто найбільш простим).

Зрозуміло, що рівняння еліпса є рівняння другого порядку, тобто. еліпс-лінія 2-го порядку.

Для еліпса введемо поняття ексцентриситет.Це величина. Для еліпса ексцентриситет. Так як зі авідомі, теж відомий. Вираз фокальних радіусів точки М(х, у) еліпса легко отримуємо з попередніх міркувань: . r 2 знайдемо з рівності (3)

ЗауваженняЯкщо в стіл вбити два цвяхи (F1 і F2), прив'язати до них обома кінцями шнурок, довжина якого більша за відстань між цвяхами ( 2а), натягнути шнур і шматком крейди вести по столу, то він викреслить замкнуту криву-еліпс, яка симетрична щодо обох осей та початку координат.

4. Дослідження форми еліпса з його канонічного рівняння.

У зауваженні ми з міркувань наочності зробили висновок про форму еліпса. Проведемо тепер дослідження форми еліпса, аналізуючи його канонічне рівняння:

Знайдемо точки перетину з осями координат. Якщо ,у=0, то , , тобто. маємо дві точки А1(-а,0) та А2(а,0). Якщо х = 0, то . Тобто. маємо дві точки В1(0,-b) і B2(0,b) (т.к., то). Точки А1, А2, В1, В2 називають вершинами еліпса.

2) Область розташування еліпса можна визначити з таких міркувань:

а) з рівняння еліпса слід, що , тобто. , тобто. або .

б) аналогічно, тобто. або . Це показує, що весь еліпс розташований у прямокутнику, утвореному прямими і .

3) Далі, в рівняння еліпса змінні х і у входять тільки в парних ступенях, а це означає, що крива симетрична щодо кожної з осей і щодо початку координат. Д-но, якщо радіусу належить точка (х, у), йому належать і точки (х, -у), (-х, у) і (-х, -у). Тому достатньо розглянути лише ту частину еліпса, яка лежить у першій чверті, де і .

4) З рівняння еліпса маємо , а першої чверті . Якщо х = 0, то у = b. Це точка B2(0,b). Нехай х збільшується від 0 до а тоді y зменшується від b до 0. Тим самим точка М(х, у), починаючи з точки В2(0, b) описуючи дугу приходить в точку А(а,0). Можна суворо довести, що дуга опуклістю спрямована нагору. Відбиваючи дзеркально цю дугу в осях координат і на початку, ми отримаємо весь еліпс. Осі симетрії еліпса називаються його осями, точка Про перетин їх-центром еліпса. Довжину відрізків ОА1=ОА2=а називають великою піввіссю еліпса, відрізків ОВ1,ОВ2=b-малою піввіссю еліпса, (а>b), c-напівфокусною відстанню. Величину просто пояснити геометрично.

При а = b отримуємо з канонічного рівняння еліпса - рівняння кола. Для кола, тобто. F1 = F2 = 0. .

Таким чином, коло-це окремий випадок еліпса, коли фокуси його збігаються з центром і ексцентриситет=0. Чим більший ексцентриситет, тим більше витягнуть еліпс.

Зауваження.З канонічного рівняння еліпса легко зробити висновок, що еліпс можна задати в параметричній формі. x=a cos t

y=b sin t,де a, b -велика і мала півосі, t-кут.

5. Визначення та виведення канонічного рівняння гіперболи.

Гіперболоюназивається ГМТ площини, для яких різниця відстаней від двох фіксованих точок F1F2 площини, званих фокусами, є постійна величина (не рівна 0 і менша, ніж фокусна відстань F1F2).

Позначатимемо, як і раніше, F1F2=2с, а різниця відстаней-2а (а<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

Нехай М (х, у) - поточна точка гіперболи. За визначенням МF1-MF2= або r1-r2== або --(1). -це і є рівняння гіперболи.

Позбавляємося ірраціональності в (1): усамітнимо один корінь, зведемо обидві частини в квадрат, отримаємо: або , знову зведемо в квадрат:

Звідки.

Розділимо на . Введемо позначення. Тоді --(2). Рівняння (2), як можна показати, рівносильне рівнянню (1), а тому є рівняння цієї гіперболи. Його називають канонічним рівнянням гіперболиБачимо, що рівняння гіперболи теж другого ступеня, отже, гіпербола-лінія другого порядку.

Ексцентриситет гіперболи. Вираз фокальних радіусів через легко отримати з попереднього, тоді знаходимо з.

6. Дослідження форми гіперболи за її канонічним рівнянням.

Розмірковуємо аналогічно до того, як при дослідженні еліпса.

1. Знаходимо точки перетину з осями гіперболи. Якщо x = 0, то . Точок перетину з віссю ОУ немає. Якщо у = 0, то . Точки перетину, . Вони називаються вершинами гіперболи.

2. Область розташування гіперболи: , тобто. або . Значить, гіпербола розташована поза смугою, обмеженою прямими x=-aі х = а.

3. Гіпербола має всі види симетрії, т.к. х і у входять у парних ступенях. Тому достатньо розглянути ту частину гіперболи, яка розташована у першій чверті.

4. З рівняння гіперболи (2) у першій чверті маємо . При х = а, у = 0 маємо точку; при , тобто. крива йде вправо вгору. Щоб хід уявити ясніше, розглянемо дві допоміжні прямі, які проходять через початок координат і є діагоналями прямокутника зі сторонами 2а і 2b: BCB'C'. Вони мають рівняння та . Доведемо, що поточна точка гіперболи М(х,у) йдучи в нескінченність, необмежено наближається до прямої. Візьмемо довільну точку хі порівняємо відповідні ординати точки гіперболи та - прямий. Очевидно, що У>у. MN=Y-y=.

Бачимо, що з , тобто. крива необмежено наближається до прямої в міру віддалення від початку координат. Це доводить, що пряма асимптота гіперболи. Причому гіпербол не перетинає асимптоту. Цього достатньо, щоб збудувати частину гіперболи. Вона звернена опуклістю нагору. Інші частини добудовуються по симетрії. Зауважимо, що осі симетрії гіперболи (осі координат) називаються її осями, точка перетину осей- центромгіперболи. Одна вісь перетинає гіперболу (дійсна вісь), інша-ні (уявна). Відрізок аназивають дійсною піввіссю, відрізок b-уявної піввіссю. Прямокутник BCB'C'-називається основним прямокутником гіперболи.

