Разстояние от точка до точка, формули, примери, решения. Разстояние между две точки Разстояние между точки на координатна равнина формула

Нека е дадена правоъгълна координатна система.

Теорема 1.1.За всеки две точки M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2) от равнината, разстоянието d между тях се изразява с формулата

Доказателство.Нека спуснем перпендикулярите M 1 B и M 2 A съответно от точките M 1 и M 2

на оста Oy и Ox и означете с K точката на пресичане на правите M 1 B и M 2 A (фиг. 1.4). Възможни са следните случаи:

1) Точките M 1, M 2 и K са различни. Очевидно точка K има координати (x 2; y 1). Лесно се вижда, че M 1 K = ôx 2 – x 1 ô, M 2 K = ôу 2 – y 1 ô. защото ∆M 1 KM 2 е правоъгълна, тогава по Питагоровата теорема d = M 1 M 2 = = .

2) Точка K съвпада с точка M 2, но е различна от точка M 1 (фиг. 1.5). В този случай y 2 = y 1

и d = M 1 M 2 = M 1 K = ôx 2 – x 1 ô= =

3) Точка K съвпада с точка M 1, но е различна от точка M 2. В този случай x 2 = x 1 и d =

M 1 M 2 = KM 2 = ôу 2 - y 1 ô= = .

4) Точка М 2 съвпада с точка М 1. Тогава x 1 = x 2, y 1 = y 2 и

d = M 1 M 2 = O = .

Разделяне на сегмент в това отношение.

Нека на равнината е дадена произволна отсечка M 1 M 2 и M ─ всяка точка от нея

сегмент, различен от точка M 2 (фиг. 1.6). Числото l, определено от равенството l = , Наречен поведение,в която точка M разделя сегмента M 1 M 2.

Теорема 1.2.Ако точка M(x;y) разделя отсечката M 1 M 2 по отношение на l, тогава координатите на тази точка се определят по формулите

x = , y = , (4)

където (x 1;y 1) ─ координати на точка M 1, (x 2; y 2) ─ координати на точка M 2.

Доказателство.Нека докажем първата от формулите (4). Втората формула се доказва по подобен начин. Има два възможни случая.

x = x 1 = = = .

2) Правата M 1 M 2 не е перпендикулярна на оста Ox (фиг. 1.6). Нека спуснем перпендикулярите от точки M 1, M, M 2 към оста Ox и обозначим точките на тяхното пресичане с оста Ox като P 1, P, P 2, съответно. По теоремата за пропорционалните отсечки = л.

защото P 1 P = ôx – x 1 ô, PP 2 = ôx 2 – xô и числата (x – x 1) и (x 2 – x) имат еднакъв знак (при x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >x 2 са отрицателни), тогава

l = = ,

x – x 1 = l(x 2 – x), x + lx = x 1 + lx 2,

x = .

Следствие 1.2.1.Ако M 1 (x 1; y 1) и M 2 (x 2; y 2) са две произволни точки и точката M (x; y) е средата на отсечката M 1 M 2, тогава

x = , y = (5)

Доказателство.Тъй като M 1 M = M 2 M, тогава l = 1 и използвайки формули (4), получаваме формули (5).

Площ на триъгълник.

Теорема 1.3.За всякакви точки A(x 1;y 1), B(x 2;y 2) и C(x 3;y 3), които не лежат на едно и също

права линия, лицето S на триъгълник ABC се изразява с формулата

S = ô(x 2 – x 1)(y 3 – y 1) – (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)ô (6)

Доказателство.Площта ∆ ABC, показана на фиг. 1.7, изчисляваме по следния начин

S ABC = S ADEC + S BCEF – S ABFD .

