შეიძლება აჩვენოს (ჩვენ არ ვაკეთებთ), რომ განტოლება (2) უდრის განტოლებას (1), თუმცა ის მიღებულია (1)-დან არაეკვივალენტურიგარდაქმნები. ეს ნიშნავს, რომ განტოლება (2) არის ამ ელიფსის განტოლება. ჰქვია კანონიკური(ანუ უმარტივესი).

ჩანს, რომ ელიფსის განტოლება მე-2 რიგის განტოლებაა, ე.ი. მე-2 რიგის ელიფსის ხაზი.

ელიფსისთვის ჩვენ წარმოგიდგენთ კონცეფციას ექსცენტრიულობა.ეს არის რაოდენობა. ელიფსისთვის ექსცენტრიულობა არის. იმიტომ რომ თანდა აცნობილი, შემდეგ ასევე ცნობილი. ელიფსის M(x, y) წერტილის კეროვანი რადიუსების გამოხატულება ადვილად მიიღება წინა არგუმენტებიდან: . r 2 მოიძებნება ტოლობიდან (3)

კომენტარითუ მაგიდაზე ორ ლურსმანს (F1 და F2) ჩაარჭობთ, ორივე ბოლოში მიამაგრეთ ძაფი, რომლის სიგრძე ფრჩხილებს შორის მანძილს აღემატება ( 2ა), გაიყვანეთ კაბელი და დახაზეთ ცარცის ნაჭერი მაგიდის გასწვრივ, შემდეგ დახატავს დახურულ ელიფსის მრუდს, რომელიც სიმეტრიულია ორივე ღერძისა და საწყისის მიმართ.

4. ელიფსის ფორმის შესწავლა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით.

შენიშვნაში, სიცხადისთვის, დავასკვენით ელიფსის ფორმის შესახებ. ახლა შევისწავლოთ ელიფსის ფორმა მისი კანონიკური განტოლების ანალიზით:

ვიპოვოთ გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. თუ ,у=0, მაშინ , , ე.ი. გვაქვს ორი წერტილი A1(-a,0) და A2(a,0). თუ x=0, მაშინ, . იმათ. გვაქვს ორი წერტილი B1(0,-b) და B2(0,b) (ვინც , მაშინ ). A1, A2, B1, B2 პუნქტებს უწოდებენ ელიფსის წვეროები.

2) ელიფსის ადგილმდებარეობის არეალის დადგენა შესაძლებელია შემდეგი მოსაზრებებიდან:

ა) ელიფსის განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ ე.ი. , ე.ი. ან .

ბ) ანალოგიურად, ე.ი. ან . ეს გვიჩვენებს, რომ მთელი ელიფსი მდებარეობს მართკუთხედში, რომელიც ჩამოყალიბებულია ხაზებით და .

3) გარდა ამისა, x და y ცვლადები შედიან ელიფსის განტოლებაში მხოლოდ ლუწი სიძლიერით, რაც ნიშნავს, რომ მრუდი სიმეტრიულია თითოეული ღერძის მიმართ და საწყისის მიმართ. D-მაგრამ, თუ წერტილი (x, y) ეკუთვნის რადიუსს, მაშინ მას მიეკუთვნება წერტილები (x, -y), (-x, y) და (-x, -y). ამიტომ საკმარისია ელიფსის მხოლოდ ის ნაწილი განვიხილოთ, რომელიც დევს პირველ მეოთხედში, სადაც და .

4) ელიფსის განტოლებიდან გვაქვს , და პირველ მეოთხედში . თუ x=0, მაშინ y=b. ეს არის წერტილი B2(0,b). მოდით x გაიზარდოს 0-დან a-მდე, შემდეგ y მცირდება b-დან 0-მდე. ამრიგად, წერტილი M(x, y), დაწყებული B2(0, b) წერტილიდან, რომელიც აღწერს რკალს, მოდის A(a,0) წერტილამდე. შეიძლება მკაცრად დადასტურდეს, რომ რკალი ამოზნექილი ზევით არის მიმართული. ამ რკალის კოორდინატთა ღერძებში და საწყისში ასახვით, მივიღებთ მთელ ელიფსს. ელიფსის სიმეტრიის ღერძებს უწოდებენ მის ღერძებს მათი გადაკვეთის O წერტილი არის ელიფსის ცენტრი; სეგმენტების სიგრძეს OA1=OA2=a ეწოდება ელიფსის ნახევრად მთავარი ღერძი, სეგმენტები OB1, OB2=b არის ელიფსის ნახევრად მცირე ღერძი, (a>b), c არის ნახევარფოკალური. მანძილი. სიდიდის გეომეტრიულად ახსნა მარტივია.

როდესაც a=b ელიფსის კანონიკური განტოლებიდან ვიღებთ წრის განტოლებას. წრისთვის, ე.ი. F1=F2=0. .

ამრიგად, წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა, როდესაც მისი კერები ემთხვევა ცენტრს და ექსცენტრიულობა = 0. რაც უფრო დიდია ექსცენტრიულობა, მით უფრო გრძელია ელიფსი.

კომენტარი.ელიფსის კანონიკური განტოლებიდან ადვილია დავასკვნათ, რომ ელიფსი შეიძლება დაზუსტდეს პარამეტრულ ფორმაში. x=a cos t

y=b sin t,სადაც a, b არის ძირითადი და მცირე ნახევრადღერძი, t-კუთხე.

5. კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლების განმარტება და წარმოშობა.

ჰიპერბოლასახელწოდებით HMT სიბრტყეები, რომლებისთვისაც სიბრტყის ორი ფიქსირებული წერტილიდან F1F2 დაშორების განსხვავება, რომელსაც ფოკუსს უწოდებენ, არის მუდმივი მნიშვნელობა (0-ის ტოლი და F1F2 ფოკუსური მანძილის ნაკლები).

ჩვენ აღვნიშნავთ, როგორც ადრე, F1F2 = 2c და დისტანციებში სხვაობა არის 2a (a<с). Систему координат выберем как и в случае эллипса.

მოდით M (x,y) იყოს ჰიპერბოლის მიმდინარე წერტილი. განმარტებით MF1-MF2= ან r 1 -r 2 = = ან --(1). - ეს არის ჰიპერბოლის განტოლება.

ირაციონალურობას გავთავისუფლდებით (1): გამოვყოფთ ერთ ფესვს, ორივე ნაწილის კვადრატში, მივიღებთ: ან , ისევ კვადრატში:

სად .

გაყავით. მოდით წარმოგიდგინოთ აღნიშვნა. შემდეგ --(2). განტოლება (2), როგორც ჩანს, უდრის განტოლებას (1) და, შესაბამისად, არის მოცემული ჰიპერბოლის განტოლება. Მას ეწოდება ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება.ჩვენ ვხედავთ, რომ ჰიპერბოლის განტოლებაც მეორე ხარისხისაა, რაც ნიშნავს მეორე რიგის ჰიპერბოლის ხაზი.

ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა. ფოკუსური რადიუსების გამოხატულება მარტივია წინადან, შემდეგ ჩვენ ვიპოვით მას.

6. ჰიპერბოლის ფორმის შესწავლა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით.

ჩვენ ვმსჯელობთ ისევე, როგორც ელიფსის შესწავლისას.

1. იპოვეთ ჰიპერბოლის ღერძებთან გადაკვეთის წერტილები. თუ x=0, მაშინ. op-amp ღერძთან გადაკვეთის წერტილები არ არის. თუ y=0, მაშინ. გადაკვეთის წერტილები , . მათ ეძახიან ჰიპერბოლის წვეროები.

2. ჰიპერბოლის მდებარეობის არე: , ე.ი. ან . ეს ნიშნავს, რომ ჰიპერბოლა მდებარეობს სწორი ხაზებით შემოსაზღვრული ზოლის გარეთ x=-aდა x=a.

3. ჰიპერბოლას აქვს ყველა სახის სიმეტრია, რადგან x და y გვხვდება ლუწი ძალებში. აქედან გამომდინარე, საკმარისია განვიხილოთ ჰიპერბოლის ის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს პირველ კვარტალში.

4. ჰიპერბოლის განტოლებიდან (2) პირველ მეოთხედში გვაქვს . x=a-სთვის, y=0 გვაქვს წერტილი; ჰალსტუხი. მრუდი ადის მარჯვნივ. გადაადგილების უფრო ნათლად წარმოსადგენად, განვიხილოთ ორი დამხმარე ხაზი, რომელიც გადის კოორდინატების საწყისზე და წარმოადგენს მართკუთხედის დიაგონალებს გვერდებით 2a და 2b: BCB'C'. მათ აქვთ განტოლებები და. დავამტკიცოთ, რომ M(x,y) ჰიპერბოლის მიმდინარე წერტილი მიდის უსასრულობამდე და უახლოვდება სწორ ხაზს შეუზღუდავად. ავიღოთ თვითნებური წერტილი Xდა შევადაროთ ჰიპერბოლისა და წრფის წერტილის შესაბამისი ორდინატები. აშკარაა რომ Y>y. MN=Y-y=.

ჩვენ ვხედავთ, რომ როდესაც , ე.ი. მრუდი განუსაზღვრელი ვადით უახლოვდება სწორ ხაზს, რადგან იგი შორდება საწყისს. ეს ადასტურებს, რომ ხაზი არის ჰიპერბოლის ასიმპტოტი. უფრო მეტიც, ჰიპერბოლა არ კვეთს ასიმპტოტს. ეს საკმარისია ჰიპერბოლის ნაწილის ასაგებად. ის ამოზნექილი ზევითაა მიმართული. დანარჩენი ნაწილები დასრულებულია სიმეტრიულად. გაითვალისწინეთ, რომ ჰიპერბოლის (კოორდინატთა ღერძებს) სიმეტრიის ღერძებს მისი ეწოდება ცულებიღერძების გადაკვეთის წერტილი- ცენტრიჰიპერბოლა. ერთი ღერძი კვეთს ჰიპერბოლას (რეალური ღერძი), მეორე არა (წარმოსახვითი). ხაზის სეგმენტი აუწოდა რეალური ნახევრადღერძი, სეგმენტი ბ- წარმოსახვითი ნახევრადღერძი. BCB'C' მართკუთხედს ჰიპერბოლის ძირითად ოთხკუთხედს უწოდებენ.