Якщо а=b, то асимптоти утворюють з осями координат кути . Тоді гіперболу або називають рівнобічної або рівнобічної.Основний прямокутник перетворюється на квадрат. Асимптоти її перпендикулярні одна одній.

Зауваження.

Іноді розглядають гіперболу, канонічне рівняння якої - (3). Її називають пов'язаноїпо відношенню до гіперболи (2). Гіпербола (3) має дійсну вертикальну вісь, уявну-горизонтальну. Її вид одразу встановлюється, якщо переставити хі у, аі b(Вона перетворюється на колишню). Але тоді гіпербола (3) має вигляд:

Вершини її.

5.Як уже вказувалося, рівняння рівносторонньої гіперболи ( а = b)коли осі координат збігаються з осями гіперболи, має вигляд . (4)

Т.к. асимптоти рівносторонньої гіперболи перпендикулярні, їх також можна взяти за осі координат ОХ 1 і ОУ 1 . Це рівносильно повороту колишньої системи ОХУ на кут. Формули повороту на кут такі:

Тоді у новій системі координат ОХ 1 У 1 рівняння (4) перепишеться:

Або або . Позначаючи , отримаємо або (5) це рівняння рівносторонньої гіперболи, віднесеної до асимптотів (саме цей вид гіперболи розглядався у школі).

Зауваження: З рівняння випливає, що площа будь-якого прямокутника, побудованого на координатах будь-якої точки гіперболи М(х,у) одна й та сама: S= k 2 .

7. Визначення та виведення канонічного рівняння параболи.

Параболоюназивається ГМТ площини, для кожної з яких відстань від фіксованої точки Fплощини, званої фокусом, дорівнює відстані від фіксованої прямої, званої директрисою(Фокус поза директрисою).

Позначатимемо відстань від Fдо директриси через р і називатимемо параметром параболи. Виберемо так систему координат: вісь ОХ проведемо через точку Fперпендикулярно директрисі NP. Початок координат виберемо в середині відрізка FP.

У цій системі: .

Візьмемо довільну точку М(х,у) із поточними координатами (х,у). Тому

Звідси (1) це і є рівняння параболи. Спростимо:

Або (2)-це і є канонічне рівняння параболиМожна показати, що (1) та (2) рівносильні.

Рівняння (2) є рівняння 2-го порядку, тобто. парабола-лінія 2-го порядку.

8. Дослідження форми параболи за її канонічним рівнянням.

(р>0).

1) х=0, у=0 парабола проходить через початок координат точку О. Її називають вершиною параболи.

2), тобто. парабола розташовується правіше осі ОУ, у правій напівплощині.

3) увходить парною мірою, тому парабола симетрична щодо осі ОХ, отже, досить побудувати в першій чверті.

4) у чверті при , тобто. парабола йде праворуч. Можна показати, що опуклістю вгору. По симетрії будуємо знизу. Вісь ОУ-дотична до параболи.

Очевидно, фокальний радіус - . Ставлення називається ексцентриситетом: . Вісь симетрії параболи (у нас ОХ) називається віссю параболи.

Зауважимо, що рівняння також є парабола, але спрямована в протилежний бік. Рівняння також задають параболи, віссю яких є вісь ОУ.

або у більш звичному вигляді, де.

Рівняння визначає звичайну параболу зі зміщеною вершиною.

Зауваження. 1) Між усіма чотирма лініями 2-го порядку існує близька спорідненість; конічними перерізами. Якщо взяти конус із двох порожнин, то при перерізі площиною перпендикулярної осі конуса отримаємо коло, якщо трохи нахилити площину перерізу отримаємо еліпс; якщо площина паралельна утворюючій, то в перерізі-парабола, якщо площина перетинає обидві

порожнини-гіперболу.

2) Можна довести, що якщо промінь світла виходячи з фокусу параболи, відбивається від неї, то відбитий промінь йде паралельно осі параболи-це використовується при дії прожекторів-параболічний відбивач, а у фокусі-джерело світла. Виходить спрямований потік світла.

3) Якщо уявити запуск супутника Землі з точки Т, що лежить поза атмосфери в горизонтальному напрямі, якщо початкова швидкість v 0 недостатня, то супутник обертатися навколо Землі не буде. При досягненні 1-ої космічної швидкості супутник обертатиметься навколо Землі круговою орбітою з центром у центрі Землі. Якщо початкову швидкість збільшити, то обертання відбуватиметься еліпсом, центр Землі буде в одному з фокусів. При досягненні другої космічної швидкості траєкторія стане параболічною і супутник не повернеться в точку Т, але перебуватиме в межах Сонячної системи. Тобто. Парабол є еліпс з одним нескінченно віддаленим фокусом. При подальшому збільшенні початкової швидкості траєкторія стане гіперболічною та другий фокус з'явиться з іншого боку. Центр Землі весь час перебуватиме у фокусі орбіти. Супутник піде за межі Сонячної системи.

11.1. Основні поняття

Розглянемо лінії, що визначаються рівняннями другого ступеня щодо поточних координат

Коефіцієнти рівняння - дійсні числа, але принаймні один із чисел А, В або С відмінно від нуля. Такі лінії називаються лініями (кривими) другого порядку. Нижче буде встановлено, що рівняння (11.1) визначає на площині коло, еліпс, гіперболу чи параболу. Перш ніж переходити до цього твердження, вивчимо властивості перерахованих кривих.

11.2. Окружність

Найпростішою кривою другого порядку є коло. Нагадаємо, що колом радіуса R з центром у точці називається безліч всіх точок площини, що задовольняють умові . Нехай точка прямокутної системі координат має координати x 0 , y 0 а - довільна точка кола (див. рис. 48).

Тоді з умови отримуємо рівняння

(11.2)

Рівнянню (11.2) задовольняють координати будь-якої точки даного кола і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на колі.