Изчисляваме площта на трапеца:

S ADEC =
,

S BCEF =

S ABFD =

Сега имаме

S ABC = ((x 3 – x 1)(y 3 + y 1) + (x 3 – x 2)(y 3 + y 2) - (x 2 – -x 1)(y 1 + y 2)) = (x 3 y 3 – x 1 y 3 + x 3 y 1 – x 1 y 1 + + x 2 y 3 – -x 3 y 3 + x 2 y 2 – x 3 y 2 – x 2 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 2 + x 1 y 2) = (x 3 y 1 – x 3 y 2 + x 1 y 2 – x 2 y 1 + x 2 y 3 –

X 1 y 3) = (x 3 (y 1 – y 2) + x 1 y 2 – x 1 y 1 + x 1 y 1 – x 2 y 1 + y 3 (x 2 – x 1)) = (x 1 (y 2 – y 1) – x 3 (y 2 – y 1) + +y 1 (x 1 – x 2) – y 3 (x 1 – x 2)) = ((x 1 – x 3)( y 2 – y 1) + (x 1 – x 2)(y 1 – y 3)) = ((x 2 – x 1)(y 3 – y 1) –

- (x 3 – x 1)(y 2 – y 1)).

За друго местоположение ∆ ABC формула (6) се доказва по подобен начин, но може да се окаже със знак „-“. Следователно във формула (6) те поставят знака за модул.

Лекция 2.

Уравнение на права върху равнина: уравнение на права с главен коефициент, общо уравнение на права, уравнение на права в отсечки, уравнение на права, минаваща през две точки. Ъгълът между правите линии, условията на успоредност и перпендикулярност на правите в равнина.

2.1. Нека на равнината са дадени правоъгълна координатна система и някаква права L.

Определение 2.1.Уравнение от вида F(x;y) = 0, свързващо променливите x и y, се нарича линейно уравнение L(в дадена координатна система), ако това уравнение е изпълнено от координатите на която и да е точка, лежаща на правата L, а не от координатите на всяка точка, която не лежи на тази права.

Примери за уравнения на прави в равнина.

1) Помислете за права линия, успоредна на оста Oy на правоъгълната координатна система (фиг. 2.1). Нека означим с буквата A точката на пресичане на тази права с оста Ox, (a;o) ─ нейната или-

дината. Уравнението x = a е уравнението на дадената права. Наистина, това уравнение се удовлетворява от координатите на която и да е точка M(a;y) от тази права и не се удовлетворява от координатите на която и да е точка, която не лежи на правата. Ако a = 0, тогава правата линия съвпада с оста Oy, която има уравнението x = 0.

2) Уравнението x - y = 0 определя множеството от точки на равнината, които образуват ъглополовящите на I и III координатни ъгли.

3) Уравнението x 2 - y 2 = 0 ─ е уравнението на две ъглополовящи на координатни ъгли.

4) Уравнението x 2 + y 2 = 0 определя една точка O(0;0) на равнината.

5) Уравнение x 2 + y 2 = 25 ─ уравнение на окръжност с радиус 5 с център в началото.

Разстоянието между две точки на равнина.
Координатни системи

Всяка точка А от равнината се характеризира със своите координати (x, y). Те съвпадат с координатите на вектора 0A, излизащ от точка 0 - началото на координатите.

Нека A и B са произволни точки от равнината с координати (x 1 y 1) и (x 2, y 2), съответно.

Тогава векторът AB очевидно има координати (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Известно е, че квадратът на дължината на вектор е равен на сумата от квадратите на неговите координати. Следователно разстоянието d между точките A и B или, което е същото, дължината на вектора AB, се определя от условието

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d = \/ (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Получената формула ви позволява да намерите разстоянието между произволни две точки в равнината, ако са известни само координатите на тези точки

Всеки път, когато говорим за координатите на определена точка от равнината, имаме предвид точно дефинирана координатна система x0y. Като цяло координатната система на равнината може да бъде избрана по различни начини. Така че вместо координатната система x0y можете да разгледате координатната система x"0y", която се получава чрез завъртане на старите координатни оси около началната точка 0 обратно на часовниковата стрелкастрелки на ъгъла α .

Ако определена точка от равнината в координатната система x0y има координати (x, y), то в новата координатна система x"0y" тя ще има различни координати (x, y").