თუ a=b, მაშინ ასიმპტოტები ქმნიან კუთხეებს კოორდინატთა ღერძებით . მაშინ ჰიპერბოლა ეწოდება ტოლგვერდა ან ტოლგვერდა.მთავარი მართკუთხედი იქცევა კვადრატად. მისი ასიმპტოტები ერთმანეთის პერპენდიკულარულია.

კომენტარი.

ზოგჯერ განვიხილავთ ჰიპერბოლას, რომლის კანონიკური განტოლებაა (3). ისინი მას ეძახიან კონიუგატიჰიპერბოლასთან მიმართებაში (2). ჰიპერბოლას (3) აქვს რეალური ღერძი, რომელიც არის ვერტიკალური და წარმოსახვითი ღერძი, რომელიც ჰორიზონტალურია. მისი გარეგნობა მაშინვე დგინდება, თუ გადააწყობთ Xდა ზე, ადა ბ(ის უბრუნდება ძველ თავს). მაგრამ ჰიპერბოლას (3) აქვს ფორმა:

მისი მწვერვალები.

5. როგორც უკვე აღინიშნა, ტოლგვერდა ჰიპერბოლის განტოლება ( ა=ბ), როცა კოორდინატთა ღერძები ჰიპერბოლის ღერძებს ემთხვევა, აქვს ფორმა . (4)

იმიტომ რომ ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ასიმპტოტები პერპენდიკულარულია, შემდეგ ისინი ასევე შეიძლება მივიღოთ კოორდინატთა ღერძებად OX 1 და OU 1. ეს წინა OXY სისტემის კუთხით შემობრუნების ტოლფასია. კუთხის ბრუნვის ფორმულები შემდეგია:

შემდეგ ახალ კოორდინატულ სისტემაში OX 1 Y 1 განტოლება (4) გადაიწერება:

ან ან . აღსანიშნავად მივიღებთ ან (5) - ეს არის განტოლება ტოლგვერდა ჰიპერბოლა, კლასიფიცირებული როგორც ასიმპტოტები (სწორედ ამ ტიპის ჰიპერბოლა განიხილებოდა სკოლაში).

კომენტარი: განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ M(x,y) ჰიპერბოლის ნებისმიერი წერტილის კოორდინატებზე აგებული ნებისმიერი მართკუთხედის ფართობი იგივეა: S= კ 2 .

7. პარაბოლის კანონიკური განტოლების განმარტება და გამოყვანა.

პარაბოლასიბრტყის GMT ეწოდება, რომელთაგან თითოეული სიბრტყის ფიქსირებული წერტილიდან F წერტილიდან მანძილი ე.წ. ფოკუსირება, უდრის მანძილს ფიქსირებული სწორი ხაზიდან ე.წ დირექტორი(ფოკუსირება დირექტორის გარეთ).

F-დან მიმართულებამდე მანძილს p-ით აღვნიშნავთ და პარაბოლის პარამეტრს ვუწოდებთ. ავირჩიოთ კოორდინატთა სისტემა შემდეგნაირად: გავავლოთ OX ღერძი F წერტილის გავლით NP მიმართულების პერპენდიკულარული მიმართულებით. მოდით ავირჩიოთ კოორდინატების საწყისი FP სეგმენტის შუაში.

ამ სისტემაში: .

ავიღოთ თვითნებური წერტილი M(x,y) მიმდინარე კოორდინატებით (x,y). Ამიტომაც

აქედან გამომდინარე (1) არის პარაბოლის განტოლება. მოდით გავამარტივოთ:

ან (2) - ეს არის ის პარაბოლის კანონიკური განტოლება.შეიძლება აჩვენოს, რომ (1) და (2) ეკვივალენტურია.

განტოლება (2) არის მე-2 რიგის განტოლება, ე.ი. პარაბოლა არის მე-2 რიგის ხაზი.

8. პარაბოლის ფორმის შესწავლა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით.

(p>0).

1) x=0, y=0 პარაბოლა გადის კოორდინატთა საწყისი წერტილის O. მას პარაბოლის წვერო ეწოდება.

2), ე.ი. პარაბოლა მდებარეობს op-amp ღერძის მარჯვნივ, მარჯვენა ნახევარ სიბრტყეში.

3) ზეშედის ლუწი ხარისხით, ამიტომ პარაბოლა სიმეტრიულია OX ღერძის მიმართ, ამიტომ საკმარისია მისი აგება პირველ კვარტალში.

4) პირველ კვარტალში ზე, ე.ი. პარაბოლა მიდის მარჯვნივ. შეიძლება აჩვენოს, რომ ამოზნექილი არის ზემოთ. ბოლოში ვაშენებთ სიმეტრიის მიხედვით. ღერძი OU არის პარაბოლას ტანგენსი.

ცხადია, ფოკუსური რადიუსი არის. ურთიერთობას ჰქვია ექსცენტრიულობა: . პარაბოლის (ჩვენს შემთხვევაში OX) სიმეტრიის ღერძს პარაბოლის ღერძი ეწოდება.

გაითვალისწინეთ, რომ განტოლება ასევე პარაბოლაა, მაგრამ მიმართულია საპირისპირო მიმართულებით. განტოლებები ასევე განსაზღვრავს პარაბოლებს, რომელთა ღერძი არის op-amp-ის ღერძი.

ან უფრო ნაცნობი ფორმით, სადაც .

განტოლება განსაზღვრავს ჩვეულებრივ პარაბოლას გადაადგილებული წვერით.

შენიშვნები. 1) მე-2 რიგის ოთხივე სტრიქონს შორის მჭიდრო კავშირია - ისინი ყველა კონუსური მონაკვეთები. თუ ავიღებთ ორი ღრუს კონუსს, მაშინ როდესაც მას ვჭრით კონუსის ღერძზე პერპენდიკულარული სიბრტყით მივიღებთ წრეს, თუ კვეთის სიბრტყეს ოდნავ დავხრით მივიღებთ ელიფსს; თუ სიბრტყე გენერატრიქსის პარალელურია, მაშინ მონაკვეთი არის პარაბოლა, თუ სიბრტყე კვეთს ორივეს

ღრუები-ჰიპერბოლა.

2) შეიძლება დადასტურდეს, რომ თუ პარაბოლის ფოკუსიდან გამომავალი სინათლის სხივი აირეკლება მისგან, მაშინ არეკლილი სხივი მიდის პარაბოლის ღერძის პარალელურად - ეს გამოიყენება პროჟექტორების მოქმედებაში - პარაბოლური რეფლექტორი, და ფოკუსში - სინათლის წყარო. ეს იწვევს სინათლის მიმართულ ნაკადს.

3) თუ წარმოვიდგენთ დედამიწის თანამგზავრის გაშვებას T წერტილიდან, რომელიც მდებარეობს ატმოსფეროს გარეთ ჰორიზონტალური მიმართულებით, მაშინ თუ საწყისი სიჩქარე ვ 0 არასაკმარისია, მაშინ თანამგზავრი არ ბრუნავს დედამიწის გარშემო. გაქცევის 1 სიჩქარის მიღწევის შემდეგ, თანამგზავრი დედამიწის გარშემო ბრუნავს წრიულ ორბიტაზე, რომლის ცენტრიც დედამიწის ცენტრშია. თუ საწყისი სიჩქარე გაიზარდა, მაშინ ბრუნი მოხდება ელიფსის გასწვრივ, დედამიწის ცენტრი იქნება ერთ-ერთ კერაზე. მე-2 გაქცევის სიჩქარის მიღწევის შემდეგ, ტრაექტორია გახდება პარაბოლური და თანამგზავრი არ დაბრუნდება T წერტილში, მაგრამ იქნება მზის სისტემაში. იმათ. პარაბოლა არის ელიფსი ერთი ფოკუსით უსასრულობაში. საწყისი სიჩქარის შემდგომი გაზრდით, ტრაექტორია გახდება ჰიპერბოლური და მეორე ფოკუსი გამოჩნდება მეორე მხარეს. დედამიწის ცენტრი ყოველთვის იქნება ორბიტის ყურადღების ცენტრში. თანამგზავრი მზის სისტემას დატოვებს.

11.1. Ძირითადი ცნებები

განვიხილოთ ხაზები, რომლებიც განსაზღვრულია მეორე ხარისხის განტოლებებით მიმდინარე კოორდინატებთან მიმართებაში

განტოლების კოეფიციენტები რეალური რიცხვებია, მაგრამ A, B ან C რიცხვებიდან ერთი მაინც არ არის ნული. ასეთ ხაზებს მეორე რიგის ხაზებს (მრუდეებს) უწოდებენ. ქვემოთ დადგინდება, რომ განტოლება (11.1) განსაზღვრავს წრეს, ელიფსს, ჰიპერბოლას ან პარაბოლას სიბრტყეზე. სანამ ამ განცხადებაზე გადავიდოდეთ, შევისწავლოთ ჩამოთვლილი მრუდების თვისებები.

11.2. წრე

მეორე რიგის უმარტივესი მრუდი არის წრე. შეგახსენებთ, რომ R რადიუსის წრე წერტილით ცენტრით არის სიბრტყის ყველა M წერტილის სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას. მართკუთხა კოორდინატთა სისტემაში წერტილს ჰქონდეს კოორდინატები x 0, y 0 და - თვითნებური წერტილი წრეზე (იხ. სურ. 48).

შემდეგ მდგომარეობიდან ვიღებთ განტოლებას

(11.2)

განტოლება (11.2) კმაყოფილდება მოცემულ წრის რომელიმე წერტილის კოორდინატებით და არ კმაყოფილდება წრეზე არ მდებარე წერტილის კოორდინატებით.

განტოლება (11.2) ეწოდება წრის კანონიკური განტოლება

კერძოდ, დაყენება და , ვიღებთ წრის განტოლებას, რომლის ცენტრი სათავეშია .

წრის განტოლება (11.2) მარტივი გარდაქმნების შემდეგ მიიღებს ფორმას. ამ განტოლების მეორე რიგის მრუდის ზოგად განტოლებასთან (11.1) შედარებისას ადვილი შესამჩნევია, რომ წრის განტოლებისთვის ორი პირობაა დაკმაყოფილებული:

1) x 2 და y 2-ის კოეფიციენტები ერთმანეთის ტოლია;

2) არ არსებობს წევრი, რომელიც შეიცავს მიმდინარე კოორდინატების ნამრავლს xy.