Рівняння (11.2) називається канонічним рівнянням кола

Зокрема, вважаючи і , отримаємо рівняння кола з центром на початку координат .

Рівняння кола (11.2) після нескладних перетворень набуде вигляду. При порівнянні цього рівняння із загальним рівнянням (11.1) кривою другого порядку легко помітити, що для рівняння кола виконані дві умови:

1) коефіцієнти при x 2 і 2 рівні між собою;

2) відсутній член, що містить добуток xу поточних координат.

Розглянемо обернену задачу. Поклавши в рівнянні (11.1) значення і отримаємо

Перетворимо це рівняння:

(11.4)

Звідси випливає, що рівняння (11.3) визначає коло за умови . Її центр знаходиться у точці

.

, а радіус Якщо ж

.

, то рівняння (11.3) має вигляд Йому задовольняють координати єдиної точки

. У цьому випадку кажуть: "коло виродилася в крапку" (має нульовий радіус).

Якщо

, то рівняння (11.4), отже, і рівносильне рівняння (11.3), не визначать жодної лінії, оскільки права частина рівняння (11.4) негативна, а ліва – не негативна (говорити: “коло уявна”).

11.3. Еліпс Канонічне рівняння еліпса Еліпсом називається безліч усіх точок площини, сума відстаней від кожної з яких до двох даних точок цієї площини, званих

фокусами є величина постійна, більша, ніж відстань між фокусами.і Позначимо фокуси через F 1 F 2, відстань між ними через 2 c, а суму відстаней від довільної точки еліпса до фокусів - через 2 c > 2F 2 a c > F 2.

(Див. рис. 49). За визначенням 2 є величина постійна, більша, ніж відстань між фокусами.і Позначимо фокуси через, тобто. Для виведення рівняння еліпса виберемо систему координат так, щоб фокусилежали на осі, а початок координат збігалося з серединою відрізка

F 1 F 2

.

Тоді фокуси матимуть такі координати: і .

Нехай – довільна точка еліпса. Тоді, за визначенням еліпса, , тобто. c>зЦе, власне, і є рівняння еліпса.

(11.6)

Перетворимо рівняння (11.5) до більш простого вигляду так:

(11.7)

Так як , то. Покладемо .

Тоді останнє рівняння набуде вигляду або

Можна довести, що рівняння (11.7) дорівнює вихідному рівнянню. Воно називається

канонічним рівнянням еліпса

Еліпс – крива другого порядку.

2. Знайдемо точки перетину еліпса з осями координат. Поклавши , знаходимо дві точки і , у яких вісь перетинає еліпс (див. рис. 50). Поклавши в рівнянні (11.7), знаходимо точки перетину еліпса з віссю: і. Крапки A 1 , A 2 , B 1, B 2називаються вершинами еліпса. Відрізки A 1 A 2і B 1 B 2, а також їх довжини 2 cі 2 bназиваються відповідно великою та малою осямиеліпса. Числа cі bназиваються відповідно великою і малою півосямиеліпса.

3. З рівняння (11.7) випливає, що кожен доданок у лівій частині вбирається у одиниці, тобто. мають місце нерівності та або і . Отже, всі точки еліпса.лежаї всередині прямокутника, утвореного прямими .

4. У рівнянні (11.7) сума невід'ємних доданків і дорівнює одиниці. Отже, при зростанні одного доданку інше зменшуватиметься, тобто якщо зростає, то зменшується і навпаки.

Зі сказаного випливає, що еліпс має форму, зображену на рис. 50 (овальна замкнута крива).

Додаткові відомості про еліпс

Форма еліпса залежить від відношення.

При еліпс перетворюється на коло, рівняння еліпса (11.7) набуває вигляду. Як характеристику форми еліпса частіше користуються ставленням.<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

Відношення половини відстані між фокусами до великої півосі еліпса називається ексцентриситетом еліпса і o6 означає букву ε («епсілон»):

причому 0

Звідси видно, що менше ексцентриситет еліпса, тим еліпс буде менш сплющеним; якщо покласти ε = 0, то еліпс перетворюється на коло.

Нехай М(х;у) - довільна точка еліпса з фокусами F1 і F2 (див. рис. 51). Довжини відрізків F 1 M=r 1 і F 2 M = r 2 називаються фокальними радіусами точки Μ. Очевидно,

Мають місце формулиПрямі називаються

Теорема 11.1. .

Якщо - відстань від довільної точки еліпса до якого-небудь фокусу, d - відстань від цієї точки до відповідної цьому фокусу директриси, то відношення є постійна величина, що дорівнює ексцентриситету еліпса:

З рівності (11.6) випливає, що . Якщо ж то рівняння (11.7) визначає еліпс, велика вісь якого лежить на осі Оу, а мала вісь - на осі Ох (див. рис. 52). Фокуси такого еліпса знаходяться в точках і , де

Гіперболою 11.4. Гіперболу Еліпсом Канонічне рівняння гіперболи

фокусами є величина постійна, більша, ніж відстань між фокусами.і Позначимо фокуси черезназивається безліч всіх точок площини, модуль різниці відстаней від кожної з яких до двох даних точок цієї площини, званих , є постійна величина, менша, ніж відстань між фокусами., а модуль різниці відстаней від кожної точки гіперболи до фокусів через 2a. За визначенням 2a < , є постійна величина, менша, ніж відстань між фокусами., тобто. c < F 2.

Для виведення рівняння гіперболи виберемо систему координат так, щоб фокуси є величина постійна, більша, ніж відстань між фокусами.і F 2лежали на осі, а початок координат збіглося з серединою відрізка Для виведення рівняння еліпса виберемо систему координат так, щоб фокуси(Див. рис. 53). Тоді фокуси матимуть координати та

Нехай – довільна точка гіперболи. Тоді згідно з визначенням гіперболи або, тобто.. Після спрощень, як це було зроблено при виведенні рівняння еліпса, отримаємо канонічне рівняння гіперболи

(11.9)

(11.10)

Гіпербол є лінія другого порядку.

Дослідження форми гіперболи за її рівнянням

Встановимо форму гіперболи, користуючись її коконічним рівнянням.