Като пример, разгледайте точка M, разположена на оста 0x и отделена от точка 0 на разстояние 1.

Очевидно в координатната система x0y тази точка има координати (cos α , грях α ), а в координатната система x"0y" координатите са (1,0).

Координатите на всеки две точки от равнината A и B зависят от това как е зададена координатната система в тази равнина. Но разстоянието между тези точки не зависи от метода на определяне на координатната система. Ще се възползваме значително от това важно обстоятелство в следващия параграф.

Упражнения

I. Намерете разстоянията между точки на равнината с координати:

1) (3.5) и (3.4); 3) (0,5) и (5, 0); 5) (-3,4) и (9, -17);

2) (2, 1) и (- 5, 1); 4) (0, 7) и (3,3); 6) (8, 21) и (1, -3).

II. Намерете периметъра на триъгълник, чиито страни са дадени от уравненията:

x + y - 1 = 0, 2x - y - 2 = 0 и y = 1.

III. В координатната система x0y точките M и N имат съответно координати (1, 0) и (0,1). Намерете координатите на тези точки в новата координатна система, която се получава чрез завъртане на старите оси около началната точка на ъгъл 30° обратно на часовниковата стрелка.

IV. В координатната система x0y точките M и N имат координати (2, 0) и (\ / 3/2, - 1/2) съответно. Намерете координатите на тези точки в новата координатна система, която се получава чрез завъртане на старите оси около началната точка на ъгъл 30° по часовниковата стрелка.

В тази статия ще разгледаме начините за определяне на разстоянието от точка до точка теоретично и с помощта на примера на конкретни задачи. Като начало нека въведем някои дефиниции.

Определение 1

Разстояние между точките– това е дължината на отсечката, която ги свързва, в съществуващия мащаб. Необходимо е да се зададе мащаб, за да има единица дължина за измерване. Следователно основно проблемът за намиране на разстоянието между точките се решава чрез използване на техните координати на координатна линия, в координатна равнина или триизмерно пространство.

Изходни данни: координатна права O x и произволна точка A, лежаща върху нея. Всяка точка от правата има едно реално число: нека това е определено число за точка A x A,това е и координатата на точка А.

Като цяло можем да кажем, че дължината на определен сегмент се оценява в сравнение с сегмент, взет като единица дължина в дадена скала.

Ако точка A съответства на цяло реално число, като отлагаме последователно от точка O до точка по правата O A сегменти - единици за дължина, можем да определим дължината на сегмента O A от общия брой заделени единични сегменти.

Например точка А съответства на числото 3 - за да стигнете до нея от точка О, ще трябва да оставите три единични сегмента. Ако точка А има координата - 4, единичните сегменти се разполагат по подобен начин, но в различна, отрицателна посока. Така в първия случай разстоянието O A е равно на 3; във втория случай O A = 4.

Ако точка А има рационално число като координата, тогава от началото (точка О) начертаваме цяло число единични отсечки, а след това необходимата му част. Но геометрично не винаги е възможно да се направи измерване. Например, изглежда трудно да се начертае фракцията 4 111 върху координатната права.

Използвайки горния метод, е напълно невъзможно да се начертае ирационално число върху права линия. Например, когато координатата на точка А е 11. В този случай е възможно да се обърнем към абстракцията: ако дадената координата на точка А е по-голяма от нула, тогава O A = x A (числото се приема като разстояние); ако координатата е по-малка от нула, тогава O A = - x A . Като цяло тези твърдения са верни за всяко реално число x A.

За да обобщим: разстоянието от началото до точката, която съответства на реално число на координатната права, е равно на:

• 0, ако точката съвпада с началото;

• x A, ако x A > 0;

• - x A, ако x A< 0 .