განვიხილოთ საპირისპირო პრობლემა. მნიშვნელობების ჩასმა და განტოლებაში (11.1) მივიღებთ

მოდით გარდავქმნათ ეს განტოლება:

(11.4)

აქედან გამომდინარეობს, რომ განტოლება (11.3) განსაზღვრავს წრეს პირობით . მისი ცენტრი არის წერტილში და რადიუსი

.

თუ , მაშინ განტოლებას (11.3) აქვს ფორმა

.

ის კმაყოფილდება ერთი წერტილის კოორდინატებით . ამ შემთხვევაში ისინი ამბობენ: "წრე გადაგვარდა წერტილად" (აქვს ნულოვანი რადიუსი).

თუ , შემდეგ განტოლება (11.4) და, შესაბამისად, ეკვივალენტური განტოლება (11.3), არ განსაზღვრავს არცერთ ხაზს, რადგან განტოლების (11.4) მარჯვენა მხარე უარყოფითია, ხოლო მარცხენა არ არის უარყოფითი (ვთქვათ: „წარმოსახვითი წრე“).

11.3. ელიფსი

კანონიკური ელიფსის განტოლება

ელიფსი არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, თითოეული მათგანიდან ამ სიბრტყის ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების ჯამი, ე.წ. ხრიკები , არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც აღემატება მანძილს კერებს შორის.

მოდით აღვნიშნოთ ფოკუსები F 1და F 2, მათ შორის მანძილი არის 2 გ, ხოლო მანძილების ჯამი ელიფსის თვითნებური წერტილიდან კერებამდე - 2-ში ა(იხ. სურ. 49). განმარტებით 2 ა > 2გ, ე.ი. ა > გ.

ელიფსის განტოლების გამოსაყვანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ კერები F 1და F 2იწვა ღერძზე და საწყისი ემთხვევა სეგმენტის შუას F 1 F 2. მაშინ კერებს ექნებათ შემდეგი კოორდინატები: და .

მოდით იყოს ელიფსის თვითნებური წერტილი. მაშინ, ელიფსის განმარტების მიხედვით, ე.ი.

ეს, არსებითად, არის ელიფსის განტოლება.

მოდით გადავიტანოთ განტოლება (11.5) უფრო მარტივ ფორმად შემდეგნაირად:

იმიტომ რომ ა>თან, რომ . დავაყენოთ

(11.6)

შემდეგ ბოლო განტოლება მიიღებს ფორმას ან

(11.7)

შეიძლება დადასტურდეს, რომ განტოლება (11.7) ორიგინალური განტოლების ტოლია. ჰქვია კანონიკური ელიფსის განტოლება .

ელიფსი არის მეორე რიგის მრუდი.

ელიფსის ფორმის შესწავლა მისი განტოლების გამოყენებით

მოდით დავადგინოთ ელიფსის ფორმა მისი კანონიკური განტოლების გამოყენებით.

1. განტოლება (11.7) შეიცავს x და y-ს მხოლოდ ლუწი ხარისხებში, ასე რომ, თუ წერტილი ეკუთვნის ელიფსს, მაშინ წერტილები ,, ასევე ეკუთვნის მას. აქედან გამომდინარეობს, რომ ელიფსი სიმეტრიულია და ღერძების მიმართ, ასევე წერტილის მიმართ, რომელსაც ელიფსის ცენტრს უწოდებენ.

2. იპოვეთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. დაყენებით, ჩვენ ვპოულობთ ორ წერტილს და , სადაც ღერძი კვეთს ელიფსს (იხ. სურ. 50). განტოლებაში ჩასვით (11.7) ვპოულობთ ელიფსის გადაკვეთის წერტილებს ღერძთან: და . ქულები ა 1 , A 2 , B 1, B 2უწოდებენ ელიფსის წვეროები. სეგმენტები ა 1 A 2და B 1 B 2, ისევე როგორც მათი სიგრძე 2 ადა 2 ბშესაბამისად იწოდებიან ძირითადი და მცირე ღერძიელიფსი. ნომრები ადა ბეძახიან შესაბამისად დიდს და პატარას ღერძების ლილვებიელიფსი.

3. (11.7) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მარცხენა მხარეს თითოეული წევრი არ აღემატება ერთს, ე.ი. უტოლობები და ან და ადგილი აქვს. შესაბამისად, ელიფსის ყველა წერტილი დევს სწორი ხაზებით წარმოქმნილ მართკუთხედში.

4. განტოლებაში (11.7) არაუარყოფითი წევრთა ჯამი და უდრის ერთს. შესაბამისად, როგორც ერთი ტერმინი იზრდება, მეორე მცირდება, ანუ თუ იზრდება, მცირდება და პირიქით.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ ელიფსს აქვს ნახ. 50 (ოვალური დახურული მრუდი).

მეტი ინფორმაცია ელიფსის შესახებ

ელიფსის ფორმა დამოკიდებულია თანაფარდობაზე. როდესაც ელიფსი იქცევა წრედ, ელიფსის განტოლება (11.7) იღებს ფორმას. თანაფარდობა ხშირად გამოიყენება ელიფსის ფორმის დასახასიათებლად. კერებს შორის მანძილის ნახევრის თანაფარდობას ელიფსის ნახევრად მთავარ ღერძამდე ეწოდება ელიფსის ექსცენტრიულობა და o6o აღინიშნება ასო ε ("ეფსილონი"):

0-ით<ε< 1, так как 0<с<а. С учетом равенства (11.6) формулу (11.8) можно переписать в виде

ეს გვიჩვენებს, რომ რაც უფრო მცირეა ელიფსის ექსცენტრიულობა, მით უფრო ნაკლებად გაბრტყელდება ელიფსი; თუ ჩვენ დავაყენებთ ε = 0, მაშინ ელიფსი იქცევა წრედ.

მოდით M(x;y) იყოს ელიფსის თვითნებური წერტილი F 1 და F 2 კერებით (იხ. სურ. 51). F 1 M = r 1 და F 2 M = r 2 სეგმენტების სიგრძეებს M წერტილის ფოკუსური რადიუსი ეწოდება. ცხადია,

ფორმულები ინახება

პირდაპირი ხაზები ე.წ

თეორემა 11.1.თუ არის მანძილი ელიფსის თვითნებური წერტილიდან რომელიმე ფოკუსამდე, d არის მანძილი იმავე წერტილიდან ამ ფოკუსის შესაბამისი მიმართულებამდე, მაშინ თანაფარდობა არის მუდმივი მნიშვნელობა, რომელიც უდრის ელიფსის ექსცენტრიულობას:

თანასწორობიდან (11.6) გამომდინარეობს, რომ . თუ, მაშინ განტოლება (11.7) განსაზღვრავს ელიფსს, რომლის ძირითადი ღერძი დევს Oy ღერძზე, ხოლო მცირე ღერძი Ox ღერძზე (იხ. სურ. 52). ასეთი ელიფსის კერები არის წერტილებში და , სადაც .

11.4. ჰიპერბოლა

კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლება

ჰიპერბოლა არის სიბრტყის ყველა წერტილის სიმრავლე, თითოეული მათგანიდან ამ სიბრტყის ორ მოცემულ წერტილამდე მანძილების სხვაობის მოდული, ე.წ. ხრიკები , არის მუდმივი მნიშვნელობა ნაკლები მანძილი კერებს შორის.

მოდით აღვნიშნოთ ფოკუსები F 1და F 2მათ შორის მანძილი არის 2 წმ, და ჰიპერბოლის თითოეული წერტილიდან კერამდე მანძილების სხვაობის მოდული 2ა. ა-პრიორიტეტი 2ა < 2 წმ, ე.ი. ა < გ.

ჰიპერბოლის განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას ისე, რომ კერები F 1და F 2იწვა ღერძზე და საწყისი ემთხვევა სეგმენტის შუას F 1 F 2(იხ. სურ. 53). მაშინ კერებს ექნება კოორდინატები და

მოდით იყოს ჰიპერბოლის თვითნებური წერტილი. შემდეგ, ჰიპერბოლის განმარტების მიხედვით ან, ანუ გამარტივების შემდეგ, როგორც ეს გაკეთდა ელიფსის განტოლების გამოყვანისას, ვიღებთ კანონიკური ჰიპერბოლის განტოლება

(11.9)

(11.10)

ჰიპერბოლა არის მეორე რიგის ხაზი.

ჰიპერბოლის ფორმის შესწავლა მისი განტოლების გამოყენებით

მოდით დავადგინოთ ჰიპერბოლის ფორმა მისი კაკონური განტოლების გამოყენებით.

1. განტოლება (11.9) შეიცავს x და y-ს მხოლოდ ლუწი ხარისხებში. შესაბამისად, ჰიპერბოლა სიმეტრიულია ღერძების და , ასევე წერტილის მიმართ, რომელსაც ე.წ. ჰიპერბოლის ცენტრი.

2. იპოვეთ ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილები კოორდინატთა ღერძებთან. განტოლებაში ჩასვით (11.9) ვპოულობთ ჰიპერბოლას ღერძთან გადაკვეთის ორ წერტილს: და. ჩასვით (11.9), ვიღებთ , რომელიც არ შეიძლება იყოს. შესაბამისად, ჰიპერბოლა არ კვეთს Oy ღერძს.

ქულები ე.წ მწვერვალები ჰიპერბოლები და სეგმენტი

რეალური ღერძი ხაზის სეგმენტი - რეალური ნახევრად ღერძი ჰიპერბოლა.

წერტილების დამაკავშირებელი სეგმენტი ეწოდება წარმოსახვითი ღერძი , ნომერი ბ - წარმოსახვითი ნახევრადღერძი . გვერდებით მართკუთხედი 2ადა 2ბდაურეკა ჰიპერბოლის ძირითადი მართკუთხედი .

3. (11.9) განტოლებიდან გამომდინარეობს, რომ მინუენდი არ არის ერთზე ნაკლები, ანუ ის ან . ეს ნიშნავს, რომ ჰიპერბოლის წერტილები განლაგებულია წრფის მარჯვნივ (ჰიპერბოლის მარჯვენა განშტოება) და ხაზის მარცხნივ (ჰიპერბოლის მარცხენა განშტოება).