1. Рівняння (11.9) містить x і у тільки парних ступенях. Отже, гіпербола симетрична щодо осей і , а також щодо точки , яку називають

центром гіперболи.

2. Знайдемо точки перетину гіперболи з осями координат. Поклавши в рівнянні (11.9), знаходимо дві точки перетину гіперболи з віссю: і. Поклавши в (11.9), отримуємо , чого не може. Отже, гіпербола вісь Оу не перетинає. Крапки і називаються вершинами

гіперболи, а відрізок справжньою віссю , відрізок - справжньою піввіссю

гіперболи. Відрізок , що з'єднує точки і називається уявною віссю , число b - уявною піввіссю 2aі .Прямокутник зі сторонами 2b .

називається

основним прямокутником гіперболи

3. З рівняння (11.9) випливає, що що зменшується не менше одиниці тобто що або .

Це означає, що точки гіперболи розташовані праворуч від прямої (права гілка гіперболи) і зліва від прямої (ліва галузь гіперболи).

4. З рівняння (11.9) гіперболи видно, що й зростає, те й зростає. Це випливає з того, що різниця зберігає постійне значення, що дорівнює одиниці.

Зі сказаного слід, що гіпербола має форму, зображену на малюнку 54 (крива, що складається з двох необмежених гілок).

(11.11)

Асимптоти гіперболи

Візьмемо на прямий точку N має ту ж абсцису х, що і точка на гіперболі (див. рис. 56), і знайдемо різницю ΜΝ між ординатами прямої та гілки гіперболи:

Як видно, у міру зростання x знаменник дробу збільшується; чисельник – є постійна величина. Отже, довжина відрізка ΜΝ прагне нуля. Так як ΜΝ більша від відстані d від точки Μ до прямої, то d і поготів прагне до нуля. Отже, прямі є асимптотами гіпербол (11.9).

При побудові гіперболи (11.9) доцільно спочатку побудувати основний прямокутник гіперболи (див. рис. 57), провести прямі, що проходять через протилежні вершини цього прямокутника, - асимптоти гіперболи і відзначити вершини і гіперболи.

Рівняння рівносторонньої гіперболи.

асимптотами якої служать осі координат

Гіпербола (11.9) називається рівносторонньою, якщо її півосі дорівнюють ().

(11.12)

Її канонічне рівняння

Асимптоти рівносторонньої гіперболи мають рівняння і, отже, є бісектрисами координатних кутів.

Розглянемо рівняння цієї гіперболи у новій системі координат (див. рис. 58), отриманої зі старою поворотом осей координат на кут .

Використовуємо формули повороту осей координат:

Підставляємо значення х і у рівняння (11.12):

Рівняння рівносторонньої гіперболи, на яку осі Ох і Оу є асимптотами, матиме вигляд . Додаткові відомості про гіперболу

Ексцентриситетом .

гіперболи (11.9) називається відношення відстані між фокусами до величини дійсної осі гіперболи, що позначається ε:

Оскільки гіперболи , то ексцентриситет гіперболи більше одиниці: . Ексцентриситет характеризує форму гіперболи. Справді, з рівності (11.10) випливає, тобто.

і Звідси видно, що менше ексцентриситет гіперболи, тим менше ставлення - її півосей, отже, тим паче витягнутий її основний прямокутник. Ексцентриситет рівносторонньої гіперболи дорівнює. Справді, Звідси видно, що менше ексцентриситет гіперболи, тим менше ставлення - її півосей, отже, тим паче витягнутий її основний прямокутник. .

Фокальні радіуси

і

для точок правої гілки гіперболи мають вигляд і , а для лівої - cПрямі – називаються директрисами гіперболи. Оскільки гіперболи ε > 1, то .

Очевидно, що гіперболи мають загальні асимптоти. Такі гіперболи називаються сполученими.

11.5. Парабола

Канонічне рівняння параболи

Параболою називається безліч всіх точок площини, кожна з яких однаково віддалена від даної точки, званої фокусом, і даної прямої, званої директриса. Відстань від фокусу F до директриси називається параметром параболи і позначається через p (p > 0).

Для виведення рівняння параболи виберемо систему координат Оху так, щоб вісь Ох проходила через фокус F перпендикулярно до директриси в напрямку від директриси до F, а початок координат Про розташуємо посередині між фокусом і директрисою (див. рис. 60). У вибраній системі фокус F має координати, а рівняння директриси має вигляд, або.

1. У рівнянні (11.13) змінна у входить парною мірою, значить, парабола симетрична щодо осі Ох; вісь Ох є віссю симетрії параболи.

2. Оскільки ρ > 0, то з (11.13) випливає, що . Отже, парабола розташована праворуч від осі Оу.

3. При маємо у = 0. Отже парабола проходить через початок координат.

4. При необмеженому зростанні x модуль також необмежено зростає. Парабола має вигляд (форму), зображений малюнку 61. Точка О(0; 0) називається вершиною параболи, відрізок FM = r називається фокальним радіусом точки М.

Рівняння , , ( p>0) також визначають параболи, вони зображені на малюнку 62

Неважко показати, що графік квадратного тричлена , де , B і С будь-які дійсні числа, є параболою в сенсі наведеного вище її визначення.

11.6. Загальне рівняння ліній другого порядку

Рівняння кривих другого порядку з осями симетрії, паралельними координатним осям

Знайдемо спочатку рівняння еліпса з центром у точці, осі симетрії якого паралельні координатним осям Ох і Оу та півосі відповідно рівні cі b. Помістимо в центрі еліпса O 1 початок нової системи координат, осі якої та півосями aі b(див. рис. 64):

І, нарешті, параболи, зображені малюнку 65, мають відповідні рівняння.

Рівняння

Рівняння еліпса, гіперболи, параболи та рівняння кола після перетворень (розкрити дужки, перенести всі члени рівняння в один бік, навести подібні члени, ввести нові позначення для коефіцієнтів) можна записати за допомогою єдиного рівняння виду

де коефіцієнти А і С не дорівнюють нулю одночасно.

Виникає питання: чи будь-яке рівняння виду (11.14) визначає одну з кривих (коло, еліпс, гіпербола, парабола) другого порядку? Відповідь дає така теорема.