В този случай е очевидно, че дължината на самия сегмент не може да бъде отрицателна, следователно, използвайки знака за модул, ние записваме разстоянието от точка O до точка A с координатата х А: O A = x A

Следното твърдение ще бъде вярно: разстоянието от една точка до друга ще бъде равно на модула на координатната разлика.Тези. за точки A и B, лежащи на една и съща координатна линия за всяко местоположение и имащи съответни координати х АИ x B: A B = x B - x A.

Изходни данни: точки A и B, лежащи на равнина в правоъгълна координатна система O x y с дадени координати: A (x A, y A) и B (x B, y B).

Нека начертаем перпендикуляри през точки A и B към координатните оси O x и O y и в резултат да получим проекционните точки: A x, A y, B x, B y. Въз основа на местоположението на точки A и B са възможни следните опции:

Ако точките А и В съвпадат, то разстоянието между тях е нула;

Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста O x (ос на абсцисата), тогава точките съвпадат и | A B | = | A y B y | . Тъй като разстоянието между точките е равно на модула на разликата на техните координати, тогава A y B y = y B - y A и следователно A B = A y B y = y B - y A.

Ако точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста O y (ординатна ос) - по аналогия с предходния параграф: A B = A x B x = x B - x A

Ако точките A и B не лежат на права линия, перпендикулярна на една от координатните оси, ще намерим разстоянието между тях, като изведем формулата за изчисление:

Виждаме, че триъгълник A B C е правоъгълен по конструкция. В този случай A C = A x B x и B C = A y B y. Използвайки Питагоровата теорема, създаваме равенството: A B 2 = A C 2 + B C 2 ⇔ A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 и след това го трансформираме: A B = A x B x 2 + A y B y 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Нека направим заключение от получения резултат: разстоянието от точка А до точка В на равнината се определя чрез изчисление по формулата, използвайки координатите на тези точки

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2

Получената формула също така потвърждава предварително формирани твърдения за случаи на съвпадение на точки или ситуации, когато точките лежат на прави линии, перпендикулярни на осите. Така че, ако точки A и B съвпадат, ще бъде вярно следното равенство: A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + 0 2 = 0

За ситуация, в която точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на оста x:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = 0 2 + (y B - y A) 2 = y B - y A

За случая, когато точки A и B лежат на права линия, перпендикулярна на ординатната ос:

A B = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 = (x B - x A) 2 + 0 2 = x B - x A

Изходни данни: правоъгълна координатна система O x y z с лежащи върху нея произволни точки с дадени координати A (x A, y A, z A) и B (x B, y B, z B). Необходимо е да се определи разстоянието между тези точки.

Нека разгледаме общия случай, когато точките A и B не лежат в равнина, успоредна на една от координатните равнини. Нека начертаем равнини, перпендикулярни на координатните оси през точки A и B и да получим съответните проекционни точки: A x , A y , A z , B x , B y , B z

Разстоянието между точките A и B е диагоналът на получения паралелепипед. Според конструкцията на измерванията на този паралелепипед: A x B x , A y B y и A z B z

От курса по геометрия знаем, че квадратът на диагонала на паралелепипед е равен на сумата от квадратите на неговите размери. Въз основа на това твърдение получаваме равенството: A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2

Използвайки изводите, получени по-рано, пишем следното:

A x B x = x B - x A, A y B y = y B - y A, A z B z = z B - z A

Нека трансформираме израза:

A B 2 = A x B x 2 + A y B y 2 + A z B z 2 = x B - x A 2 + y B - y A 2 + z B - z A 2 = = (x B - x A) 2 + (y B - y A) 2 + z B - z A 2

Финал формула за определяне на разстоянието между точките в пространствотоще изглежда така:

A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Получената формула е валидна и за случаите, когато:

Точките съвпадат;

Те лежат на една координатна ос или права линия, успоредна на една от координатните оси.

Примери за решаване на задачи за намиране на разстоянието между точките

Пример 1

Изходни данни: дадени са координатна права и лежащи върху нея точки с дадени координати A (1 - 2) и B (11 + 2). Необходимо е да се намери разстоянието от началната точка O до точка A и между точките A и B.