4. ჰიპერბოლის (11.9) განტოლებიდან ირკვევა, რომ როდესაც ის იზრდება, იზრდება. ეს გამომდინარეობს იქიდან, რომ განსხვავება ინარჩუნებს მუდმივ მნიშვნელობას ერთის ტოლი.

ზემოაღნიშნულიდან გამომდინარეობს, რომ ჰიპერბოლას აქვს 54-ზე ნაჩვენები ფორმა (მრუდი, რომელიც შედგება ორი შეუზღუდავი ტოტისაგან).

ჰიპერბოლის ასიმპტოტები

სწორ ხაზს L ეწოდება ასიმპტოტი შეუზღუდავი K მრუდის, თუ მანძილი d K მრუდის M წერტილიდან ამ სწორ ხაზამდე ნულისკენ მიისწრაფვის, როდესაც M წერტილის მანძილი K მრუდის გასწვრივ საწყისიდან შეუზღუდავია. ნახაზი 55 ასახავს ასიმპტოტის კონცეფციის ილუსტრაციას: სწორი ხაზი L არის ასიმპტოტი K მრუდისთვის.

მოდით ვაჩვენოთ, რომ ჰიპერბოლას აქვს ორი ასიმპტოტი:

(11.11)

ვინაიდან სწორი ხაზები (11.11) და ჰიპერბოლა (11.9) სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძებთან მიმართებაში, საკმარისია გავითვალისწინოთ მითითებული ხაზების მხოლოდ ის წერტილები, რომლებიც განლაგებულია პირველ მეოთხედში.

ავიღოთ წერტილი N სწორ ხაზზე, რომელსაც აქვს იგივე აბსციზა x, რაც ჰიპერბოლაზე. (იხ. სურ. 56) და იპოვეთ განსხვავება ΜΝ სწორი ხაზის ორდინატებსა და ჰიპერბოლის ტოტს შორის:

როგორც ხედავთ, x იზრდება, წილადის მნიშვნელი იზრდება; მრიცხველი არის მუდმივი მნიშვნელობა. ამიტომ, სეგმენტის სიგრძე ΜΝ მიდრეკილია ნულისკენ. ვინაიდან MN მეტია d მანძილს M წერტილიდან წრფემდე, მაშინ d კიდევ უფრო მიდრეკილია ნულისკენ. ასე რომ, ხაზები არის ჰიპერბოლის ასიმპტოტები (11.9).

ჰიპერბოლის აგებისას (11.9), მიზანშეწონილია ჯერ ააგოთ ჰიპერბოლის მთავარი მართკუთხედი (იხ. სურ. 57), დახაზოთ სწორი ხაზები, რომლებიც გადის ამ მართკუთხედის საპირისპირო წვეროებზე - ჰიპერბოლის ასიმპტოტები და მონიშნოთ წვეროები და . ჰიპერბოლას.

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის განტოლება.

რომლის ასიმპტოტებია კოორდინატთა ღერძები

ჰიპერბოლას (11.9) ეწოდება ტოლგვერდა, თუ მისი ნახევრად ღერძი ტოლია (). მისი კანონიკური განტოლება

(11.12)

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ასიმპტოტებს აქვთ განტოლებები და, შესაბამისად, არიან კოორდინატთა კუთხეების ბისექტრები.

განვიხილოთ ამ ჰიპერბოლის განტოლება ახალ კოორდინატულ სისტემაში (იხ. სურ. 58), რომელიც მიღებულია ძველიდან კოორდინატთა ღერძების კუთხით ბრუნვით. ჩვენ ვიყენებთ ფორმულებს კოორდინატთა ღერძების ბრუნვისთვის:

ჩვენ ვცვლით x და y მნიშვნელობებს განტოლებაში (11.12):

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის განტოლებას, რომლისთვისაც Ox და Oy ღერძები ასიმპტოტებია, ექნება ფორმა.

მეტი ინფორმაცია ჰიპერბოლის შესახებ

ექსცენტრიულობა ჰიპერბოლა (11.9) არის კერებს შორის მანძილის თანაფარდობა ჰიპერბოლის რეალური ღერძის მნიშვნელობასთან, რომელიც აღინიშნება ε:

ვინაიდან ჰიპერბოლისთვის, ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა ერთზე მეტია: . ექსცენტრიულობა ახასიათებს ჰიპერბოლის ფორმას. მართლაც, თანასწორობიდან (11.10) გამომდინარეობს, რომ ე.ი. და .

აქედან ჩანს, რომ რაც უფრო მცირეა ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა, მით უფრო მცირეა მისი ნახევრადღერძების თანაფარდობა და, შესაბამისად, უფრო წაგრძელებული მისი მთავარი მართკუთხედი.

ტოლგვერდა ჰიპერბოლის ექსცენტრიულობა არის . მართლაც,

ფოკალური რადიუსი და მარჯვენა შტოს წერტილებისთვის ჰიპერბოლებს აქვთ ფორმა და, ხოლო მარცხენა განშტოებისთვის - და .

პირდაპირ ხაზებს ჰიპერბოლის მიმართულებებს უწოდებენ. ვინაიდან ჰიპერბოლისთვის ε > 1, მაშინ . ეს ნიშნავს, რომ მარჯვენა მიმართულება მდებარეობს ჰიპერბოლის ცენტრსა და მარჯვენა წვეროს შორის, მარცხენა - ცენტრსა და მარცხენა წვეროს შორის.

ჰიპერბოლის მიმართულებებს აქვთ იგივე თვისება, რაც ელიფსის მიმართულებებს.

განტოლებით განსაზღვრული მრუდი ასევე არის ჰიპერბოლა, რომლის რეალური ღერძი 2b მდებარეობს Oy ღერძზე, ხოლო წარმოსახვითი ღერძი 2. ა- ოქსის ღერძზე. ნახაზზე 59 ის ნაჩვენებია წერტილოვანი ხაზის სახით.

აშკარაა, რომ ჰიპერბოლებს აქვთ საერთო ასიმპტოტები. ასეთ ჰიპერბოლებს კონიუგატს უწოდებენ.

11.5. პარაბოლა

პარაბოლის კანონიკური განტოლება

პარაბოლა არის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთაგან თითოეული თანაბრად არის დაშორებული მოცემული წერტილისგან, რომელსაც ეწოდება ფოკუსი და მოცემული ხაზისგან, რომელსაც ეწოდება მიმართულება. მანძილი F ფოკუსიდან დირექტიკულამდე ეწოდება პარაბოლის პარამეტრს და აღინიშნება p-ით (p > 0).

პარაბოლას განტოლების გამოსატანად ვირჩევთ კოორდინატთა სისტემას Oxy ისე, რომ Ox ღერძი გაივლის ფოკუსს F ფოკუსში, პერპენდიკულარული მიმართულებით, მიმართულებიდან F-ის მიმართულებით, ხოლო O კოორდინატების საწყისი მდებარეობს შუაში. ფოკუსი და მიმართულება (იხ. სურ. 60). არჩეულ სისტემაში F ფოკუსს აქვს კოორდინატები, ხოლო მიმართულების განტოლებას აქვს ფორმა ან .

1. განტოლებაში (11.13) ცვლადი y ჩანს ლუწი ხარისხით, რაც ნიშნავს, რომ პარაბოლა სიმეტრიულია Ox ღერძის მიმართ; Ox ღერძი არის პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი.

2. ვინაიდან ρ > 0, (11.13)-დან გამომდინარეობს, რომ . შესაბამისად, პარაბოლა მდებარეობს Oy ღერძის მარჯვნივ.

3. როცა გვაქვს y = 0. ამიტომ პარაბოლა გადის საწყისზე.

4. როგორც x იზრდება განუსაზღვრელი ვადით, ასევე იზრდება y მოდული განუსაზღვრელი ვადით. პარაბოლას აქვს 61-ზე ნაჩვენები ფორმა (ფორმა). O(0; 0) წერტილს პარაბოლის წვერო ეწოდება, FM = r სეგმენტს M წერტილის ფოკუსური რადიუსი.

განტოლებები, , ( p>0) ასევე განსაზღვრავს პარაბოლებს, ისინი ნაჩვენებია სურათზე 62

ძნელი არ არის იმის ჩვენება, რომ კვადრატული ტრინომის გრაფიკი, სადაც B და C არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, არის პარაბოლა მისი ზემოთ მოცემული განმარტების გაგებით.

11.6. მეორე რიგის ხაზების ზოგადი განტოლება

მეორე რიგის მრუდების განტოლებები სიმეტრიის ღერძებით კოორდინატთა ღერძების პარალელურად

ჯერ ვიპოვოთ ელიფსის განტოლება ცენტრით იმ წერტილში, რომლის სიმეტრიის ღერძი პარალელურია კოორდინატთა ღერძების Ox და Oy და ნახევრადღერძები შესაბამისად ტოლია. ადა ბ. მოდით, ელიფსის O 1-ის ცენტრში მოვათავსოთ ახალი კოორდინატთა სისტემის დასაწყისი, რომლის ღერძები და ნახევრად ღერძი ადა ბ(იხ. სურ. 64):

დაბოლოს, 65-ზე გამოსახულ პარაბოლებს აქვთ შესაბამისი განტოლებები.

განტოლება

ელიფსის, ჰიპერბოლის, პარაბოლის განტოლებები და წრის განტოლება გარდაქმნების შემდეგ (გახსენით ფრჩხილები, გადაიტანეთ განტოლების ყველა წევრი ერთ მხარეს, მოიყვანეთ მსგავსი ტერმინები, შემოიტანეთ ახალი აღნიშვნები კოეფიციენტებისთვის) შეიძლება დაიწეროს ერთი განტოლების გამოყენებით. ფორმა

სადაც A და C კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.

ჩნდება კითხვა: (11.14) ფორმის ყოველი განტოლება განსაზღვრავს თუ არა მეორე რიგის ერთ-ერთ მრუდს (წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა)? პასუხი მოცემულია შემდეგი თეორემით.