Теорема 11.2. Рівняння (11.14) завжди визначає: або коло (при А = С), або еліпс (при А · С> 0), або гіперболу (при А · С< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

Загальне рівняння другого порядку

Розглянемо тепер загальне рівняння другого ступеня із двома невідомими:

Воно відрізняється від рівняння (11.14) наявністю члена з добутком координат (B1 0). Можна, шляхом повороту координатних осей на кут a перетворити це рівняння, щоб у ньому член з добутком координат був відсутній.

Використовуючи формули повороту осей

висловимо старі координати через нові:

Виберемо кут a так, щоб коефіцієнт при х" · у" звернувся в нуль, тобто щоб виконувалася рівність

Таким чином, при повороті осей на кут, що задовольняє умові (11.17), рівняння (11.15) зводиться до рівняння (11.14).

Висновок: загальне рівняння другого порядку (11.15) визначає на площині (якщо не рахувати випадків виродження та розпаду) такі криві: коло, еліпс, гіперболу, параболу.

Якщо А = С, то рівняння (11.17) втрачає сенс. У цьому випадку cos2α = 0 (див. (11.16)), тоді 2α = 90 °, тобто α = 45 °. Отже, за А = С систему координат слід повернути на 45°.

Лінії другого порядку.
Еліпс та його канонічне рівняння. Окружність

Після ґрунтовного опрацювання прямих на площиніпродовжуємо вивчати геометрію двовимірного світу. Ставки подвоюються, і я запрошую вас відвідати мальовничу галерею еліпсів, гіпербол, парабол, які є типовими представниками ліній другого порядку. Екскурсія вже розпочалася, і спочатку коротка інформація про всю експозицію на різних поверхах музею:

Поняття алгебраїчної лінії та її порядку

Лінію на площині називають алгебраїчної, якщо в афінної системи координатїї рівняння має вигляд , де – многочлен, що складається з доданків виду ( – дійсне число, – цілі неотрицательные числа).

Як бачите, рівняння лінії алгебри не містить синусів, косінусів, логарифмів та іншого функціонального бомонду. Тільки «ікси» та «ігреки» в цілих невід'ємнихступенях.

Порядок лініїдорівнює максимальному значенню складових, що входять до нього.

За відповідною теоремою, поняття алгебраїчної лінії, а також її порядок не залежать від вибору афінної системи координат, тому для легкості буття вважаємо, що всі наступні викладки мають місце в декартових координатах.

Загальне рівняннялінії другого порядку має вигляд , де – довільні дійсні числа (прийнято записувати з множником-«двійкою»), причому коефіцієнти не дорівнюють одночасно нулю.

Якщо , то рівняння спрощується до , і якщо коефіцієнти одночасно не дорівнюють нулю, то це точно загальне рівняння «плоської» прямої, яка є лінію першого порядку.

Багато хто зрозумів зміст нових термінів, але, проте, з метою 100%-го засвоєння матеріалу сунемо пальці в розетку. Щоб визначити порядок лінії, потрібно перебрати всі доданкиїї рівняння та у кожного з них знайти суму ступеніввхідних змінних.

Наприклад:

доданок містить «ікс» в 1-му ступені;
доданок містить «ігрок» в 1-му ступені;
у складі змінні відсутні, тому сума їх ступенів дорівнює нулю.

Тепер розберемося, чому рівняння задає лінію другогопорядку:

доданок містить «ікс» у 2-му ступені;
у доданку сума ступенів змінних: 1 + 1 = 2;
доданок містить «гравець» у 2-му ступені;
решта доданків – меншоюступеня.

Максимальне значення: 2

Якщо до нашого рівняння додатково приплюсувати, скажімо, то воно вже буде визначати лінію третього порядку. Очевидно, що загальний вигляд рівняння лінії 3-го порядку містить «повний комплект» доданків, сума ступенів змінних у яких дорівнює трьом:
, Де коефіцієнти не рівні одночасно нулю.

У тому випадку, якщо додати одне або кілька відповідних доданків, які містять , то мова вже зайде про лінії 4-го порядку, і т.д.

З лініями алгебри 3-го, 4-го і більш високих порядків нам доведеться зіткнутися ще не раз, зокрема, при знайомстві з полярною системою координат.

Однак повернемося до загального рівняння та згадаємо його найпростіші шкільні варіації. Як приклади напрошується парабола, рівняння якої легко привести до загального вигляду, і гіпербола з еквівалентним рівнянням. Однак не все так гладко.

Істотний недолік загального рівняння полягає в тому, що майже завжди не зрозуміло, яку задає лінію. Навіть у найпростішому випадку не відразу зрозумієш, що це гіпербола. Такі розклади хороші лише на маскараді, тому в курсі аналітичної геометрії розглядається типове завдання приведення рівняння лінії 2-го порядку до канонічного вигляду.

Що таке канонічний вид рівняння?

Це загальноприйнятий стандартний вид рівняння, коли за лічені секунди стає ясно, який геометричний об'єкт воно визначає. Крім того, канонічний вигляд дуже зручний для вирішення багатьох практичних завдань. Так, наприклад, за канонічним рівнянням «плоский» прямий, по-перше, відразу зрозуміло, що це пряма, а по-друге – елементарно проглядається точка, що належить їй, і напрямний вектор .

Очевидно, що будь-яка лінія 1-го порядкує прямою. На другому поверсі нас чекає вже не вахтер, а набагато різноманітніша компанія з дев'яти статуй:

Класифікація ліній другого порядку

За допомогою спеціального комплексу дій будь-яке рівняння лінії другого порядку наводиться до одного з таких видів:

(і – позитивні дійсні числа)

1) - канонічне рівняння еліпса;

2) - канонічне рівняння гіперболи;

3) - канонічне рівняння параболи;

4) – уявнийеліпс;

5) - пара прямих, що перетинаються;

6) – пара уявнихпрямих, що перетинаються (з єдиною дійсною точкою перетину на початку координат);

7) – пара паралельних прямих;

8) – пара уявнихпаралельних прямих;

9) - пара прямих, що збіглися.