Решение

1. Разстоянието от референтната точка до точката е равно на модула на координатата на тази точка, съответно O A = 1 - 2 = 2 - 1
2. Определяме разстоянието между точките A и B като модула на разликата между координатите на тези точки: A B = 11 + 2 - (1 - 2) = 10 + 2 2

Отговор: O A = 2 - 1, A B = 10 + 2 2

Пример 2

Изходни данни: дадени са правоъгълна координатна система и две точки, лежащи върху нея A (1, - 1) и B (λ + 1, 3). λ е някакво реално число. Необходимо е да се намерят всички стойности на това число, при които разстоянието A B ще бъде равно на 5.

Решение

За да намерите разстоянието между точките A и B, трябва да използвате формулата A B = (x B - x A) 2 + y B - y A 2

Замествайки реалните стойности на координатите, получаваме: A B = (λ + 1 - 1) 2 + (3 - (- 1)) 2 = λ 2 + 16

Ние също използваме съществуващото условие, че A B = 5 и тогава равенството ще бъде вярно:

λ 2 + 16 = 5 λ 2 + 16 = 25 λ = ± 3

Отговор: A B = 5, ако λ = ± 3.

Пример 3

Изходни данни: зададено е тримерно пространство в правоъгълната координатна система O x y z и лежащите в нея точки A (1, 2, 3) и B - 7, - 2, 4.

Решение

За да разрешим задачата, използваме формулата A B = x B - x A 2 + y B - y A 2 + (z B - z A) 2

Замествайки реалните стойности, получаваме: A B = (- 7 - 1) 2 + (- 2 - 2) 2 + (4 - 3) 2 = 81 = 9

Отговор: | A B | = 9

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Тук ще има калкулатор

Разстояние между две точки на една права

Помислете за координатна линия, на която са отбелязани 2 точки: А А АИ Б Б Б. За да намерите разстоянието между тези точки, трябва да намерите дължината на сегмента A B AB А Б. Това се прави по следната формула:

Разстояние между две точки на една права

A B = ∣ a − b ∣ AB=|a-b|A B =∣ a −b∣,

Където a , b a, b а, б- координати на тези точки на права линия (координатна линия).

Поради факта, че формулата съдържа модул, при решаването й не е важно коя координата от коя да се извади (тъй като се взема абсолютната стойност на тази разлика).

∣ a − b ∣ = ∣ b − a ∣ |a-b|=|b-a|∣ a −b ∣ =∣ b −а∣

Нека да разгледаме пример, за да разберем по-добре решението на подобни проблеми.

Пример 1

На координатната линия се отбелязват точки А А А, чиято координата е равна на 9 9 9 и точка Б Б Бс координата − 1 -1 − 1 . Трябва да намерим разстоянието между тези две точки.

Решение

Тук a = 9 , b = − 1 a=9, b=-1 а =9, b =− 1

Използваме формулата и заместваме стойностите:

A B = ∣ a − b ∣ = ∣ 9 − (− 1) ∣ = ∣ 10 ∣ = 10 AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10A B =∣ a −b ∣ =∣ 9 − (− 1 ) ∣ = ∣ 1 0 ∣ = 1 0

Отговор

Разстояние между две точки на равнина

Помислете за две точки, дадени на равнина. От всяка точка, отбелязана на равнината, трябва да спуснете два перпендикуляра: Към оста O X OX О Хи на оста ОЙ ОЙ ОЙ О Й. След това се разглежда триъгълникът A B C ABC A B C. Тъй като е правоъгълна ( B C Пр.н.е B Cперпендикулярен A C AC A C), след това намерете сегмента A B AB А Б, което също е разстоянието между точките, може да се направи с помощта на Питагоровата теорема. Ние имаме:

A B 2 = A C 2 + B C 2 AB^2=AC^2+BC^2А Б 2 = А ° С 2 + Б ° С 2

Но, въз основа на факта, че дължината A C AC A Cравна на x B − x A x_B-x_A х Б​ − х А​ , и дължината B C Пр.н.е B Cравна на y B − y A y_B-y_A г Б​ − г А​ , тази формула може да бъде пренаписана както следва:

Разстояние между две точки на равнина

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2)A B =(х Б​ − х А​ ) 2 + (г Б​ − г А​ ) 2 ​ ,

Където x A, y A x_A, y_A х А​ , г А​ И x B, y B x_B, y_B х Б​ , г Б​ - координати на точки А А АИ Б Б Бсъответно.