თეორემა 11.2. განტოლება (11.14) ყოველთვის განსაზღვრავს: ან წრეს (A = C-სთვის), ან ელიფსს (A · C > 0-სთვის), ან ჰიპერბოლას (A · C-სთვის).< 0), либо параболу (при А×С= 0). При этом возможны случаи вырождения: для эллипса (окружности) - в точку или мнимый эллипс (окружность), для гиперболы - в пару пересекающихся прямых, для параболы - в пару параллельных прямых.

ზოგადი მეორე რიგის განტოლება

ახლა განვიხილოთ მეორე ხარისხის ზოგადი განტოლება ორი უცნობით:

იგი განსხვავდება განტოლებისგან (11.14) კოორდინატების ნამრავლთან ტერმინის არსებობით (B¹ 0). შესაძლებელია, კოორდინატთა ღერძების a კუთხით ბრუნვით, ეს განტოლება ისე გარდაიქმნას, რომ კოორდინატების ნამრავლის ტერმინი არ იყოს.

ღერძის ბრუნვის ფორმულების გამოყენება

გამოვხატოთ ძველი კოორდინატები ახლის მიხედვით:

მოდით ავირჩიოთ კუთხე a ისე, რომ x" · y"-ის კოეფიციენტი გახდეს ნული, ანუ ტოლობა

ამრიგად, როდესაც ღერძები ბრუნავს a კუთხით, რომელიც აკმაყოფილებს პირობას (11.17), განტოლება (11.15) მცირდება განტოლებამდე (11.14).

დასკვნა: ზოგადი მეორე რიგის განტოლება (11.15) სიბრტყეზე (გარდა გადაგვარებისა და დაშლის შემთხვევებისა) განსაზღვრავს შემდეგ მრუდებს: წრე, ელიფსი, ჰიპერბოლა, პარაბოლა.

შენიშვნა: თუ A = C, მაშინ განტოლება (11.17) უაზრო ხდება. ამ შემთხვევაში, cos2α = 0 (იხ. (11.16)), შემდეგ 2α = 90°, ანუ α = 45°. ასე რომ, როდესაც A = C, კოორდინატთა სისტემა უნდა შემობრუნდეს 45°-ით.

მეორე რიგის ხაზები.
ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება. წრე

საფუძვლიანი შესწავლის შემდეგ სწორი ხაზები თვითმფრინავშიჩვენ ვაგრძელებთ ორგანზომილებიანი სამყაროს გეომეტრიის შესწავლას. ფსონები გაორმაგებულია და გეპატიჟებით ეწვიოთ ელიფსების, ჰიპერბოლების, პარაბოლების თვალწარმტაცი გალერეას, რომლებიც ტიპიური წარმომადგენლები არიან. მეორე რიგის ხაზები. ექსკურსია უკვე დაწყებულია და ჯერ მოკლე ინფორმაცია მუზეუმის სხვადასხვა სართულზე მთელი გამოფენის შესახებ:

ალგებრული წრფის ცნება და მისი რიგი

ხაზს თვითმფრინავზე ეწოდება ალგებრული, თუ შიგნით აფინური კოორდინატთა სისტემამის განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც არის მრავალწევრი, რომელიც შედგება ფორმის ტერმინებისგან ( – რეალური რიცხვი, – არაუარყოფითი მთელი რიცხვები).

როგორც ხედავთ, ალგებრული წრფის განტოლება არ შეიცავს სინუსებს, კოსინუსებს, ლოგარითმებს და სხვა ფუნქციურ ბომონდს. მხოლოდ X და Y არის შემოსული არაუარყოფითი მთელი რიცხვებიგრადუსი.

ხაზის შეკვეთაუდრის მასში შემავალი ტერმინების მაქსიმალური მნიშვნელობის.

შესაბამისი თეორემის მიხედვით, ალგებრული წრფის კონცეფცია, ისევე როგორც მისი რიგი, არ არის დამოკიდებული არჩევანზე. აფინური კოორდინატთა სისტემამაშასადამე, არსებობის სიმარტივისთვის, ჩვენ ვვარაუდობთ, რომ ყველა შემდგომი გამოთვლა ხდება ქ დეკარტის კოორდინატები.

ზოგადი განტოლებამეორე რიგის ხაზს აქვს ფორმა, სადაც - თვითნებური რეალური რიცხვები (ჩვეულებრივია მისი დაწერა ორჯერ), და კოეფიციენტები არ არის ერთდროულად ნულის ტოლი.

თუ , მაშინ განტოლება ამარტივებს და თუ კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის, მაშინ ეს არის ზუსტად "ბრტყელი" ხაზის ზოგადი განტოლება, რომელიც წარმოადგენს პირველი შეკვეთის ხაზი.

ბევრს ესმოდა ახალი ტერმინების მნიშვნელობა, მაგრამ, მიუხედავად ამისა, მასალის 100%-ით ათვისების მიზნით, თითებს ბუდეში ვყრით. ხაზის რიგის დასადგენად, თქვენ უნდა გაიმეოროთ ყველა ტერმინიმისი განტოლებები და იპოვეთ თითოეული მათგანისთვის გრადუსების ჯამიშემომავალი ცვლადები.

Მაგალითად:

ტერმინი შეიცავს "x"-ს პირველ ხარისხამდე;
ტერმინი შეიცავს "Y" 1 ხარისხამდე;
ტერმინში არ არის ცვლადები, ამიტომ მათი ძალების ჯამი არის ნული.

ახლა მოდით გავარკვიოთ, რატომ განსაზღვრავს განტოლება ხაზს მეორეშეკვეთა:

ტერმინი შეიცავს „x“-ს მე-2 ხარისხამდე;
ჯამს აქვს ცვლადების ძალაუფლების ჯამი: 1 + 1 = 2;
ტერმინი შეიცავს „Y“-ს მე-2 ხარისხამდე;
ყველა სხვა პირობა - ნაკლებიგრადუსი.

მაქსიმალური ღირებულება: 2

თუ დამატებით დავუმატებთ, ვთქვათ, ჩვენს განტოლებას, მაშინ ის უკვე დაადგენს მესამე რიგის ხაზი. აშკარაა, რომ მე-3 რიგის ხაზის განტოლების ზოგადი ფორმა შეიცავს ტერმინების „სრულ კომპლექტს“, ცვლადების ძალაუფლების ჯამი, რომელშიც ტოლია სამი:
, სადაც კოეფიციენტები ერთდროულად ნულის ტოლი არ არის.

იმ შემთხვევაში, თუ თქვენ დაამატებთ ერთ ან მეტ შესაფერის ტერმინს, რომელიც შეიცავს , შემდეგ უკვე ვისაუბრებთ მე-4 შეკვეთის ხაზებიდა ა.შ.

მე-3, მე-4 და უფრო მაღალი რიგის ალგებრულ ხაზებს არაერთხელ უნდა შევხვდეთ, კერძოდ, გაცნობისას. პოლარული კოორდინატთა სისტემა.

თუმცა, დავუბრუნდეთ ზოგად განტოლებას და გავიხსენოთ მისი უმარტივესი სასკოლო ვარიაციები. მაგალითად, წარმოიქმნება პარაბოლა, რომლის განტოლება ადვილად შეიძლება შემცირდეს ზოგად ფორმამდე და ჰიპერბოლა ექვივალენტური განტოლებით. თუმცა ყველაფერი ასე მშვიდად არ არის...

ზოგადი განტოლების მნიშვნელოვანი ნაკლი არის ის, რომ თითქმის ყოველთვის არ არის ნათელი, რომელ ხაზს განსაზღვრავს იგი. უმარტივეს შემთხვევაშიც კი, მაშინვე ვერ მიხვდებით, რომ ეს ჰიპერბოლაა. ასეთი განლაგება კარგია მხოლოდ მასკარადისთვის, ამიტომ ტიპიური პრობლემა განიხილება ანალიტიკური გეომეტრიის დროს. მე-2 რიგის ხაზის განტოლება კანონიკურ ფორმამდე მიყვანა.

რა არის განტოლების კანონიკური ფორმა?

ეს არის განტოლების ზოგადად მიღებული სტანდარტული ფორმა, როდესაც რამდენიმე წამში ირკვევა, თუ რა გეომეტრიულ ობიექტს განსაზღვრავს იგი. გარდა ამისა, კანონიკური ფორმა ძალიან მოსახერხებელია მრავალი პრაქტიკული ამოცანის გადასაჭრელად. ასე, მაგალითად, კანონიკური განტოლების მიხედვით "ბრტყელი" სწორიჯერ ერთი, მაშინვე ირკვევა, რომ ეს არის სწორი ხაზი და მეორეც, მისი კუთვნილი წერტილი და მიმართულების ვექტორი ადვილად ჩანს.

აშკარაა, რომ ნებისმიერი 1-ლი შეკვეთის ხაზიარის სწორი ხაზი. მეორე სართულზე აღარ გველოდება დარაჯი, არამედ ცხრა ქანდაკებისგან შემდგარი გაცილებით მრავალფეროვანი კომპანია:

მეორე რიგის ხაზების კლასიფიკაცია

მოქმედებების სპეციალური ნაკრების გამოყენებით, მეორე რიგის ხაზის ნებისმიერი განტოლება მცირდება ერთ-ერთ შემდეგ ფორმამდე:

(და დადებითი რეალური რიცხვებია)

1) – ელიფსის კანონიკური განტოლება;

2) – ჰიპერბოლის კანონიკური განტოლება;

3) – პარაბოლას კანონიკური განტოლება;

4) – წარმოსახვითიელიფსი;

5) – გადამკვეთი ხაზების წყვილი;

6) – წყვილი წარმოსახვითიგადამკვეთი ხაზები (საწყისზე გადაკვეთის ერთი მოქმედი წერტილით);

7) – პარალელური წრფეების წყვილი;

8) – წყვილი წარმოსახვითიპარალელური ხაზები;

9) – წყვილი დამთხვევა ხაზები.

ზოგიერთ მკითხველს შეიძლება ჰქონდეს შთაბეჭდილება, რომ სია არასრულია. მაგალითად, მე-7 პუნქტში განტოლება აზუსტებს წყვილს პირდაპირი, ღერძის პარალელურად და ჩნდება კითხვა: სად არის განტოლება, რომელიც განსაზღვრავს ორდინატთა ღერძის პარალელურ წრფეებს? Უპასუხე არ ითვლება კანონიკურად. სწორი ხაზები წარმოადგენს იგივე სტანდარტულ შემთხვევას, რომელიც შემოტრიალებულია 90 გრადუსით და კლასიფიკაციაში დამატებითი ჩანაწერი ზედმეტია, რადგან მას ფუნდამენტურად ახალი არაფერი მოაქვს.