У ряду читачів може скластися враження неповноти списку. Наприклад, у пункті № 7 рівняння задає пару прямих, паралельних осі , і виникає питання: а де ж рівняння , що визначає прямі , паралельні осі ординат? Відповідь: воно не вважається канонічним. Прямі являють собою той самий стандартний випадок, повернутий на 90 градусів, і додатковий запис у класифікації надмірна, оскільки не несе нічого принципово нового.

Таким чином, існує дев'ять і лише дев'ять різних видів ліній 2-го порядку, але на практиці найчастіше зустрічаються еліпс, гіпербола та парабола.

Спочатку розглянемо еліпс. Як завжди, я акцентую увагу на тих моментах, які мають велике значення для вирішення завдань, і якщо вам необхідний докладний висновок формул, докази теорем, будь ласка, зверніться, наприклад, до підручника Базилєва/Атанасяна або Александрова.

Еліпс та його канонічне рівняння

Правопис… будь ласка, не повторюйте помилок деяких користувачів Яндекса, яких цікавить «як побудувати елібз», «відмінність еліпса від овалу» та «ексцентриситет елебсу».

Канонічне рівняння еліпса має вигляд , де - Позитивні дійсні числа, причому . Саме визначення еліпса я сформулюю пізніше, а поки саме час відпочити від говорілки і вирішити поширене завдання:

Як побудувати еліпс?

Так, ось взяти його і просто накреслити. Завдання зустрічається часто, і значна частина студентів не зовсім добре справляються з кресленням:

Приклад 1

Побудувати еліпс, заданий рівнянням

Рішення: спочатку наведемо рівняння до канонічного вигляду:

Навіщо наводити? Одна з переваг канонічного рівняння полягає в тому, що воно дозволяє миттєво визначити вершини еліпса, що у точках . Легко помітити, що координати кожної з цих точок задовольняють рівняння .

В даному випадку :


Відрізокназивають великою віссюеліпса;
відрізок – малою віссю;
число називають великою піввіссюеліпса;
число – малою піввіссю.
у прикладі: .

Щоб швидко уявити, як виглядає той чи інший еліпс, достатньо подивитися на значення «а» і «бе» його канонічного рівняння.

Все добре, складно та красиво, але є один нюанс: я виконав креслення за допомогою програми . І ви можете виконати креслення за допомогою будь-якої програми. Однак у суворій дійсності на столі лежить картатий аркуш паперу, і на наших руках водять хороводи миші. Люди з художнім талантом, звичайно, можуть посперечатися, але миші є і у вас теж (щоправда, менше). Такі недаремно людство винайшло лінійку, циркуль, транспортир та інші нехитрі пристрої для креслення.

Тому нам навряд чи вдасться акуратно накреслити еліпс, знаючи одні вершини. Ще куди не йшло, якщо еліпс невеликий, наприклад, з півосями. Як варіант, можна зменшити масштаб і, відповідно, розміри креслення. Але загалом вкрай бажано знайти додаткові точки.

Існує два підходи до побудови еліпса – геометричний та алгебраїчний. Побудова за допомогою циркуля і лінійки мені не подобається через не короткий алгоритм і суттєву захаращеність креслення. У разі крайньої необхідності, будь ласка, зверніться до підручника, а насправді ж набагато раціональніше скористатися засобами алгебри. З рівняння еліпса на чернетці швиденько висловлюємо:

Далі рівняння розпадається на дві функції:
- Визначає верхню дугу еліпса;
- Визначає нижню дугу еліпса.

Заданий канонічним рівнянням еліпс симетричний щодо координатних осей, і навіть щодо початку координат . І це добре - симетрія в більшості випадків провісник халяви. Очевидно, що достатньо розібратися з 1-ою координатною чвертю, тому нам потрібна функція . Напрошується знаходження додаткових крапок з абсцисами . Настукаємо три смс-ки на калькуляторі:

Безумовно, приємно й те, що якщо допущено серйозну помилку в обчисленнях, то це відразу з'ясується в ході побудови.

Зазначимо на кресленні точки (червоний колір), симетричні точки на решті дуг (синій колір) і акуратно з'єднаємо лінією всю компанію:


Початковий малюнок краще прокреслити тонко-тонко, і лише потім надати натиск олівця. В результаті має вийти цілком гідний еліпс. До речі, чи не хочете дізнатися, що це за крива?

Визначення еліпса. Фокуси еліпса та ексцентриситет еліпса

Еліпс - це окремий випадок овалу. Слово «овал» не слід розуміти в обивательському сенсі («дитина намалювала овал» і т.п.). Це математичний термін, що має розгорнуте формулювання. Метою даного уроку не є розгляд теорії овалів та різних їх видів, яким практично не приділяється уваги у стандартному курсі аналітичної геометрії. І, відповідно до більш актуальних потреб, ми відразу переходимо до суворого визначення еліпса:

Еліпс– це безліч усіх точок площини, сума відстаней до кожної з яких від двох даних точок , Еліпсомеліпса, - є величина постійна, чисельно рівна довжині великої осі цього еліпса: .
При цьому відстані між фокусами менші від даного значення: .

Тепер стане все зрозуміліше:

Уявіть, що синя крапка «їздить» еліпсом. Так от, яку б точку еліпса ми не взяли, сума довжин відрізків завжди буде однією і тією самою:

Переконаємося, що у нашому прикладі значення суми справді дорівнює восьми. Подумки помістіть точку «ем» у праву вершину еліпса, тоді: , що потрібно перевірити.

На визначенні еліпса заснований ще один спосіб його креслення. Вища математика часом причина напруги і стресу, тому саме час провести черговий сеанс розвантаження. Будь ласка, візьміть ватман або великий лист картону і приколоти його до столу двома гвоздиками. Це будуть фокуси. До капелюшків цвяхів, що стирчать, прив'яжіть зелену нитку і до упору відтягніть її олівцем. Гриф олівця опиниться в деякій точці, яка належить еліпсу. Тепер починайте олівець по аркушу паперу, зберігаючи зелену нитку сильно натягнутою. Продовжуйте процес доти, доки не повернетеся у вихідну точку… відмінно… креслення можна здати на перевірку лікареві викладачеві =)

Як знайти фокуси еліпса?