Пример 2

Необходимо е да се намери разстоянието между точките C C ° СИ F F Е, ако координатите на първия (8 ; − 1) (8;-1) (8 ; − 1 ) и второ - (4 ; 2) (4;2) (4 ; 2 ) .

Решение

X C = 8 x_C=8 х ° С​ = 8
y C = − 1 y_C=-1 г ° С​ = − 1
x F = 4 x_F = 4 х Е​ = 4
y F = 2 y_F=2 г Е​ = 2

C F = (x F − x C) 2 + (y F − y C) 2 = (4 − 8) 2 + (2 − (− 1)) 2 = 16 + 9 = 25 = 5 CF=\sqrt(( x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2)=\sqrt((4-8)^2+(2-(-1))^2)=\sqrt(16+9)=\sqrt( 25)=5C F =(х Е​ − х ° С​ ) 2 + (г Е​ − г ° С​ ) 2 ​ = (4 − 8 ) 2 + (2 − (− 1 ) ) 2 ​ = 1 6 + 9 ​ = 2 5 ​ = 5

Отговор

Разстояние между две точки в пространството

Намирането на разстоянието между две точки в този случай е подобно на предишния, с изключение на това, че координатите на точката в пространството се задават съответно с три числа, към формулата трябва да се добави и координатата на приложената ос; Формулата ще изглежда така:

Разстояние между две точки в пространството

A B = (x B − x A) 2 + (y B − y A) 2 + (z B − z A) 2 AB=\sqrt((x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+( z_B-z_A)^2)A B =(х Б​ − х А​ ) 2 + (г Б​ − г А​ ) 2 + (z Б​ − zА​ ) 2 ​

Пример 3

Намерете дължината на отсечката ФК ФКЕКв пространството, ако координатите на точките в неговите краища са както следва: (− 1 ; − 1 ; 8) (-1;-1;8) (− 1 ; − 1 ; 8 ) И (− 3 ; 6 ; 0) (-3;6;0) (− 3 ; 6 ; 0 ) . Закръглете отговора си до най-близкото цяло число.

Решение

$Е=(-1;-1;8)K\; =\; (-\; 3;\; 6;\; 0)\; K=(-3;6;0)К=(-3;6;0)$

$ЕК=\sqrt{({х}^{К-{х}^{Е{)}^{2+({г}^{К-{г}^{Е{)}^{2+(z^{К-z^{Е{)}^{2=\sqrt{(-3-(-1){)}^{2+(6-(-1){)}^{2+(0-8{)}^{2=\sqrt{117\approx 10.8}}}}}}}}}}}}}}}$

Според условията на задачата трябва да закръглим отговора до цяло число.

Изчисляването на разстояния между точки въз основа на техните координати в равнина е елементарно; на повърхността на Земята е малко по-сложно: ще разгледаме измерването на разстоянието и началния азимут между точките без трансформации на проекцията. Първо, нека разберем терминологията.

Въведение

Голяма дължина на дъгата на кръга– най-късото разстояние между произволни две точки, разположени на повърхността на сфера, измерено по линията, свързваща тези две точки (такава линия се нарича ортодромия) и минаваща по повърхността на сферата или друга повърхност на въртене. Сферичната геометрия е различна от нормалната евклидова геометрия и уравненията на разстоянието също имат различна форма. В евклидовата геометрия най-късото разстояние между две точки е права линия. На сфера няма прави линии. Тези линии на сферата са част от големи кръгове - кръгове, чиито центрове съвпадат с центъра на сферата. Начален азимут- азимут, който при започване на движение от точка А, следвайки големия кръг за най-късото разстояние до точка Б, крайната точка ще бъде точка В. При движение от точка А до точка Б по линията на големия кръг, азимутът от текущата позиция до крайна точка B е постоянна, променя се. Началният азимут е различен от постоянен, след което азимутът от текущата до крайната точка не се променя, но следваният маршрут не е най-късото разстояние между две точки.