ამრიგად, არსებობს ცხრა და მხოლოდ ცხრა განსხვავებული ტიპის მეორე რიგის ხაზები, მაგრამ პრაქტიკაში ყველაზე გავრცელებულია ელიფსი, ჰიპერბოლა და პარაბოლა.

ჯერ ელიფსს გადავხედოთ. ჩვეულებისამებრ, მე ყურადღებას ვამახვილებ იმ პუნქტებზე, რომლებსაც დიდი მნიშვნელობა აქვს ამოცანების გადასაჭრელად, და თუ გჭირდებათ ფორმულების დეტალური წარმოშობა, თეორემების მტკიცებულებები, გთხოვთ, მიმართოთ, მაგალითად, ბაზილევის/ატანასიანის ან ალექსანდროვის სახელმძღვანელოს.

ელიფსი და მისი კანონიკური განტოლება

მართლწერა... გთხოვთ, არ გაიმეოროთ Yandex-ის ზოგიერთი მომხმარებლის შეცდომები, რომლებსაც აინტერესებთ „როგორ ავაშენოთ ელიფსი“, „განსხვავება ელიფსა და ოვალს შორის“ და „ელიფსის ექსცენტრიულობა“.

ელიფსის კანონიკურ განტოლებას აქვს ფორმა, სადაც დადებითი რეალური რიცხვებია და. მე მოგვიანებით ჩამოვაყალიბებ ელიფსის განმარტებას, მაგრამ ახლა დროა დავისვენოთ მოლაპარაკე მაღაზიიდან და მოვაგვაროთ საერთო პრობლემა:

როგორ ავაშენოთ ელიფსი?

დიახ, უბრალოდ აიღე და უბრალოდ დახატე. დავალება ხშირად ხდება და მოსწავლეთა მნიშვნელოვანი ნაწილი სწორად ვერ უმკლავდება ნახატს:

მაგალითი 1

ააგეთ განტოლებით მოცემული ელიფსი

გამოსავალი: ჯერ განტოლება მოვიყვანოთ კანონიკურ ფორმამდე:

რატომ მოიტანე? კანონიკური განტოლების ერთ-ერთი უპირატესობა ის არის, რომ ის საშუალებას გაძლევთ მყისიერად განსაზღვროთ ელიფსის წვეროები, რომლებიც განლაგებულია წერტილებში. ადვილი მისახვედრია, რომ თითოეული ამ წერტილის კოორდინატები აკმაყოფილებს განტოლებას.

Ამ შემთხვევაში :


ხაზის სეგმენტიდაურეკა ძირითადი ღერძიელიფსი;
ხაზის სეგმენტი – მცირე ღერძი;
ნომერი დაურეკა ნახევრად ძირითადი ლილვიელიფსი;
ნომერი – მცირე ღერძი.
ჩვენს მაგალითში: .

იმისთვის, რომ სწრაფად წარმოიდგინოთ, როგორ გამოიყურება კონკრეტული ელიფსი, უბრალოდ გადახედეთ მისი კანონიკური განტოლების "a" და "be" მნიშვნელობებს.

ყველაფერი კარგად არის, მოწესრიგებული და ლამაზი, მაგრამ არის ერთი გაფრთხილება: ნახატი პროგრამის გამოყენებით გავაკეთე. და თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ ნახატი ნებისმიერი აპლიკაციის გამოყენებით. თუმცა, მკაცრ რეალობაში, მაგიდაზე უჯრა ქაღალდი დევს, ხელებზე კი თაგვები წრეებში ცეკვავენ. მხატვრული ნიჭის მქონე ადამიანებს, რა თქმა უნდა, შეუძლიათ კამათი, მაგრამ თაგვებიც გყავთ (თუმცა უფრო პატარა). ამაო არ არის, რომ კაცობრიობამ გამოიგონა სახაზავი, კომპასი, პროტრაქტორი და სხვა მარტივი ხელსაწყოები ხატვისთვის.

ამ მიზეზით, ჩვენ ნაკლებად სავარაუდოა, რომ შევძლოთ ელიფსის ზუსტად დახატვა მხოლოდ წვეროების ცოდნით. კარგია, თუ ელიფსი პატარაა, მაგალითად, ნახევრად ღერძებით. გარდა ამისა, შეგიძლიათ შეამციროთ მასშტაბი და, შესაბამისად, ნახაზის ზომები. მაგრამ ზოგადად, ძალიან სასურველია დამატებითი ქულების პოვნა.

ელიფსის აგების ორი მიდგომა არსებობს - გეომეტრიული და ალგებრული. არ მომწონს კონსტრუქცია კომპასისა და სახაზავის გამოყენებით, რადგან ალგორითმი არ არის უმოკლესი და ნახატი საგრძნობლად გადატვირთულია. აუცილებლობის შემთხვევაში, გთხოვთ, მიმართოთ სახელმძღვანელოს, მაგრამ რეალურად გაცილებით რაციონალურია ალგებრის იარაღების გამოყენება. მონახაზის ელიფსის განტოლებიდან ჩვენ სწრაფად გამოვხატავთ:

შემდეგ განტოლება იყოფა ორ ფუნქციად:
– განსაზღვრავს ელიფსის ზედა რკალს;
– განსაზღვრავს ელიფსის ქვედა რკალს.

კანონიკური განტოლებით განსაზღვრული ელიფსი სიმეტრიულია კოორდინატთა ღერძების მიმართ, ასევე საწყისის მიმართ. და ეს შესანიშნავია - სიმეტრია თითქმის ყოველთვის უსასყიდლოების საწინდარია. ცხადია, საკმარისია საქმე 1 კოორდინატულ კვარტალთან, ამიტომ ჩვენ გვჭირდება ფუნქცია . ითხოვს დამატებითი ქულების პოვნა აბსცისებით . მოდით შეეხეთ სამ SMS შეტყობინებას კალკულატორზე:

რა თქმა უნდა, ასევე სასიამოვნოა, რომ თუ გამოთვლებში სერიოზული შეცდომა დაშვებულია, მაშინვე გახდება ნათელი მშენებლობის დროს.

მოდით აღვნიშნოთ წერტილები ნახაზზე (წითელი ფერი), სიმეტრიული წერტილები დანარჩენ რკალებზე (ლურჯი ფერი) და ყურადღებით დავაკავშიროთ მთელი კომპანია ხაზით:


ჯობია, საწყისი ჩანახატი ძალიან თხლად დახატოთ და მხოლოდ ამის შემდეგ დააჭიროთ ფანქრით. შედეგი უნდა იყოს საკმაოდ წესიერი ელიფსი. სხვათა შორის, გსურთ იცოდეთ რა არის ეს მრუდი?

ელიფსის განმარტება. ელიფსის კერები და ელიფსის ექსცენტრიულობა

ელიფსი ოვალის განსაკუთრებული შემთხვევაა. სიტყვა "ოვალური" არ უნდა გავიგოთ ფილისტიმური გაგებით ("ბავშვმა დახატა ოვალი" და ა.შ.). ეს არის მათემატიკური ტერმინი, რომელსაც აქვს დეტალური ფორმულირება. ამ გაკვეთილის მიზანი არ არის განიხილოს ოვალების თეორია და მათი სხვადასხვა ტიპები, რომლებსაც პრაქტიკულად არ ექცევა ყურადღება ანალიტიკური გეომეტრიის სტანდარტულ კურსში. და, უფრო აქტუალური საჭიროებების შესაბამისად, ჩვენ დაუყოვნებლივ გადავდივართ ელიფსის მკაცრ განმარტებაზე:

ელიფსიარის სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, თითოეულ მათგანთან მანძილების ჯამი ორი მოცემული წერტილიდან, ე.წ. ხრიკებიელიფსი, არის მუდმივი სიდიდე, რომელიც რიცხობრივად უდრის ამ ელიფსის მთავარი ღერძის სიგრძეს: .
ამ შემთხვევაში ფოკუსებს შორის მანძილი ამ მნიშვნელობაზე ნაკლებია: .

ახლა ყველაფერი უფრო ნათელი გახდება:

წარმოიდგინეთ, რომ ლურჯი წერტილი "მოგზაურობს" ელიფსის გასწვრივ. ასე რომ, არ აქვს მნიშვნელობა ელიფსის რომელ წერტილს ავიღებთ, სეგმენტების სიგრძის ჯამი ყოველთვის იგივე იქნება:

დავრწმუნდეთ, რომ ჩვენს მაგალითში ჯამის მნიშვნელობა ნამდვილად რვის ტოლია. გონებრივად მოათავსეთ წერტილი "um" ელიფსის მარჯვენა წვეროზე, შემდეგ: , რაც უნდა შემოწმდეს.

მისი დახატვის კიდევ ერთი გზა ემყარება ელიფსის განმარტებას. უმაღლესი მათემატიკა ზოგჯერ დაძაბულობისა და სტრესის მიზეზია, ამიტომ დროა კიდევ ერთი განტვირთვის სესია. გთხოვთ, აიღეთ ვატმენის ქაღალდი ან მუყაოს დიდი ფურცელი და მიამაგრეთ მაგიდაზე ორი ლურსმნით. ეს იქნება ხრიკები. ამობურცულ ფრჩხილის თავებს მიამაგრეთ მწვანე ძაფი და ფანქრით ბოლომდე მიათრევთ. ფანქრის ტყვია დასრულდება გარკვეულ წერტილში, რომელიც ეკუთვნის ელიფსს. ახლა დაიწყეთ ფანქრის დახატვა ფურცლის გასწვრივ, შეინარჩუნეთ მწვანე ძაფი მჭიდროდ. გააგრძელეთ პროცესი სანამ არ დაბრუნდებით საწყის წერტილში... მშვენიერია... ნახატის შემოწმება შესაძლებელია ექიმმა და მასწავლებელმა =)

როგორ მოვძებნოთ ელიფსის კერები?