У наведеному прикладі я зобразив «готові» точки фокусу, і зараз ми навчимося видобувати їх із надр геометрії.

Якщо еліпс заданий канонічним рівнянням, його фокуси мають координати , де це відстань від кожного з фокусів до центру симетрії еліпса.

Обчислення простіше пареної ріпи:

! Зі значенням «це» не можна ототожнювати конкретні координати фокусів!Повторюся, що це ВІДСТАНЬ від кожного з фокусів до центру(який у випадку ні розташовуватися саме на початку координат).
І, отже, відстань між фокусами теж не можна прив'язувати до канонічного становища еліпса. Іншими словами, еліпс можна перенести в інше місце і значення залишиться постійним, тоді як фокуси, звичайно, змінять свої координати. Будь ласка, враховуйте цей момент під час подальшого вивчення теми.

Ексцентриситет еліпса та його геометричний зміст

Ексцентриситетом еліпса називають відношення, яке може набувати значень у межах.

У нашому випадку:

З'ясуймо, як форма еліпса залежить від його ексцентриситету. Для цього зафіксуємо ліву та праву вершинианалізованого еліпса, тобто значення великої півосі залишатиметься постійним. Тоді формула ексцентриситету набуде вигляду: .

Почнемо наближати значення ексцентриситету до одиниці. Це можливо лише в тому випадку, якщо . Що це означає? …згадуємо про фокуси . Це означає, що фокуси еліпса «роз'їжджатимуться» по осі абсцис до бічних вершин. І, оскільки «зелені відрізки не гумові», то еліпс неминуче почне сплющуватися, перетворюючись на все більш тонку сосиску, нанизану на вісь.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету еліпса до одиниці, тим еліпс більш довгастий.

Тепер змоделюємо протилежний процес: фокуси еліпса пішли назустріч один одному, наближаючись до центру. Це означає, що значення «це» стає дедалі менше і, відповідно, ексцентриситет прагне нулю: .
При цьому "зеленим відрізкам" буде, навпаки - "ставати тісно" і вони почнуть "виштовхувати" лінію еліпса вгору і вниз.

Таким чином, чим ближче значення ексцентриситету до нуля, тим еліпс більше схожий… дивимося граничний випадок, коли фокуси успішно возз'єдналися на початку координат:

Окружність – це окремий випадок еліпса

Справді, у разі рівності півосей канонічне рівняння еліпса набуває вигляду , який рефлекторно перетворюється на – добре відомого зі школи рівняння кола з центром на початку координат радіусу «а».

Насправді частіше використовують запис із «говорящей» буквою «ер»: . Радіусом називають довжину відрізка, при цьому кожна точка кола віддалена від центру на відстань радіуса.

Зауважте, що визначення еліпса залишається повністю коректним: фокуси збіглися, і сума довжин відрізків, що збіглися, для кожної точки кола – є величина постійна. Оскільки відстань між фокусами, то ексцентриситет будь-якого кола дорівнює нулю.

Будується коло легко і швидко, достатньо озброїтися циркулем. Тим не менш, іноді буває потрібно з'ясувати координати деяких її точок, у цьому випадку йдемо знайомим шляхом – наводимо рівняння до бадьорого матанівського вигляду:

– функція верхнього півкола;
– функція нижнього півкола.

Після чого знаходимо потрібні значення, диференціюємо, інтегруємоі робимо інші добрі речі.

Стаття, звичайно, має довідковий характер, але як на світі без кохання прожити? Творче завдання для самостійного вирішення

Приклад 2

Скласти канонічне рівняння еліпса, якщо відомий один із його фокусів і мала піввісь (центр знаходиться на початку координат). Знайти вершини, додаткові точки та зобразити лінію на кресленні. Обчислити ексцентриситет.

Рішення та креслення наприкінці уроку

Додамо екшену:

Поворот та паралельне перенесення еліпса

Повернемося до канонічного рівняння еліпса , зокрема, до умови , загадка якого мучить допитливі уми ще з часів першої згадки про цю криву. Ось ми розглянули еліпс але хіба на практиці не може зустрітися рівняння ? Адже тут, проте, це начебто як і еліпс!

Подібне рівняння нечасте, але справді трапляється. І воно справді визначає еліпс. Розвіємо містику:

Внаслідок побудови отримано наш рідний еліпс, повернутий на 90 градусів. Тобто, – це неканонічний записеліпса . Запис!- Рівняння не ставить якийсь інший еліпс, оскільки на осі немає точок (фокусів), які б задовольняли визначенню еліпса.

Це геометрична фігура, яка обмежена кривою, заданою рівнянням.

Він має два фокуси . Фокусаминазиваються такі дві точки, сума відстаней яких до будь-якої точки еліпса є стала величина.

Креслення фігури еліпс

F 1, F 2 - фокуси. F 1 = (c; 0); F 2 (- c ; 0)

с – половина відстані між фокусами;

a – велика піввісь;

b – мала піввісь.

Теорема.Фокусна відстань та півосі пов'язані співвідношенням:

a 2 = b 2 + c 2 .

Доведення:Якщо точка М знаходиться на перетині еліпса з вертикальною віссю, r 1 + r 2 = 2*(за теоремою Піфагора). Якщо точка М знаходиться на перетині його з горизонтальною віссю, r 1 + r 2 = a – c + a + c. Т.к. щодо визначення сума r 1 + r 2 – постійна величина, то, прирівнюючи, отримуємо:

r 1 + r 2 = 2 a.

Ексцентриситет фігури еліпс

Визначення.Форма еліпса визначається характеристикою, яка є відношенням фокусної відстані до більшої осі та називається ексцентриситетом.

Т.к. з< a , то е < 1.

Визначення.Величина k = b/a називається коефіцієнтом стиснення, А величина 1 - k = (a - b) / a називається стиском.

Коефіцієнт стиснення та ексцентриситет пов'язані співвідношенням: k 2 = 1 - e 2 .

Якщо a = b (c = 0, e = 0, фокуси зливаються), то еліпс перетворюється на коло.

Якщо точки М(х 1 , у 1) виконується умова: , вона перебуває усередині еліпса, і якщо , то точка перебуває поза ним.