През всеки две точки от повърхността на една сфера, ако те не са точно срещуположни една на друга (т.е. не са антиподи), може да се начертае уникален голям кръг. Две точки разделят голям кръг на две дъги. Дължината на къса дъга е най-късото разстояние между две точки. Безкраен брой големи кръгове могат да бъдат начертани между две противоположни точки, но разстоянието между тях ще бъде еднакво във всеки кръг и равно на половината от обиколката на кръга, или π*R, където R е радиусът на сферата.

В равнина (в правоъгълна координатна система) големите кръгове и техните фрагменти, както беше споменато по-горе, представляват дъги във всички проекции, с изключение на гномоничната, където големите кръгове са прави линии. На практика това означава, че самолетите и друг въздушен транспорт винаги използват маршрута на минималното разстояние между точките, за да спестят гориво, тоест полетът се извършва по голямо кръгово разстояние, в самолет изглежда като дъга.

Формата на Земята може да се опише като сфера, така че уравненията за голямо кръгово разстояние са важни за изчисляване на най-късото разстояние между точки на земната повърхност и често се използват в навигацията. Изчисляването на разстоянието по този метод е по-ефективно и в много случаи по-точно от изчисляването му за проектирани координати (в правоъгълни координатни системи), тъй като, първо, не изисква преобразуване на географски координати в правоъгълна координатна система (извършване на проекционни трансформации) и , второ, много проекции, ако са избрани неправилно, могат да доведат до значителни изкривявания на дължината поради естеството на проекционните изкривявания. Известно е, че не е сфера, а елипсоид, който описва по-точно формата на Земята, но в тази статия се обсъжда изчисляването на разстояния конкретно върху сфера за изчисления, използва се сфера с радиус 6 372 795 метра , което може да доведе до грешка при изчисляване на разстояния от порядъка на 0,5%.

Формули

Има три начина за изчисляване на сферичното разстояние на големия кръг. 1. Теорема за сферичен косинусВ случай на малки разстояния и малка дълбочина на изчисление (брой знаци след десетичната запетая), използването на формулата може да доведе до значителни грешки при закръгляване. φ1, λ1; φ2, λ2 - ширина и дължина на две точки в радиани Δλ - разлика в координатите в дължина Δδ - ъглова разлика Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) За да преобразувате ъгловото разстояние в метрика, трябва да умножете ъгловата разлика по радиуса на Земята (6372795 метра), единиците за крайното разстояние ще бъдат равни на единиците, в които е изразен радиусът (в този случай метри). 2. Формула на хаверсинусИзползва се за избягване на проблеми с къси разстояния. 3. Модификация за антиподитеПредходната формула също е предмет на проблема с антиподните точки, използва се следната модификация.

Моята реализация на PHP

// Дефиниране на радиуса на Земята ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Разстояние между две точки * $φA, $λA - ширина, дължина на 1-ва точка, * $φB, $λB - ширина, дължина на 2-ра точка * Написано на базата на http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Михаил Кобзарев< >* */ функция CalculateTheDistance ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // преобразува координатите в радиани $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 * M_PI / 180; $cl1 = sin($lat2); $delta = $long2 - $ $cdelta = cos($delta);$cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $cl2 * $cdelta; $ad = $ad * EARTH_RADIUS; пример за извикване на функция: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77.1804; $long2 = -139,55; ехо изчисляванеРазстоянието($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "метри"; // Връщане на "17166029 метра"

Статията е взета от сайта