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში მე გამოვხატე "მზა" ფოკუსური წერტილები და ახლა ჩვენ ვისწავლით, თუ როგორ უნდა გამოვყოთ ისინი გეომეტრიის სიღრმიდან.

თუ ელიფსი მოცემულია კანონიკური განტოლებით, მაშინ მის კერებს აქვთ კოორდინატები , სად არის მანძილი თითოეული ფოკუსიდან ელიფსის სიმეტრიის ცენტრამდე.

გამოთვლები უფრო მარტივია, ვიდრე მარტივი:

! ფოკუსების კონკრეტული კოორდინატები ვერ გაიგივება „ცე“-ს მნიშვნელობით!ვიმეორებ, რომ ეს არის DISTANCE თითოეული ფოკუსიდან ცენტრამდე(რომელიც ზოგად შემთხვევაში არ უნდა მდებარეობდეს ზუსტად საწყისზე).
და, შესაბამისად, კერებს შორის მანძილი ასევე არ შეიძლება იყოს მიბმული ელიფსის კანონიკურ პოზიციასთან. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, ელიფსი შეიძლება გადავიდეს სხვა ადგილას და მნიშვნელობა უცვლელი დარჩეს, ხოლო კერები ბუნებრივად შეცვლიან კოორდინატებს. გთხოვთ, გაითვალისწინოთ ეს თემის შემდგომი შესწავლისას.

ელიფსის ექსცენტრიულობა და მისი გეომეტრიული მნიშვნელობა

ელიფსის ექსცენტრიულობა არის თანაფარდობა, რომელსაც შეუძლია მიიღოს მნიშვნელობები დიაპაზონში.

ჩვენს შემთხვევაში:

მოდით გავარკვიოთ, როგორ არის დამოკიდებული ელიფსის ფორმა მის ექსცენტრიულობაზე. Ამისთვის დააფიქსირეთ მარცხენა და მარჯვენა წვეროებიგანსახილველი ელიფსის, ანუ ნახევარმთავარი ღერძის მნიშვნელობა მუდმივი დარჩება. შემდეგ ექსცენტრიულობის ფორმულა მიიღებს ფორმას: .

დავიწყოთ ექსცენტრიულობის მნიშვნელობის ერთიანობასთან მიახლოება. ეს შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ. Რას ნიშნავს? ...დაიმახსოვრე ხრიკები . ეს ნიშნავს, რომ ელიფსის ფოკუსები აბსცისის ღერძის გასწვრივ გვერდითი წვეროებამდე "გადაინაცვლებს". და რადგან „მწვანე სეგმენტები არ არის რეზინი“, ელიფსი აუცილებლად დაიწყებს გაბრტყელებას და გადაიქცევა ღერძზე დაყრილ ძეხვად.

ამრიგად, რაც უფრო ახლოს არის ელიფსის ექსცენტრიულობის მნიშვნელობა ერთიანობასთან, მით უფრო წაგრძელებულია ელიფსი.

ახლა მოდი საპირისპირო პროცესის მოდელირება: ელიფსის კერები ერთმანეთისკენ წავიდნენ, ცენტრს მიუახლოვდნენ. ეს ნიშნავს, რომ „ce“-ს მნიშვნელობა სულ უფრო და უფრო მცირდება და, შესაბამისად, ექსცენტრიულობა ნულისკენ მიისწრაფვის: .
ამ შემთხვევაში, "მწვანე სეგმენტები", პირიქით, "გადატვირთული გახდება" და ისინი დაიწყებენ ელიფსის ხაზის "დაძაბვას" ზემოთ და ქვემოთ.

ამრიგად, რაც უფრო ახლოს არის ექსცენტრიულობის მნიშვნელობა ნულთან, მით უფრო მსგავსია ელიფსი... შეხედეთ შემზღუდველ შემთხვევას, როდესაც კერები წარმატებით გაერთიანებულია საწყისთან:

წრე არის ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევა

მართლაც, ნახევრად ღერძების თანასწორობის შემთხვევაში, ელიფსის კანონიკური განტოლება იღებს ფორმას, რომელიც რეფლექსურად გარდაიქმნება სკოლიდან კარგად ცნობილი "a" რადიუსზე ცენტრის მქონე წრის განტოლებაში.

პრაქტიკაში უფრო ხშირად გამოიყენება აღნიშვნა „სალაპარაკო“ ასო „ერ“-ით: . რადიუსი არის სეგმენტის სიგრძე, წრის თითოეული წერტილი ამოღებულია ცენტრიდან რადიუსის მანძილით.

გაითვალისწინეთ, რომ ელიფსის განმარტება რჩება სრულიად სწორი: კერები ემთხვევა, ხოლო წრის თითოეული წერტილისთვის დამთხვევა სეგმენტების სიგრძის ჯამი მუდმივია. ვინაიდან კერებს შორის მანძილი არის, მაშინ ნებისმიერი წრის ექსცენტრიულობა ნულის ტოლია.

წრის აგება მარტივი და სწრაფია, უბრალოდ გამოიყენეთ კომპასი. თუმცა, ზოგჯერ საჭიროა მისი ზოგიერთი წერტილის კოორდინატების გარკვევა, ამ შემთხვევაში მივდივართ ნაცნობ გზაზე - განტოლებას მივყავართ მხიარულ მატანოვის ფორმამდე:

– ზედა ნახევარწრის ფუნქცია;
- ქვედა ნახევარწრის ფუნქცია.

შემდეგ ჩვენ ვიპოვით საჭირო მნიშვნელობებს, განასხვავებენ, ინტეგრირებადა გააკეთე სხვა კარგი საქმეები.

სტატია, რა თქმა უნდა, მხოლოდ საცნობაროა, მაგრამ როგორ შეიძლება იცხოვრო სამყაროში სიყვარულის გარეშე? კრეატიული დავალება დამოუკიდებელი გადაწყვეტისთვის

მაგალითი 2

შეადგინეთ ელიფსის კანონიკური განტოლება, თუ ცნობილია მისი ერთ-ერთი კერა და ნახევრად მცირე ღერძი (ცენტრი სათავეშია). იპოვეთ წვეროები, დამატებითი წერტილები და დახაზეთ ხაზი ნახაზზე. გამოთვალეთ ექსცენტრიულობა.

ამოხსნა და ნახატი გაკვეთილის ბოლოს

დავამატოთ მოქმედება:

როტაცია და პარალელურად თარგმნა ელიფსი

დავუბრუნდეთ ელიფსის კანონიკურ განტოლებას, კერძოდ, იმ მდგომარეობას, რომლის საიდუმლოც აწამებს ცნობისმოყვარე გონებას ამ მრუდის პირველი ხსენების შემდეგ. ასე რომ, ჩვენ შევხედეთ ელიფსს , მაგრამ პრაქტიკაში არ არის შესაძლებელი განტოლების დაკმაყოფილება ? თუმცა აქაც ხომ ელიფსია!

ასეთი განტოლება იშვიათია, მაგრამ გვხვდება. და ის რეალურად განსაზღვრავს ელიფსს. მოდი გავამჟღავნოთ:

აგების შედეგად მიიღეს ჩვენი მშობლიური ელიფსი, რომელიც შემოტრიალდა 90 გრადუსით. ანუ - ეს არაკანონიკური ჩანაწერიელიფსი . ჩანაწერი!- განტოლება არ განსაზღვრავს სხვა ელიფსს, ვინაიდან ღერძზე არ არის წერტილები (ფოკუსები), რომლებიც დააკმაყოფილებს ელიფსის განმარტებას.

ეს არის გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შემოსაზღვრულია განტოლებით მოცემული მრუდით.

მას აქვს ორი აქცენტი . ფოკუსირებსასეთ ორ წერტილს უწოდებენ, მანძილების ჯამი, საიდანაც ელიფსის ნებისმიერ წერტილამდე არის მუდმივი მნიშვნელობა.

ელიფსის ფიგურის ნახატი

F 1, F 2 - ფოკუსირება. F 1 = (c; 0); F 2 (- c ; 0)

გ – ფოკუსებს შორის მანძილის ნახევარი;

ა – ნახევრად ძირითადი ღერძი;

ბ – ნახევრად მცირე ღერძი.

თეორემა.ფოკუსური მანძილი და ნახევრად ღერძი დაკავშირებულია თანაფარდობით:

a 2 = b 2 + c 2 .

მტკიცებულება:თუ წერტილი M მდებარეობს ელიფსის ვერტიკალურ ღერძთან გადაკვეთაზე, r 1 + r 2 = 2* (პითაგორას თეორემის მიხედვით). თუ წერტილი M მდებარეობს ჰორიზონტალურ ღერძთან გადაკვეთაზე, r 1 + r 2 = a – c + a + c. იმიტომ რომ განმარტებით, ჯამი r 1 + r 2 არის მუდმივი მნიშვნელობა, შემდეგ, ტოლფასი, მივიღებთ:

r 1 + r 2 = 2 a.

ელიფსის ფიგურის ექსცენტრიულობა

განმარტება.ელიფსის ფორმა განისაზღვრება მახასიათებლით, რომელიც არის ფოკუსური სიგრძის შეფარდება მთავარ ღერძთან და ე.წ. ექსცენტრიულობა.

იმიტომ რომ თან< a , то е < 1.

განმარტება.რაოდენობა k = b / a ეწოდება შეკუმშვის კოეფიციენტი, და სიდიდე 1 – k = (a – b)/ a ეწოდება შეკუმშვა.

შეკუმშვის კოეფიციენტი და ექსცენტრიულობა დაკავშირებულია მიმართებით: k 2 = 1 – e 2 .

თუ a = b (c = 0, e = 0, კერები შერწყმულია), მაშინ ელიფსი იქცევა წრედ.

თუ M(x 1, y 1) წერტილისთვის პირობა დაკმაყოფილებულია: მაშინ ის მდებარეობს ელიფსის შიგნით, ხოლო თუ , მაშინ წერტილი მის გარეთაა.

თეორემა.M(x, y) თვითნებური წერტილისთვის, რომელიც ეკუთვნის ელიფსის ფიგურას, შემდეგი მიმართებები მართალია::

r 1 = a – ex, r 2 = a + ex.