Теорема.Для довільної точки М(х, у), що належить фігурі еліпс вірні співвідношення:

r 1 = a - ex, r 2 = a + ex.

Доведення.Вище було показано, що r 1 + r 2 = 2 a . Крім того, з геометричних міркувань можна записати:

Після зведення в квадрат і приведення подібних доданків:

Аналогічно доводиться, що r 2 = a + ex. Теорему доведено.

Директриси фігури еліпс

З фігурою еліпс пов'язані дві прямі, звані директрисами. Їхні рівняння:

x = a / e; x = - a / e.

Теорема.Для того, щоб точка лежала на межі фігури еліпс, необхідно і достатньо, щоб відношення відстані до фокусу до відстані до відповідної директриси дорівнювало ексцентриситету е.

приклад. Скласти , що проходить через лівий фокус і нижню вершину фігури еліпс, заданого рівнянням:

Крапки F 1 (–F 2, 0) та F 2 (F 2, 0), де називаються фокусами еліпса при цьому величина 2 F 2визначає міжфокусна відстань .

Крапки А 1 (–а, 0), А 2 (а, 0), У 1 (0, –b), B 2 (0, b) називаються вершинами еліпса (Мал. 9.2), при цьому А 1 А 2 = 2аутворює велику вісь еліпса, а У 1 У 2 – малу, – центр еліпса.

Основні параметри еліпса, що характеризують його форму:

ε = з/c – ексцентриситет еліпса ;

– фокальні радіуси еліпса (крапка Мналежить еліпсу), причому r 1 = c + εx, r 2 = c – εx;

– директриси еліпса .

Для еліпса справедливо: директриси не перетинають кордон і внутрішню область еліпса, а також мають властивість

Ексцентриситет еліпса висловлює його міру стиснення.

Якщо b > c> 0, то еліпс задається рівнянням (9.7), якого замість умови (9.8) виконується умова

Тоді 2 а- мала вісь, 2 b– велика вісь, – фокуси (рис. 9.3). При цьому r 1 + r 2 = 2b,
ε = F 2/b, Директриси визначаються рівняннями:

За умови маємо (у вигляді окремого випадку еліпса) коло радіусу R = c. При цьому з= 0, отже, ε = 0.

Точки еліпса мають характеристичною властивістю : сума відстаней від кожної з них до фокусів є постійна, рівна 2 а(Рис. 9.2).

Для параметричного завдання еліпса (формула (9.7)) у випадках виконання умов (9.8) та (9.9) як параметр tможе бути взята величина кута між радіус-вектором точки, що лежить на еліпсі, і позитивним напрямом осі Ox:

Якщо центр еліпса з півосями знаходиться в точці, то його рівняння має вигляд:

приклад 1.Привести рівняння еліпса x 2 + 4y 2 = 16 до канонічного вигляду та визначити його параметри. Зобразити еліпс.

Рішення. Розділимо рівняння x 2 + 4y 2 = 16 на 16, після чого отримаємо:

На вигляд отриманого рівняння укладаємо, що це канонічне рівняння еліпса (формула (9.7)), де а= 4 – велика піввісь, b= 2 - мала піввісь. Значить, вершинами еліпса є точки A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2 (0, 2). Оскільки половина міжфокусної відстані, то точки є фокусами еліпса. Обчислимо ексцентриситет:

Директриси D 1 , D 2 описуються рівняннями:

Зображаємо еліпс (рис. 9.4).

приклад 2.Визначити параметри еліпса

Рішення.Порівняємо це рівняння з канонічним рівнянням еліпса зі зміщеним центром. Знаходимо центр еліпса З: Велика піввісь мала піввісь прямі - головні осі Половина міжфокусної відстані а значить, фокуси Ексцентриситет Директриси D 1 та D 2 можуть бути описані за допомогою рівнянь (рис. 9.5).

приклад 3.Визначити, яка крива задається рівнянням, зобразити її:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Рішення. 1) Наведемо рівняння до канонічного виду шляхом виділення повного квадрата двочлена:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Таким чином, рівняння може бути наведено до виду

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Це рівняння кола з центром у точці (–2, 1) та радіусом R= 1 (рис. 9.6).

2) Виділяємо повні квадрати двочленів у лівій частині рівняння та отримуємо:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Це рівняння немає сенсу на безлічі дійсних чисел, оскільки ліва частина неотрицательна за будь-яких дійсних значеннях змінних xі y, А права - негативна. Тому кажуть, що це рівняння «уявного кола» або воно задає порожню безліч точок площини.

3) Виділяємо повні квадрати:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Отже, рівняння має вигляд:

Отримане рівняння, отже, і вихідне задають еліпс. Центр еліпса знаходиться у точці Про 1 (1, –2), головні осі задаються рівняннями y = –2, x= 1, причому велика піввісь а= 4, мала піввісь b= 2 (рис. 9.7).

4) Після виділення повних квадратів маємо:

(x – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 - 17 + 17 = 0 або ( x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Отримане рівняння задає єдину точку площини координатами (1, –2).

5) Наведемо рівняння до канонічного вигляду:

Очевидно, воно задає еліпс, центр якого знаходиться в точці головні осі задаються рівняннями, причому велика піввісь мала піввісь (рис. 9.8).

приклад 4.Записати рівняння дотичної до кола радіуса 2 з центром у правому фокусі еліпса x 2 + 4y 2 = 4 у точці перетину з віссю ординат.

Рішення.Рівняння еліпса наведемо до канонічного виду (9.7):

Отже, і правий фокус - Тому, шукане рівняння кола радіуса 2 має вигляд (рис. 9.9):

Окружність перетинає вісь ординат у точках, координати яких визначаються із системи рівнянь:

Отримуємо:

Нехай це крапки N(0; -1) та М(0; 1). Отже, можна побудувати дві дотичні, позначимо їх Т 1 та Т 2 . За відомою властивістю дотична перпендикулярна до радіусу, проведеного в точку дотику.

Нехай тоді рівняння дотичної Т 1 набуде вигляду:

Значить, або Т 1: Воно рівносильне рівнянню