მტკიცებულება.ზემოთ ნაჩვენები იყო, რომ r 1 + r 2 = 2 a. გარდა ამისა, გეომეტრიული მოსაზრებებიდან შეგვიძლია დავწეროთ:

კვადრატში და მსგავსი ტერმინების მოტანის შემდეგ:

ანალოგიურად დასტურდება, რომ r 2 = a + ex. თეორემა დადასტურდა.

Directrix ფიგურების ელიფსი

ელიფსის ფიგურა ასოცირდება ორ სწორ ხაზთან, რომელსაც ე.წ დირექტორები. მათი განტოლებებია:

x = a/e; x = - a / e.

თეორემა.იმისათვის, რომ წერტილი დადგეს ელიფსის ფიგურის საზღვარზე, აუცილებელია და საკმარისია, რომ მანძილის თანაფარდობა ფოკუსთან მანძილს შესაბამის მიმართულებამდე უდრის ექსცენტრიულობას ე.

მაგალითი. ააგეთ ელიფსი, რომელიც გადის ფიგურის მარცხენა ფოკუსსა და ქვედა წვეროზე, მოცემული განტოლებით:

ქულები ფ 1 (–გ, 0) და ფ 2 (გ, 0), სადაც მათ უწოდებენ ელიფსის კერები , ხოლო მნიშვნელობა არის 2 გგანსაზღვრავს ინტერფოკალური მანძილი .

ქულები ა 1 (–ა, 0), ა 2 (ა, 0), IN 1 (0, –ბ), ბ 2 (0, ბ) უწოდებენ ელიფსის წვეროები (სურ. 9.2), ხოლო ა 1 ა 2 = 2აქმნის ელიფსის მთავარ ღერძს და IN 1 IN 2 – პატარა, – ელიფსის ცენტრი.

ელიფსის ძირითადი პარამეტრები, რომლებიც ახასიათებს მის ფორმას:

ε = თან/ა – ელიფსის ექსცენტრიულობა ;

– ელიფსის ფოკალური რადიუსი (წერტილი მეკუთვნის ელიფსს), და რ 1 = ა + εგ, რ 2 = ა – εგ;

– ელიფსის მიმართულებები .

ელიფსისთვის ეს მართალია: მიმართულებები არ კვეთენ ელიფსის საზღვარს და შიდა რეგიონს და ასევე აქვთ თვისება.

ელიფსის ექსცენტრიულობა გამოხატავს მის "შეკუმშვის" ხარისხს.

თუ ბ > ა> 0, მაშინ ელიფსი მოცემულია განტოლებით (9.7), რისთვისაც პირობის ნაცვლად (9.8) პირობა დაკმაყოფილებულია.

შემდეგ 2 ა- მცირე ღერძი, 2 ბ– ძირითადი ღერძი, – კერები (სურ. 9.3). სადაც რ 1 + რ 2 = 2ბ,
ε = გ/ბ, მიმართულებები განისაზღვრება განტოლებებით:

მდგომარეობის გათვალისწინებით გვაქვს (ელიფსის განსაკუთრებული შემთხვევის სახით) რადიუსის წრე რ = ა. სადაც თან= 0, რაც ნიშნავს ε = 0.

ელიფსის წერტილები აქვს დამახასიათებელი თვისება : თითოეული მათგანიდან კერამდე მანძილების ჯამი არის მუდმივი მნიშვნელობა 2-ის ტოლი ა(ნახ. 9.2).

ამისთვის ელიფსის პარამეტრული განსაზღვრება (ფორმულა (9.7)) იმ შემთხვევებში, როდესაც (9.8) და (9.9) პირობები დაკმაყოფილებულია, როგორც პარამეტრი ტკუთხე ელიფსზე მდებარე წერტილის რადიუსის ვექტორსა და ღერძის დადებით მიმართულებას შორის შეიძლება იქნას აღებული ოქსი:

თუ ელიფსის ცენტრი ნახევრად ღერძებით არის წერტილში, მაშინ მის განტოლებას აქვს ფორმა:

მაგალითი 1.მიეცით ელიფსის განტოლება x 2 + 4წ 2 = 16 კანონიკურ ფორმას და განსაზღვრეთ მისი პარამეტრები. დახატეთ ელიფსი.

გამოსავალი. გავყოთ განტოლება x 2 + 4წ 2 = 16 16-ზე, რის შემდეგაც მივიღებთ:

მიღებული განტოლების ფორმის საფუძველზე დავასკვნათ, რომ ეს არის ელიფსის კანონიკური განტოლება (ფორმულა (9.7)), სადაც ა= 4 - ნახევრად მთავარი ღერძი, ბ= 2 - ნახევრად მცირე ღერძი. ეს ნიშნავს, რომ ელიფსის წვეროები არის წერტილები ა 1 (–4, 0), ა 2 (4, 0), ბ 1 (0, –2), ბ 2 (0, 2). ვინაიდან ინტერფოკალური მანძილის ნახევარია, წერტილები ელიფსის კერაა. გამოვთვალოთ ექსცენტრიულობა:

დირექტორები დ 1 , დ 2 აღწერილია განტოლებებით:

დახატეთ ელიფსი (სურ. 9.4).

მაგალითი 2.ელიფსის პარამეტრების განსაზღვრა

გამოსავალი.მოდით შევადაროთ ეს განტოლება გადაადგილებული ცენტრის მქონე ელიფსის კანონიკურ განტოლებას. ელიფსის ცენტრის პოვნა თან: ნახევრად ძირითადი ღერძი, ნახევრად მცირე ღერძი, სწორი ხაზები - ძირითადი ღერძი. ინტერფოკალური მანძილის ნახევარი და შესაბამისად ფოკუსური წერტილები მიმართულების ექსცენტრიულობა დ 1 და დ 2 შეიძლება აღწერილი იყოს განტოლებების გამოყენებით: (ნახ. 9.5).

მაგალითი 3.დაადგინეთ რომელი მრუდი არის მოცემული განტოლებით და დახაზეთ იგი:

1) x 2 + წ 2 + 4x – 2წ + 4 = 0; 2) x 2 + წ 2 + 4x – 2წ + 6 = 0;

3) x 2 + 4წ 2 – 2x + 16წ + 1 = 0; 4) x 2 + 4წ 2 – 2x + 16წ + 17 = 0;

გამოსავალი. 1) მოდით დავიყვანოთ განტოლება კანონიკურ ფორმამდე ბინომის სრული კვადრატის იზოლირებით:

x 2 + წ 2 + 4x – 2წ + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (წ 2 – 2წ) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (წ 2 – 2წ + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (წ – 1) 2 = 1.

ამრიგად, განტოლება შეიძლება შემცირდეს ფორმამდე

(x + 2) 2 + (წ – 1) 2 = 1.

ეს არის წრის განტოლება, რომელსაც აქვს ცენტრი წერტილი (–2, 1) და რადიუსი რ= 1 (ნახ. 9.6).

2) ჩვენ ვირჩევთ განტოლების მარცხენა მხარეს მდებარე ორომალიების სრულყოფილ კვადრატებს და ვიღებთ:

(x + 2) 2 + (წ – 1) 2 = –1.

ამ განტოლებას აზრი არ აქვს რეალური რიცხვების სიმრავლეში, რადგან მარცხენა მხარე არაუარყოფითია ცვლადების ნებისმიერი რეალური მნიშვნელობისთვის. xდა წ, და სწორი უარყოფითია. მაშასადამე, ისინი ამბობენ, რომ ეს არის "წარმოსახვითი წრის" განტოლება ან ის განსაზღვრავს სიბრტყეში წერტილების ცარიელ კომპლექტს.

3) აირჩიეთ სრული კვადრატები:

x 2 + 4წ 2 – 2x + 16წ + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(წ 2 + 4წ + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(წ + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(წ + 2) 2 = 16.

ასე რომ, განტოლება ასე გამოიყურება:

შედეგად მიღებული განტოლება და, შესაბამისად, ორიგინალური განტოლება განსაზღვრავს ელიფსს. ელიფსის ცენტრი არის წერტილში შესახებ 1 (1, –2), ძირითადი ღერძები მოცემულია განტოლებებით წ = –2, x= 1 და ნახევრად მთავარი ღერძი ა= 4, მცირე ღერძი ბ= 2 (ნახ. 9.7).

4) სრული კვადრატების არჩევის შემდეგ გვაქვს:

(x – 1) 2 + 4(წ+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 ან ( x – 1) 2 + 4(წ + 2) 2 = 0.

შედეგად მიღებული განტოლება განსაზღვრავს სიბრტყის ერთ წერტილს კოორდინატებით (1, –2).

5) განტოლება მივიყვანოთ კანონიკურ ფორმამდე:

ცხადია, ის განსაზღვრავს ელიფსს, რომლის ცენტრი მდებარეობს იმ წერტილში, სადაც ძირითადი ღერძები მოცემულია ნახევრად მთავარი ღერძისა და ნახევრად მცირე ღერძის განტოლებებით (ნახ. 9.8).

მაგალითი 4.ჩაწერეთ ტანგენტის განტოლება 2 რადიუსის წრეზე, რომელიც ორიენტირებულია ელიფსის მარჯვენა ფოკუსზე x 2 + 4წ 2 = 4 y-ღერძთან გადაკვეთის ადგილზე.

გამოსავალი.მოდით შევიყვანოთ ელიფსის განტოლება კანონიკურ ფორმამდე (9.7):

ეს ნიშნავს, რომ სწორი ფოკუსი არის ასევე - მაშასადამე, 2 რადიუსის წრის საჭირო განტოლებას აქვს ფორმა (ნახ. 9.9):

წრე კვეთს ორდინატთა ღერძს იმ წერტილებში, რომელთა კოორდინატები განისაზღვრება განტოლებათა სისტემიდან:

ჩვენ ვიღებთ:

დაე ეს იყოს ქულები ნ(0; -1) და მ(0; 1). ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ შეგვიძლია ავაგოთ ორი ტანგენსი, მოდი აღვნიშნოთ ისინი თ 1 და თ 2. ცნობილი თვისების მიხედვით, ტანგენსი პერპენდიკულარულია შეხების წერტილამდე გამოყვანილ რადიუსზე.

მოდით მაშინ ტანგენტის განტოლება თ 1 მიიღებს ფორმას:

ასე რომ, ან თ 1: ეს არის განტოლების ტოლფასი